Egzamin z Analizy 1, 5 IX 2013
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.
"
3n2 + 4n8 + 5
1. Obliczyć granicę: lim 2
n"
n4 + 3n
RozwiÄ…zanie:

"
3 5 3 5
n4(n + 4 + ) + 4 +
3n2 + 4n8 + 5 2
n3 n2 n3
lim = lim = lim =
3 3
n" n" n"
n4 + 3n n4(1 + ) 1 +
n3 n3
"
0 + 4 + 0
= 2
1 + 0
ln(1 + x)
2. Obliczyć granicÄ™ lim " 0
x0
x
RozwiÄ…zanie:

0
"
1
0
ln(1 + x) 2 x 0
1+x
lim " lim = lim = = 0
=
1
x0 x0 " x0
x 1 + x 1
2 x
H
2
3. Obliczyć drugą pochodną f (1) jeżeli f(x) = xex -1 10
RozwiÄ…zanie:
2 2 2
f (x) = ex -1 + xex -1 · 2x = (2x2 + 1)ex -1
2 2
f (x) = 4xex -1 + (2x2 + 1)ex -1 · 2x
f (1) = 4 + (2 + 1) · 2 = 10

6x
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną dx 3 ln |x2 + 4| + C
x2 + 4
RozwiÄ…zanie:

6x 3
dx = {t = x2 + 4 ; dt = 2x dx} == dt = 3 ln |t| + C =
x2 + 4 t
3 ln |x2 + 4| + C
Ä„
5. Obliczyć całkę Riemanna 4 sin2 x dx 2Ą
0
RozwiÄ…zanie:
Ä„ pi
Ä„
4 sin2 x dx = 2(1 - cos 2x) dx = 2x - sin 2x = 2Ä„
0
0 0
stosujemy podstawienie liniowe: t = 2x
1
2. Dla jakiej wartości parametrów a, b funkcja f : (-" , ") R jest ciągła?
Å„Å‚
2
ôÅ‚
x2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
1 + x2 dla x > 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) =
a dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ - cos 2x + x sin 3x
1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół b dla x < 0
2
ex - 1
RozwiÄ…zanie:
Funkcja jest ciągła dla x = 0 . Funkcja będzie ciągła w punkcie x = 0 , gdy:

lim f(x) = lim f(x) = f(0)
x0+ x0-
f(0) = a
ëÅ‚ öÅ‚2
2 1
x2 x2
íÅ‚ Å‚Å‚
lim f(x) = lim 1 + x2 = lim 1 + x2 = e2
x0+ x0+ x0+

0 0
0 0
1 - cos 2x + x sin 3x 2 sin 2x + sin 3x + 3x cos 3x
lim f(x) = b lim b lim
= =
2 2
x0- x0- ex - 1 x0- 2xex
H H
4 cos 2x + 3 cos 3x + 3 cos 3x - 9x sin 3x
b lim = 5b
2 2
x0- 2ex + 4x2xex
Dostajemy równanie:
a = e2 = 5b
Odpowiedz
:
Funkcja jest ciągła, gdy:
e2
a = e2 , b =
5
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
2 9 12
f(x) = - +
x3 x2 x
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji jest:
D = (-", 0) *" (0, ")
Badamy monotoniczność funkcji rozwiązując nierówność f (x) > 0 :
-6 18 12
f (x) = + -
x4 x3 x2
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 .
-6 18 12 x4
+ - > 0 mnożymy przez > 0
x4 x3 x2 6
-2x2 + 3x - 1 > 0
" = 1
1
x1 = 1 , x2 =
2
1
-2(x - 1)(x - ) > 0
2
x " (1 , 1)
2
Wniosek:
1
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale < , 1 > ,
2
1
Funkcja f(x) jest malejąca na przedziałach: (-" , 0) ; (0 , > ; < 1 , ")
2
W punkcie x = 1 jest więc maksimum lokalne,
1
w punkcie x = jest więc minimum lokalne.
2
Aby sprawdzić, czy x = 1 jest maksimum globalnym obliczamy:
f(1) = 5

