Egzamin z Matematyki 1, 1 II 2006
1 - z
1. Narysować zbiór z " C : Re = 1
1 + z
RozwiÄ…zanie:
z = -1

z = x + iy , gdzie x, y " R
1 - z 1 - x - iy (1 - x - iy)(1 + x - iy) 1 - x2 - y2 - 2iy
Re = Re = Re = Re =
1 + z 1 + x + iy (1 + x)2 + y2 (1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2
(1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2
= 1
(1 + x)2 + y2
1 - x2 - y2 = (1 + x)2 + y2
2x2 + 2y2 + 2x = 0
x2 + y2 + x = 0
1 1
(x + )2 + y2 =
2 4
1
Szukany zbiór to okrąg, środek w (-1, 0) , promień , bez jedngo punktu: (-1, 0)
2 2
2. Ze wzoru Cramera wyznaczyć x4
x1 + x2 + x3 + x4 = -4
2x2 + 2x3 - 2x4 = 4
3x2 - 5x3 - 4x4 = -8
2x1 + 3x4 = -2
RozwiÄ…zanie:
Jeśli |A| = 0 to układ ma jedno rozwiazanie i

|A4|
x4 =
|A|


1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 -2 2 2 -2

0 2 2 -2 0 2 2 -2

|A| = = = 3 -5 -4 = 3 -5 -4 =

0 3 -5 -4 0 3 -5 -4

-2 -2 1 0 0 -1

2 0 0 3 0 -2 -2 1


2 2

- = 16
-5

3
|A| = 0 możemy więc korzystać ze wzoru Cramera.


1 1 1 -4 1 1 1 -4

2 2 4 2 2 4

0 2 2 4 0 2 2 4

|A4| = = = 3 -5 -8 = 3 -5 -8 =

0 3 -5 -8 0 3 -5 -8

-2 -2 6 0 0 10

2 0 0 -2 0 -2 -2 6


2 2

10 = -160
-5

3
-160
x4 = = -10
16
3. Dane są punkty A : (0, 0, 0) , B (1, 0, 0). Na prostej l wyznaczyć taki punkt C aby
":
2
pole trójkata ABC było równe
2
l : x - 1 = y = z
RozwiÄ…zanie:
Punkt C prostej l ma współrzędne C(t + 1, t, t)
Pole S trojkąta ABC jest równe:
- -

1
S = |AB × AC|
2
-

AB = [1, 0, 0]
-

AC = [t + 1, t, t]
- -

AB × AC = [0, -t, t]
"
"
1 2
S = 2t2 = |t|
2 2
" "
2 2
|t| =
2 2
|t| = 1
t1 = 1 ; t2 = -1
C1 = (2, 1, 1) ; C2 = (0, -1, -1)
(x-1)2
2
4. Zbadać przebieg funkcji f(x) = e-
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (-", ")
Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta
Granice:
Brak asymptot pionowych
(x-1)2
2
lim e- = 0
x"
Funkcja ma asymptotÄ™ poziomÄ… w +" : y = 0
(x-1)2
2
lim e- = 0
x-"
Funkcja ma asymptotÄ™ poziomÄ… w -" : y = 0
Pochodna
(x-1)2
2
f (x) = -(x - 1)e-
f (x) > 0 a" x < 1 : funkcja rosnÄ…ca, w x = 1 f(x) ma maksimum lokalne
(x-1)2 (x-1)2 (x-1)2
2 2 2
f (x) = -e- + (x - 1)2e- = (x2 - 2x)e-
f (x) > 0 a" x2 - 2x > 0 a" x " (-", 0) *" (2, ") : fukcja wypukła, w x = 0 i x = 2 są
punkty przegięcia
x -" ... 0 ... 1 ... 2 ... "
f (x) + + + 0 - - -
f (x) + 0 - - - 0 +
1 1
" "
f(x) 0 1 0
e e

e
"
5. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x , gdzie 0 x 3 i całkę ln x dx
1
RozwiÄ…zanie:
Długość łuku krzywej jest równa:


b
l = 1 + (y )2 dx
a
" "
3
3
2
(x x) = (x ) = x
2

3
3
9 8 9 3 1 3
2 2
l = 1 + x dx = (1 + x) = (31 - 8)
0 4 27 4 27
0

e
ln x dx
1
Całkujemy przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = x
x

e e
ln x dx = [x ln x]e - dx = e - [x]e = 1
1 1
1 1