Egzamin z Równań Różniczkowych, 18 VI 2009
1. Zadanie wstępne
1.1 Które z niżej wymienionych funkcji są rozwiązaniami szczególnymi równania ró-
zniczkowego: y + y = 0
1) y = cos x 2) y = ex 3) y = x 4) y = e-x 5) y = sin x
1.2 Jaką funkcją na przedziale [-Ą.Ą] jest suma szeregu Fouriera funkcji określonej
wzorem f(x) = x dla x " [-Ä„, Ä„] ?
1.3 Rozwiązać równanie y x2 = -y

"

3n + 1 n
1.4 Zbadać zbieżność szeregu
4n + 1
n=1
1.5 Zapisać w postaci kierunkowej równanie stycznej do krzywej o wektorze wodzącym
= [3t, 3t2, 2t3] dla t = 1
r(t)
2. Rozwiązać równanie:
y - 6y + 13y = xe-x
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
Å„Å‚
x = y
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
y = -x - 2y
ôÅ‚
x(0) = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y(0) = 1
4. Znalez
ć rodzinę krzywych ortogonalnych do rodziny linii y = ln(x + C) , C " R .
Sporządzić rysunki obu rodzin krzywych.
5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) = cosh x i określić przedział zbieżności
otrzymanego szeregu.
ex + e-x
Wskazówka: wykorzystać wzór cosh x = oraz rozwinięcia znanych funkcji.
2
6. Dla jakiej wartości parametru t promień krzywizny krzywej
Å„Å‚
ôÅ‚ x = et cos t
òÅ‚
K : y = et sin t , gdzie t 0
ôÅ‚
ół
z = et
osiąga wartość minimalną
¨
| ×
Y r|
(Krzywizna º = )
|
Y|3
1