Egzamin z Analizy 2, 21 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie: f(x, y) = x2+y2+x ln(1+xy) . P (-1, 2) 2
"x2
RozwiÄ…zanie:
"f xy
= 2x + ln(1 + xy) +
"x 1 + xy
"2f y y(1 + xy) - xy2 y y 2 2
= 2+ + = 2+ + = 2+ + = 2
"x2 1 + xy (1 + xy)2 1 + xy (1 + xy)2 -1 1
2. Obliczyć dywergencję pola wektorowego 9

"
-

2
F = x2 sin(x - 1) , xexy -4 , y z2 - 3x2 w punkcie A = (1, 2, 2)
RozwiÄ…zanie:
-
"P "Q "R 2
div F = + + = 2x sin(x - 1) + x2 cos(x - 1) + xexy -4 · 2xy +
"x "y "z
2z
"
y = 0 + 1 + 4 + 4 = 9
2 z2 - 3x2
6
3. Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
"
7
y
1
ìÅ‚
íÅ‚ 30x2y dx÷Å‚ dy
Å‚Å‚
y
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
"
y
1 1
"y 1 1
5 20 7
ìÅ‚
2 2
íÅ‚ 30x2y dx÷Å‚ dy = 10yx3 dy = (10y -10y4) dy = y -2y5 =
Å‚Å‚
y 0
7
y
0 0 0
20 6
- 2 =
7 7
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną -2y dx + x dy ; 15
C
C : x = t2 + 1 , y = t4 od t = 1 do t = 2
RozwiÄ…zanie:
2 2
-2y dx + x dy = -2t4 · 2t dt + (t2 + 1) · 4t3 dt = (-4t5 + 4t5 + 4t3) dt =
C 1 1
2
2
4t3 dt = t4 = 16 - 1 = 15
1
1
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
ôÅ‚
ół
A : z2 x2 + y2 , x2 + y2 4 -r z r
RozwiÄ…zanie:
z2 x2 + y2 =Ò! z2 r2 =Ò! |z| r =Ò! -r z r stożek
x2 + y2 4 =Ò! r2 4 =Ò! r 2 walec
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
2
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = xyex -y2 , P = (1, 1) -3
"x"y
RozwiÄ…zanie:
"f 2 2 2
= yex -y2 + xyex -y2 · 2x = (2x2y + y)ex -y2
"x
"2f 2 2
= (2x2 + 1)ex -y2 + (2x2y + y)ex -y2 · (-2y) = 3 - 6 = -3
"x"y
2. Obliczyć rotację pola wektorowego [6 , 18 , 1]

-

F = xy , y2 + z2 , x2z2 w punkcie A = (-1, -2, -3)
RozwiÄ…zanie:


i j k


-


" " "
rot F = = 0 - 2z , 0 - 2xz2 , 0 - x = [6 , 18 , 1]
"x "y "z


xy y2 + z2 x2z2
3. Obliczyć całkę iterowaną 1
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
x
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1 1
"x 1 1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dy÷Å‚ dx = 12xy2 dx = (12x2 - 12x3) dx = 4x3 - 3x4 =
Å‚Å‚
x 0
x
0 0 0
4 - 3 - 0 = 1

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną 3y dx - 2x dy ; -28
C
C : x = t2 , y = t3 + 3t od t = 2 do t = 1
RozwiÄ…zanie:
1 1
3y dx - 2x dy = 3(t3 + 3t) · 2t dt - 2t2 · (3t2 + 3) dt = (6t4 + 18t2 - 6t4 -
C 2 2
1
1
6t2) dt = 12t2 dt = 4t3 = 4 - 32 = -28
2
2
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 2 x2 + y2 r2 z 2r
RozwiÄ…zanie:
z x2 y2 =Ò! z r2 paraboloida
"+
z 2 x2 + y2 =Ò! z 2r stożek
2r = r2 =Ò! r = 2
2
2. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ powierzchnie
3
3
S1 : yey -z3 + - x + 2 = 0 oraz S2 : xyz + ln(z2 - y2 + 1) = 0 w punkcie P (0, 1, 1)
x - z
RozwiÄ…zanie:
3
3
Oznaczmy f1(x, y, z) = yey -z3 + - x + 2 , f2(x, y, z) = xyz + ln(z2 - y2 + 1)
x - z
Wektor prostopadły do powierzchni S1 :
-

n = grad f1
1

"f1 "f1 "f1
grad f1 = , ,
"x "y "z
"f1 3
= - - 1 = -4
"x (x - z)2
"f1 -z3 3
3
= ey + 3y3ey -z3 = 4
"y
"f1 3 3
= -3yz2ey -z3 + = 0
"z (x - z)2
StÄ…d:
-

n = [-4, 4, 0]
1
Wektor prostopadły do powierzchni S2 :
-

n = grad f2
2
"f2
= yz = 1
"x
"f2 -2y
= xz + = -2
"y z2 - y2 + 1
"f2 2z
= xy + = 2
"x z2 - y2 + 1
StÄ…d:
-

n = [1, -2, 2]
2
Kąt między powierzchniami jest równy kątowi między wektorami prostopadłymi do
powierzchni.
-
-
| · n | | - 4 - 8 + 0| 1
n
1 2
" " "
cos Ä… = = =
- -
| || |
n n
16 + 16 1 + 4 + 4 2
1 2
1 Ä„
"
cos Ä… = =Ò! Ä… =
4
2
Odpowiedz
:
Ä„
Ä… =
4
3
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji
f(x, y) = -x2y - 2xy2 + 6xy
RozwiÄ…zanie
Dziedzina funkcji D = R2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f "f
= -2xy - 2y2 + 6y ; = -x2 - 4xy + 6x
"x "y
StÄ…d:

