Egzamin z Analizy 1, 12 IX 2012
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.

"
1 3
1. Obliczyć granicÄ™ lim · 9n2 + 4 - 2
n"
n
RozwiÄ…zanie:


" "
1 4 2
lim · 9n2 + 4 - 2 = lim 9 + - = 9 + 0 - 0 = 3
n" n"
n n2 n
"
ln(e + x2)
2. Obliczyć granicę lim
x0
x2
RozwiÄ…zanie:
ln(e + x2) 1
lim = = "
x0
x2 0+
3. Obliczyć drugą pochodną f (1) jeżeli f(x) = x arc tg(2x)
1
2
RozwiÄ…zanie:
2 2x
f (x) = arc tg(2x) + x · = arc tg(2x) +
4x2 + 1 4x2 + 1
2 2(4x2 + 1) - 2x · 8x 2 2 - 8x2
f (x) = + = +
4x2 + 1 (4x2 + 1)2 4x2 + 1 (4x2 + 1)2
2 2 - 2
f (1) = + = 1
2
1 + 1 (1 + 1)2
1 3 ln 2
12x3
4. Obliczyć całkę dx
x4 + 1
0
RozwiÄ…zanie:
1 2
12x3 3
dx = {t = x4 + 1 ; dt = 4x3 dx ; t(0) = 1 ; t(1) = 2} = dt =
x4 + 1 t
0 1
2
3 ln t = 3(ln 2 - ln 1) = 3 ln 2
1

x + 2 arc tg x + C
x2 + 3
5. Obliczyć całkę
x2 + 1
RozwiÄ…zanie:


x2 + 3 2
dx = 1 + dx = x + 2 arc tg x + C
x2 + 1 x2 + 1
1
2. Dla jakiej wartości parametrów a, b funkcja f : (-1 , 1) R jest ciągła?
Å„Å‚
x + sin 2x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla - 1 < x < 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ ln(1 + x)
f(x) =
a dla x = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ " dla 0 < x < 1
b +
ół
1 + tg x - cos x
RozwiÄ…zanie:
Funkcja f(x) jest ciągła na zbiorze (-1 , 0) *" (0 , 1) . Sprawdzamy ciągłość w x = 0 .
Obliczamy:
f(0) = a

0

0
x x 1
"
lim f(x) = lim b+ = b+ lim " b+ lim =
=
1
x0+ x0+ 1 + tg x - cos x x0+ 1 + tg x - cos x x0+
cos2 x
"
+ sin x
H
2 1+tg x
b + 2

0
0
x + sin 2x 1 + 2 cos 2x
lim f(x) = lim lim = 3
=
x0- x0- ln(1 + x) x0- 1
1+x
H
Warunek f(0) = lim f(x) = lim f(x)
x0+ x0-
jest spełniony gdy:
a = b + 2 = 3
czyli: a = 3 , b = 1
Odpowiedz
:
Funkcja f(x) jest ciągła dla a = 3 , b = 1
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
"
f(x) = 3x2 - 16x x + 18x
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji jest:
D =< 0 , ")
Badamy monotoniczność funkcji rozwiązując nierówność f (x) > 0 :
" "
3
f (x) = 6x - 16 · x + 18 = 6x - 24 x + 18 (f (x) istnieje na D) .
2
"
6x - 24 x + 18 > 0 dzielimy przez 6
"
x - 4 x + 3 > 0
"
Podstawiamy t = x
t2 - 4t + 3 > 0
(t - 1)(t - 3) > 0
t " (-" , 1) *" (3 , ") =Ò!
x "< 0 , 1) *" (9 , ")
Wniosek:
f(x) jest rosnÄ…ca na przedziale < 0 , 1 > oraz na przedziale < 9 , ")
f(x) jest malejÄ…ca na przedziale < 1 , 9 >
W punkcie x = 1 jest więc maksimum lokalne,
w punktach x = 0 oraz x = 9 jest więc minimum lokalne.
Aby znalez
ć minima globalne obliczamy:
f(0) = 0
f(9) = 243 - 432 + 162 = -27
Ponieważ f(0) > f(9) więc x = 9 jest minimum globalnym.
Aby znalez
ć maksima globalne obliczamy:
f(1) = 5

" 16 18
lim f(x) = lim 3x2 - 16x x + 18x = lim x2 3 - " + = " · 3 = "
x" x" x"
x x
Ponieważ f(1) < f(") więc funkcja nie ma maksimum globalnego.
Odpowiedz
:
Funkcja ma:
minimum lokalne: w punktach x = 0 oraz x = 9,
minimum globalne: w punkcie x = 9 o wartości f(9) = -27 .
maksimum lokalne: w punkcie x = 9,
maksimum globalne: brak.
3
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną

cos x
I = dx
sin2 x + sin x
RozwiÄ…zanie:
Całkujemy przez podstawienie:

t = sin x
dt = cos x dx

1 1
I = cos x dx = dt
sin2 x + sin x t2 + t
Fukncję wymierną rozkładamy na ułamki proste:
1 1 A B
= = +
t2 + t t(t + 1) t t + 1
1 = A(t + 1) + Bt
Podstawiamy t = 0 , stÄ…d A = 1
Podstawiamy t = -1 , stÄ…d B = -1

1 1
I = - dt - - dt = ln |t| - ln |t + 1| + C = ln | sin x| - ln | sin x + 1| + C
t t
Odpowiedz
:
I = ln | sin x| - ln | sin x + 1| + C
4
5. Dla jakiej wartości parametru a pola obszarów D1 i D2 są takie same?
Å„Å‚

0 x a
òÅ‚
0 x Ä„
D1 : 4 ; D2 :
ół
0 y 0 y sin2 x
x2 + 4
RozwiÄ…zanie:
Pole obszaru D1 jest równe:
a a
4 1
S1 = dx = dx
2
x
x2 + 4
+ 1
0 0
2
Postawiamy:
x 1 a
{t = ; dt = dx ; t(0) = 0 ; t(a) = }
2 2 2
Obliczamy całkę:
a
2 a
2
1 a
S1 = 2 dt = 2 arc tg t = 2 arc tg
t2 + 1 2
0
0
Pole obszaru D2 jest równe:
Ä„ Ä„
1 - cos 2x x sin 2x Ä„ Ä„
S2 = sin2 x dx = dx = - =
2 2 4 2
0
0 0
a Ä„
2 arc tg =
2 2
a Ä„
arc tg =
2 4
a Ä„
= tg = 1
2 4
a = 2
Odpowiedz
:
Pola obszarów są równa dla a = 2 .
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

4xe-2x dx
0
RozwiÄ…zanie:
"
b
I = 4xe-2x dx = lim 4xe-2x dx
b"
0 0
-2b
b
Ib = 4xe-2x dx = {t = -2x ; dt = -2 dx ; t(0) = 0 ; t(b) = -2b} = tet dt =
0 0
Całkujemy przez części

-2b -2b -2b

f(t) = t g (x) = et
= tet - et dt = -2be-2b - 0 - et = -2be-2b -
f (x) = 1 g(x) = et
0 0
0
e-2b + 1
Obliczamy granicÄ™:

-"

"
-2b - 1 -2
I = lim -2be-2b - e-2b + 1 = 1 + lim 1 + lim = 1
=
b" b" b"
e2b 2e2b
H
Odpowiedz
:
I = 1
6