Egzamin z Analizy 1, 12 II 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.
e-n
1. Obliczyć granicę: lim 0
n"
n2 + 1
RozwiÄ…zanie:
e-n 0
lim = = 0
n"
n2 + 1 "
arc tg 2x
2. Obliczyć granicę lim 2
x0+ x
RozwiÄ…zanie:

0
2
0
arc tg 2x
1+4x2
lim lim = 2
=
x0+ x x0+ 1
H
3. Obliczyć drugą pochodną f (2) jeżeli f(x) = 4x ln(x2 - 2) -8
RozwiÄ…zanie:
4x 8x2
f (x) = 4 ln(x2 - 2) + · 2x = 4 ln(x2 - 2) +
x2 - 2 x2 - 2
4 16x(x2 - 2) - 8x2 · 2x 8x -32x
f (x) = · 2x + = +
x2 - 2 (x2 - 2)2 x2 - 2 (x2 - 2)2
16 -64
f (2) = + == -8
2 4

6
x
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną dx 3 arc tg + C
2
x2 + 4
RozwiÄ…zanie:

6 3 1 x 1 1
dx = dx = {t = ; dt = dx} = 3 dt =
x2 + 4 2 (x)2 + 1 2 2 t2 + 1
2
x
3 arc tg t + C = 3 arc tg + C
2
Ä„
5. Obliczyć całkę Riemanna 4 sin2 x dx 2Ą
0
RozwiÄ…zanie:
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
1 - cos 2x
4 sin2 x dx = 4 · dx = (2 - 2 cos 2x) dx = 2x - sin 2x = 2Ä„
2
0
0 0 0
1
"
2. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ krzywe: y1 = 4 x3 + 3 - x2 ln x oraz
"
y2 = arc sin(x2 - 1) - ( x)3 + 9 w punkcie P (1, 8) ?
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy pochodne, które są współczynnikami kierunkowymi prostych stycznych do
krzywych:
12x2 1

" - 2x ln x - x2 ·
y1 =
x
2 x3 + 3

k1 = y1(1) = 3 + 0 - 1 = 2
"
2x 3


y2 = - x
1 - (x2 - 1)2 2
3 1
k2 = y2(1) = 2 - =
2 2

1

2
k1 - k2 - 3

2
tg Ä… = = =

1 + k1 · k2 1 + 1 4
3
Ä… = arc tg
4
Odpowiedz
:
3
W punkcie P (1, 8) krzywe przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…temÄ… = arc tg
4
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
2
f(x) = x - - 3 ln x
x
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji D = (0, ")
Badamy monotoniczność funkcji obliczając pochodną:
2 3
f (x) = 1 + -
x2 x
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 .
2 3
1 + - > 0
x2 x
x2 - 3x + 2 > 0 mnożymy przez x2 > 0
(x - 1)(x - 2) > 0
x " (0, 1) *" (2, ")
Wniosek:
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale (0, 1 > ,
malejÄ…ca na przedziale < 1, 2 > ,
malejÄ…ca na przedziale < 2, ") ,
W punkcie x = 1 jest więc maksimum lokalne, a w x = 2 jest minimum lokalne.
Aby sprawdzić, czy x = 1 jest maksimum globalnym obliczamy:
f(1) = 1 - 2 - 0 = -1
2 2 ln x
lim f(x) = lim (x - - 3 ln x) = lim x(1 - - 3 )
x+" x+" x+"
x x2 x

"
1
"
ln x
x
Obliczamy granicÄ™: lim lim = 0
=
x+" x+"
x 1
H
StÄ…d:
lim f(x) = "(1 + 0 + 0) = "
x+"
Ponieważ +" > -1 więc x = 1 nie jest maksimum globalnym.
Aby sprawdzić, czy x = 2 jest minimum globalnym obliczamy:
f(2) = 2 - 1 - 3 ln 2 = 1 - 3 ln 2
2 1 1
lim f(x) = lim (x- -3 ln x) = lim (x- (2+3x ln x)) = lim (x- (2+3 ln xx)) =
x0+ x0+ x x0+ x x0+ x
0 - "(2 + 3 ln 1) = -"
Ponieważ -" < f(2) więc x = 2 nie jest minimum globalnym.
Odpowiedz
:
Funkcja ma minimum lokalne w punkcie x = 2,
Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie x = 1,
Funkcja nie ma maksimów globalnych,
Funkcja nie ma minimów globalnych.
3
1

