Egzamin z Algebry, 10 II 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
"
1 Przedstawić w postaci kanonicznej (algebraicznej) iloczyn liczb zespolonych - 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin i z2 = 1 + i
4 4
RozwiÄ…zanie:
" "
2 2
z1 = - + i
2 2
" " " " " "
"
2 2 2 2 2 2
z1 · z2 = (- + i ) · (1 + i) = - - i + i - = - 2
2 2 2 2 2 2
2 Dla jakiej wartości parametru p " R rząd macierzy A jest równy 3 ? p = -2

îÅ‚ Å‚Å‚
p 1 -1
ïÅ‚ śł
A = 1 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 p 0
RozwiÄ…zanie:


p 1 -1


detA = 1 2 0 = 0 + 0 - p - (2 + 0 + 0) = -p - 2


-1 p 0
-p - 2 = 0 =Ò! p = -2

"
-
Ä„
3 Wyznaczyć kąt między wektorem w = [3 , 2 , - 3] i osią Oy układu współ-
3
rzędnych.
RozwiÄ…zanie:
-

j = [0, 1, 0]
-

-

w ć% j 0 + 2 + 0 1
"
cos Ä… = = =
-

-
2
9 + 4 + 3 · 1
|| · | j |
w
Ä„
Ä… =
3
4 Napisać równanie okręgu o promieniu r = 1 , którego środek leży w ognisku x2 + y2 = 1
(x - 5)2 y2
hiperboli - = 1 , położonym bliżej początku układu współrzęd-
16 9
nych.
RozwiÄ…zanie:
a = 4 , b = 3 , środek S(5, 0)
"
F (5 Ä… a2 + b2, 0) =Ò! F (5 Ä… 5, 0) ogniska hiperboli
F1(0, 0) , F2(10, 0)
F1(0, 0) jest poÅ‚ożone bliżej poczÄ…tku ukÅ‚adu =Ò! jest Å›rodkiem okrÄ™gu.
y2 z2
5 Napisać w postaci kanonicznej równanie powierzchni walcowej o kierownicy + = 1
5 10
y2 z2
danej równaniem + = 1 i tworzącej równoległej do osi Ox .
5 10
RozwiÄ…zanie:
Szukana powierzchnia walcowa:
y2 z2
{(x, y, z) " R3 : + = 1}
5 10
1
2. Rozłożyć na czynniki liniowe wielomian
W (z) = z3 - iz2 - 2iz - 2
wiedząc, że jednym z jego pierwiastków jest z1 = i .
RozwiÄ…zanie:
Dzielimy wielomian W (z) przez wielomian z - i
W (z) = (z - i)(z2 - 2i)
Rozwiązujemy równanie:
"
z2 - 2i = 0 =Ò! z2 = 2i =Ò! z = 2i
Ä„ Ä„
2i = 2(cos + i sin ) postać trygonometryczna
2 2

Ä„ Ä„
"
+ 2kĄ + 2kĄ
2 2
zk = 2 cos + i sin , k = 0, 1
2 2
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
z0 = 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 1 + i
4 4 2 2
" "
" "
5Ä„ 5Ä„ 2 2
z1 = 2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = -1 - i
4 4 2 2
StÄ…d:
W (z) = (z - i)(z - 1 - i)(z + 1 + i)
Odpowiedz
:
W (z) = (z - i)(z - 1 - i)(z + 1 + i)
2
3. Wyznaczyć niewiadomą y z układu równań
Å„Å‚
x + 2y + 2z + 3t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
3y + t = 1
ôÅ‚ - 2y + t = 1
5x
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
4x - 5y + 2t = 1
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy:


1 2 2 3

0 3 1

0 3 0 1

|A| = = 2·(-1)1+3 5 -2 1 = 2 0+12-25-(-8+0+30) = -70

-2 0 1

5

4 -5 2

4 -5 0 2
(zastosowaliśmy rozwinięcie Laplace a względem trzeciej kolumny)
Ponieważ |A| = 0 więc układ ma jedno rozwiązanie. Stosujemy wzory Cramera:

|Ay|
y =
|A|


1 3 2 3

0 1 1

0 1 0 1

|Ay| = = 2 · (-1)1+3 5 1 1 = 2 0 + 4 + 5 - (4 + 0 + 10) = -10


5 1 0 1

4 1 2

4 1 0 2
(zastosowaliśmy rozwinięcie Laplace a względem trzeciej kolumny)
-10 1
y = =
-70 7
Odpowiedz
:
1
y =
7
3
4. Dane są trzy punkty A(1, 1, -4) , B(-1, 0, 0) , C(0, 0, -1) . Jeżeli punkty są współ-
liniowe wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. W przeciwnym
wypadku napisać równanie zawierającej je płaszczyzny.
RozwiÄ…zanie:
- -

AB = [-2, -1, 4] , AC = [-1, -1, 3]
Widać, że wektory nie są równoległe, a więc punkty nie są współliniowe.
Wektorem normalnym płaszczyzny zawierającej punkty A ,B , C jest
- -

-

n = AB × AC
Obliczamy


i j k

- -


AB × AC = -2 -1 4 = [1, 2, 1]


-1 -1 3
Ä„ : x + 2y + z + D = 0
A " Ä„ =Ò! 1 + 2 - 4 + D = 0 =Ò! D = 1
Ä„ : x + 2y + z + 1 = 0
Odpowiedz
:
Punkty A ,B , C nie są współliniowe. Równanie płaszczyzny zawierającej te punkty:
Ä„ : x + 2y + z + 1 = 0
4
x y z
5. Wyznaczyć rzut prostokątny punktu A(0, 1, 2) na płaszczyznę Ą : + + = 1
2 3 4
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie płaszczyzny:
Ä„ : 6x + 4y + 3z - 12 = 0
-

n = [6, 4, 3] wektor normalny Ä„
Prosta prostopadła do płaszczyzny pi przechodząca przez punkt A:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 6t
òÅ‚
l : y = 4t + 1
ôÅ‚
ół
z = 3t + 2
Rzut A jest punktem przecięcia prostej l i płaszczyzny Ą:
36t + 4(4t + 1) + 3(3t + 2) - 12 = 0
61t - 2 = 0
2 12 69 128
t = =Ò! x = , y = , z =
61 61 61 61
Odpowiedz
:
Rzut punktu A:
69 128
A = (12, , )
61 61 61
5
6. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez środek sfery
(x + 1)2 + (y - 5)2 + (z + 2)2 = 36 , równoległej do prostej

2x + 2y + z - 3 = 0
l :
4x + 2y + z + 2 = 0
RozwiÄ…zanie:
Åšrodek sfery jest w punkcie O(-1, 5, -2) .
Prosta l1 równoległa do l ma równanie:

2x + 2y + z + D1 = 0
l1 :
4x + 2y + z + D2 = 0

-2 + 10 - 2 + D1 = 0 D1 = -6
O " l1 =Ò! =Ò!
-4 + 10 - 2 + D2 = 0 D2 = -4
Odpowiedz
:
Szukana prosta:

2x + 2y + z - 6 = 0
l1 :
4x + 2y + z - 4 = 0
6