Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Napisać równania różniczkowego liniowe rzędu drugiego, którego całkami y - 4y + 4y = 0
szczególnymi są: y1 = e2x , y2 = xe2x
Rozwiązanie:
r1 = r2 = 2
(r - 2)2 = 0 =�! r2 - 4r + 4 = 0 równanie charakterystyczne
2. Rozwiązać równanie: y = 1 - sin2 y . y1 = arc tg(x+C)+
Rozwiązanie: kĄ
1
y = 1 - sin2 y =�! y = cos2 y y2 = (k + )Ą
2
dy dy
, k " Z
= cos2 y =�! = dx lub cos2 y = 0 rozdzielamy zmienne
dx cos2 y

dy
= dx =�! tg y = x + C =�! y = arc tg(x + C) + kĄ
cos2 y
"
n
1
3. Zbadać zbieżność szeregu 1 + Szereg rozbieżny
n
n=1
Rozwiązanie:
n
1
lim an = lim 1 + = e = 0

n
n" n"
Szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności.
4. Niech S(x) oznacza sumę szeregu Fouriera funkcji f(x) = x dla x " (-Ą, Ą) 0
. Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie 2Ą ?
Rozwiązanie:
S(2Ą) = S(0) bo S(x) jest okresowa
S(0) = f(0) = 0 bo f(x) jest ciągła w x = 0
5. Wyznaczyć wektor binormalny krzywej o równaniu [2, -2, 1]
-
(t) = [t , et t2] dla t = 0 .
r ,
Rozwiązanie:
- -
(t) = [1 , et 2t] , (0) = [1, 1, 0]
Ł Ł
r , r
- -
(t) = [0 , et 2] , (0) = [0, 1, 2]
� �
r , r


i j k

-

- -

Ł �
b = r � r = 1 1 0 = [2, -2, 1]


0 1 2
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Wyznaczyć równanie różniczkowego liniowe jednorodne rzędu drugiego o y + y = 0
stałych współczynnikach, jeżeli jeden z pierwiastków jego równania charakte-
rystycznego ma postać r1 = i
Rozwiązanie:
r2 = r1 = -i
(r - r1)(r - r2) = 0 =�! (r - i)(r + i) = 0 =�!
r2 + 1 = 0 równanie charakterystyczne
2. Rozwiązać równanie y = ey-x . y = - ln(e-x - C)
Rozwiązanie:
y = ey-x =�! y = ey � e-x
dy
= ey � e-x =�! e-y dy = e-x dx rozdzielamy zmienne
dx

e-y dy = e-x dx =�! -e-y = -e-x + C =�!
y = - ln(e-x - C)
"

n2n 3
3. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu xn
3n+1 2
n=1
Rozwiązanie:
1
an+1 (n + 1)2n+1 3n+1 2(n + 1) 2(1 + ) 2
n
� = lim = lim � = lim = lim =
n" n"
an n" 3n+2 n2n n" 3n 3 3
1 3
R = =
� 2
Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej x + 3y + 2z - 8 = 0
K : x = t , y = t3 , z = 2t w punkcie P (1, 1, 2)
Rozwiązanie:
P (1, 1, 2) =�! t = 1
-
(t) = [1 , 3t2 2]
Ł
r ,
-
(1) = [1, 3, 2]
Ł
r wektor normalny płaszczyzny normalnej
x + 3y + 2z + D = 0 równanie płaszczyzny normalnej
P " Ą =�! 1 + 3 + 4 + D = 0 =�! D = -8
5. Niech S(x) oznacza sumę szeregu Fouriera funkcji f(x) = -x dla x " 0
(-Ą, Ą) . Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie -3Ą ?
Rozwiązanie:
S(-3Ą) = S(Ą) bo S(x) jest okresowa
f(Ą-) + f(-Ą+) -Ą + Ą
S(Ą) = = = 0
2 2
2
2. Rozwiązać równanie:
xy - 2y = x3 cos x
Rozwiązanie:
2y
xy - 2y = x3 cos x =�! y - = x2 cos x
x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
2y
y - = 0
x
Rozdzielamy zmienne:
dy 2 dx
=
y x

dy 2
= dx
y x
ln |y| = 2 ln |x| + C
y = Cx2
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne:
2y
y - = x2 cos x
x
y = C(x)x2 uzmienniamy stałą
Wtedy:
y = C (x)x2 + C(x)2x
C x2 + 2xC - 2xC = x2 cos x wstawiamy do równania
C = cos x