4. Znalez
ć różniczkowalną funkcję F : (-" , ") R taką, że F (x) =
e2x + 2ex + 1
oraz
F (0) = 0
RozwiÄ…zanie:
1
Funkcja F (x) jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f(x) = . Obliczamy:
e2x + 2ex + 1

1 dt 1
F (x) = dx = {t = ex ; dt = ex dx ; dx = } = dt
e2x + 2ex + 1 t (t2 + 2t + 1)t
Rozkładamy mianownik na czynniki:
(t2 + 2t + 1)t = t(t + 1)2
Funkcję wymierną rozkładamy na ułamki proste:
1 A B C
= + + / · t(t + 1)2
t(t + 1)2 t t + 1 (t + 1)2
1 = A(t + 1)2 + Bt(t + 1) + Ct
Podstawiamy t = 0 =Ò! A = 1
Podstawiamy t = -1 =Ò! C = -1
Podstawiamy t = 1 =Ò! 1 = 4A + 2B + C =Ò! 1 = 4 + 2B - 1 =Ò! B = -1
Obliczamy

1 -1 -1 1 1
+ + = ln |t|- ln |t+ 1| + +C = ln |t| -ln |t+1| + +C =
t t + 1 (t + 1)2 t + 1 t + 1
StÄ…d
1
F (x) = ln |ex| - ln |ex + 1| + + C
ex + 1
Podstawiamy F do równania: F (0) = 0
1 1
F (0) = 0 - ln 2 + + C = 0 =Ò! C = ln 2 -
2 2
Odpowiedz
:
1 1
F (x) = ln |ex| - ln |ex + 1| + + ln 2 -
ex + 1 2
4
x2
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = oraz
1 + x2
1
y =
1 + x2
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
Å„Å‚
ôÅ‚ x2
ôÅ‚
ôÅ‚
y =
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
1 + x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół y =
1 + x2
x2 6
=
1 + x2 1 + x2
x2 = 1 =Ò! x = Ä…1
1 x2
Krzywa y = leży powyżej krzywej y = dla x " (-1, 1)
1 + x2 1 + x2
Pole obszaru jest równe:
1
1 x2 1 1 - x2 1 1 - x2
S = - dx = = 2
1 + x2 1 + x2 1 + x2 1 + x2
-1 -1 0
Wykorzystaliśmy parzystość funkcji podcałkowej.
1 1
1 - x2 1 2 - 1 - x2 1 2
= = - 1 = 2 arc tg x - 2x =
1 + x2 1 + x2 1 + x2
0
0 0 0
Ä„
2 arc tg 1 - 1 = - 1
2
StÄ…d
S = Ä„ - 2
Odpowiedz
:
Pole obszaru jest równe: S = Ą - 2
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

2
x3e-x dx
0
RozwiÄ…zanie:
"
b
2 2
I = x3e-x dx = lim x3e-x dx
b"
0 0
b
2
Całkę Ib = x3e-x dx obliczamy przez podstawienie:
0
{t = -x2 ; dt = -2x dx ; t(0) = 0 ; t(b) = -b2}

-b2 -b2 -b2

t 1 1 -b2 1
f(t) = t g (x) = et
Ib = et dt = tet dt = = tet - et dt =
f (t) = 1 g(t) = et
2 2 2 2
0
0 0 0
1 2 1 -b2 1 2 1 2 1
(-b2e-b - 0) - et = - b2e-b - e-b +
2 2 2 2 2
0

1 2 1 2 1 1 1 b2 + 1
I = lim - b2e-b - e-b + = - lim
2
b" b"
2 2 2 2 2 eb
Obliczamy granicÄ™:

"
"
b2 + 1 2b 1
lim lim = lim = 0
2 2 2
b" b" b"
eb = 2beb eb
H
Odpowiedz
:
1
I =
2
6