-2xy - 2y2 + 6y = 0
-x2 - 4xy + 6x = 0
Z pierwszego równania:
y(-2x - 2y + 6) = 0 =Ò! y = 0 lub y = 3 - x
Z drugiego równania:
y = 0 =Ò! -x2 + 6x = 0 =Ò! x = 0 lub x = 6,
y = 3 - x =Ò! -x2 - 4x(3 - x) + 6x = 0 =Ò! 3x2 - 6x = 0 =Ò! x = 0 lub x = 2,
Rozwiązaniem tego układu są więc punkty:
P1(0, 0) , P2(6, 0) , P3(0, 3) , P4(2, 1)
Obliczamy drugie pochodne funkcji f:
"2f "2f "2f
= -2y ; = -4x ; = -2x - 4y + 6
"x2 "y2 "x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:

0 6
f (P1) = W1 = 0 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P1 = (0, 0) - punkt siodÅ‚owy
6 0

0 -6
f (P2) = W1 = 0 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P2 = (6, 0) - punkt siodÅ‚owy
-6 -24

-6 -6
f (P3) = W1 = -6 ; W2 = -36 < 0 =Ò! P3 = (6, 0) - punkt siodÅ‚owy
-6 0

-2 -2
f (P4) = W1 = -2 < 0 ; W2 = 12 > 0 =Ò! P4 = (2, 1) - maksimum
-2 -8
lokalne
4
4. Obliczyć masę obszaru ograniczonego krzywymi x = y2 , x + y = 2 jeżeli jego gęstość
Á(x, y) = 6x
RozwiÄ…zanie:
Masa obszaru jest równa:
Obliczamy całki:

m = Á dx dy = 6x dx dy
D D
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

x = y2
x + y = 2
x = 2 - y
y2 + y - 2 = 0
" = 9
y1 = -2 =Ò! x1 = 4
y2 = 1 =Ò! x2 = 1
Mamy więc:

-2 y 1
D :
y2 x 2 - y
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2-y 1 1

2-y
ìÅ‚
m = 6 íÅ‚ x dx÷Å‚ dy = 3 x2 dy = 3 ((2 - y)2 - y4) dy =
Å‚Å‚
y2
-2 -2 -2
y2
1
1
y3 y5 32 1 1
3 (4 - 4y + y2 - y4) dy = 3 4y - 2y2 + - = = 3(4 - 2 + - ) - 3(-8 -
3 5 3 3 5
-2
-2
8 32 216
8 - + ) =
3 5 5
Odpowiedz
:
216
m =
5
5
5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
wierzchniami x2 + y2 = 9 , x2 + y2 = z2 .
RozwiÄ…zanie:
Moment bezwładności jest równy:

Iz = Á(x2 + y2) dx dy ddz = Á (x2 + y2) dx dy dz
A A
Powierzchnie ograniczajÄ…ce A:
z2 = x2 + y2 : stożek
x2 + y2 = 9 : walec
Stosujemy współrzędne walcowe:

Iz = r2 · r dr dÕ dz = r3 dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" :
x2 + y2 = 9 =Ò! r2 = 9 =Ò! r = 3
z2 = x2 + y2 =Ò! z2 = r2 =Ò! z = Ä…r
zachodzić mają również standardowe ograniczenia współrzędnych walcowych: r 0
oraz Õ należy do jednego okresu. StÄ…d:
A" : Õ "< 0, 2Ä„ > ; r "< 0, 3 > ; z "< -r, r >
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2Ä„
3 r
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
Iz = Á dÕÅ‚Å‚ · r3 dzÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚
0 0 -r
2Ä„

2Ä„
dÕ = Õ = 2Ä„
0
0
r
r
r3 dz = r3z = r4 + r4 = 2r4
-r
-r
3
3
2 486
2r4 dr = r5 =
0
5 5
0
Odpowiedz
:
486ÁÄ„
Iz =
5
6

-

6. Obliczyć strumień pola wektorowego F = 2x , x + y , x + 3z przez zorientowany na
zewnątrz powierzchnię zamkniętą, będącą brzegiem bryły
"
A : z x2 + y2 ; z 1
RozwiÄ…zanie:
Strumień pola jest równy:


Åš = F · dS
n
S
KorzystajÄ…c z twierdzenia Gaussa:


F · dS = div F dx dy ddz
n
S A
"P "Q "R

div F = + + = 2 + 1 + 3 = 6
"x "y "z

6 dx dy ddz = 6V
A
gdzie V jest objętością bryły A. Bryła A jest stożkiem o promieniu R = 1 i wysokości
H = 1.
Ä„R2H Ä„
V = =
3 3
StÄ…d:

6 dx dy ddz = 2Ä„
A
Odpowiedz
:
Åš = 2Ä„
7