C = cos x dx = sin x + D
Stąd:
y = (sin x + D)x2
Odpowiedz
:
y = (sin x + D)x2
3
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

y = 1 + x + y + xy
y(0) = 0
Rozwiązanie:
y = 1 + x + y + xy =�!
y = (x + 1)(y + 1)
Rozdzielamy zmienne:
dy
= (x + 1) dx
y + 1

dy
= (x + 1) dx
y + 1
1
ln |y + 1| = x2 + x + C
2
1
x2+x
2
y + 1 = Ce
1
x2+x
2
y = Ce - 1
Podstawiamy x = 0 , y = 0
0 = C - 1 =�! C = 1
Stąd:
1
x2+x
2
y = e - 1
Odpowiedz
:
1
x2+x
2
y = e - 1
4
4. Rozwiązać zagadnienie początkowe
ńł
�ł y + 2y = 1 + e-2x
�ł
y(0) = 0
�ł
ół
y (0) = 1
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y + 2y = 0
r2 + 2r = 0 =�! r(r + 2) równanie charakterystyczne
r1 = 0 , r2 = -2
y = C1 + C2e-2x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y + 2y = 1
r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:

ys = Ax =�! ys = A ; ys = 0
1
2A = 1 =�! A = Wstawiamy do równania
2
x
ys =
2
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y + 2y = e-2x
r = -2 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:
ys = Axe-2x =�!

ys = Ae-2x - 2Axe-2x

ys = -2Ae-2x - 2Ae-2x + 4Axe-2x = -4Ae-2x + 4Axe-2x
Wstawiamy do równania:
-1
-4Ae-2x + 4Axe-2x + 2Ae-2x - 4Axe-2x = e-2x =�! -2A = 1 =�! A =
2
-x
ys = e-2x
2
Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego:
x x
y = C1 + C2e-2x + - e-2x
2 2
Wstawiamy warunki początkowe:
0 = C1 + C2
1 1
y = -2C2e-2x + - e-2x + xe-2x
2 2
1 1 -1 1
1 = -2C2 + - =�! C2 = =�! C1 =
2 2 2 2
Odpowiedz
:
1 1 x x
y = - e-2x + - e-2x
2 2 2 2
5
 1
sin 2x
5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki dx wykorzystując trzy początkowe
x
0
wyrazy szeregu Maclaurina funkcji y = sin x .
"

(-1)n
(Wskazówka: sin x = x2n+1 )
(2n + 1)!
n=0
Rozwiązanie:
"

(-1)n x3 x5 x7
y = sin x = x2n+1 = x - + - + . . .
(2n + 1)! 3! 5! 7!
n=0
Przedział zbieżności tego szeregu: x " (-" , ")
Przybliżamy funkcję:
x3 x5
sin x H" x - +
3! 5!
stąd:
sin 2x 8x2 32x4 4x2 4x4
H" 2 - + = 2 - +
x 3! 5! 3 15
Przybliżamy całkę:
1 1
1
sin 2x 4x2 4x4 4x3 4x5 4 4 450 - 100 + 12
dx H" (2- + ) dx = 2x- + = 2- + = =
0
x 3 15 9 75 9 75 225
0 0
362
225
Odpowiedz
:
1
sin 2x 362
dx H"
x 225
0
6
6. Rozwiązać układ równań

� = y + t
Ź = x - t
Rozwiązanie:
y = � - t z pierwszego równania
Ź = ć - 1 różniczkujemy
ć - 1 = x - t =�! ć - x = -t + 1 podstawiamy do drugiego równania
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne
ć - x = 0
r2 - 1 = 0 równanie charakterystyczne
r2 = 1 =�!
r1 = 1 , r2 = -1
x = C1et + C2e-t
Rozwiązujemy równanie liniowe niejednorodne
ć - x = -t + 1
r = 0 nie jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego, więc:
xs = At + B =�! �s = A ; ćs = 0
-At - B = -t + 1 Wstawiamy do równania
A = 1 , B = -1
xs = t - 1
x = C1et + C2e-t + t - 1
� = C1et - C2e-t + 1
y = � - t = C1et - C2e-t - t + 1
Odpowiedz
:

x = C1et + C2e-t + t - 1
y = C1et - C2e-t - t + 1
7