2 9 12 2 - 9x + 12x2 2
lim f(x) = lim - + = lim = = +"
x0+ x0+ x3 x2 x x0+ x3 0+
Ponieważ f(1) < f(0+) więc funkcja nie ma maksimum globalnego.
1
Aby sprawdzić, czy x = jest minimum globalnym obliczamy:
2
f(1) = 4
2

2 9 12
lim f(x) = lim - + = 0
x" x"
x3 x2 x
Ponieważ f(1) >< f(") więc funkcja nie ma minimum globalnego.
2
Odpowiedz
:
Funkcja ma:
1
minimum lokalne w punkcie x = ,
2
maksimum lokalne w punkcie x = 1,
nie ma maksimum globalnego ani minimum globalnego
3

4. Znalez
ć różniczkowalną funkcję F : R R taką, że F (x) = x2 sin x oraz F (0) = 0
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F (x) jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji h(x) = x2 sin x . Obliczamy:


f(x) = x2 g (x) = sin x
F (x) = x2 sin x dx = = x2(- cos x)- 2x·(- cos x) dx =
f (x) = 2x g(x) = - cos x

-x2 cos x + 2 x cos x dx =
Całkowaliśmy przez części.


f(x) = x g (x) = cos x
x cos x dx = = x sin x - 1 · sin x = x sin x + cos x + C
f (x) = 1 g(x) = sin x
StÄ…d:
F (x) = -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C
Podstawiamy F do równania: F (0) = 0
F (0) = 2 + C = 0 =Ò! C = -2
Odpowiedz
:
F (x) = -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x - 2
4
1 2
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = oraz y =
x2 + 1 x2 + 3
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
1 2
= =Ò! 2x2 + 2 = x2 + 3 =Ò! x2 = 1 =Ò! x = Ä…1
x2 + 1 x2 + 3
Pole obszaru jest równe:
1 1 1
1 2 1 1
S = - dx = dx - 2 dx
x2 + 1 x2 + 3 x2 + 1 x2 + 3
-1 -1 -1
Obliczamy całki:
1
1
1 Ä„ Ä„ Ä„
dx = arc tg x = - (- )) =
-1
x2 + 1 4 4 2
-1
" " "
1 1
1
1 1 1 3 x 3 Ä„ Ä„ Ä„ 3
"
dx = dx = arc tg = ( - (- )) =
2
-1
x
x2 + 3 3 3 3 6 6 9
3
"
+ 1
-1 -1
3
x
"
Zastosowaliśmy podstawienie liniowe t =
3
Pole obszaru jest równe:
"
"
Ä„(9 - 4 3)
Ä„
S = - 2Ä„ 3 =
2 9
18
Odpowiedz
:
"
Ä„(9 - 4 3)
S =
18
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

4
dx
x3 + 2x2
1
RozwiÄ…zanie:
"
b
4 4
I = dx = lim dx
b"
x3 + 2x2 x3 + 2x2
1 1
b
4
Ib = dx
x3 + 2x2
1
Rozkładamy mianownik na czynniki:
x3 + 2x2 = x2(x + 2)
Funkcję wymierną rozkładamy na ułamki proste:
4 A B C
= + +
x2(x + 2) x x2 x + 2
4 = Ax(x + 2) + B(x + 2) + Cx2
Podstawiamy x = 0 =Ò! 4 = 2B =Ò! B = 2
Podstawiamy x = -2 =Ò! 4 = 4C =Ò! C = 1
Podstawiamy x = 1 =Ò! 4 = 3A + 3B + C =Ò! 4 = 3A + 6 + 1 =Ò! A = -1
eb b

-1 2 1 2 2
Ib = + + dx = - ln |x| - + ln |x + 2| = - ln |b| - + ln |b + 2| +
x x2 x + 2 x b
1
1


b + 2

ln 1 + 2 - ln 3 = ln + 2 - ln 3

b
Obliczamy granicÄ™:


b + 2

2
I = lim ln + 2 - ln 3 = 2 - ln 3 + lim ln 1 + = 2 - ln 3 + ln 1 = 2 - ln 3
b

b" b"
b
Odpowiedz
:
I = 2 - ln 3
6