Egzamin z Matematyki 1, 8 II 2006
1. Wiedząc, że x " C rozwiązać równanie:


x -1 0 0


0 x -1 0

= 0

0 0 x -1


4 4 1 1
RozwiÄ…zanie:


x -1 0 0 x -1 0 0

x -1 0

0 x -1 0 0 x -1 0

= = 0 x -1 = x2(1+x)+4+4x =

0 0 x -1 0 0 x -1

4 4 1 + x

4 4 1 1 4 4 1 + x 0
(x2 + 4)(x + 1)
(x2 + 4)(x + 1) = 0
x2 + 4 = 0 lub x + 1 = 0
x2 + 4 = 0
x2 = -4
x1 = 2i ; x2 = -2i
x + 1 = 0
x3 = -1

x - 2y - 1 = 0
2. Obliczyć odległość punktu O(0, 0, 0) od prostej l : i znalez
ć rów-
3x - 2z + 5 = 0
nanie płaszczyzny, w której leży punkt O i prosta l .
RozwiÄ…zanie:
-

| × AO|
v
Odległość punktu O od prostej l jest równa: d = , gdzie A jest dowol-
|
v|
nym punktem prostej l, a jest jej wektorem kierunkowym. Przekształcamy równanie
v
prostej l do postaci parametrycznej.
y = t
x = 2t + 1
z = 3t + 4
Z tego równania znajdujemy:
A = (1, 0, 4) (dla t = 0) ; = [2, 1, 3]
v
-

AO = [-1, 0, -4]
-

× AP = [-4, 5, 1]
v
"
"
42
"
d = = 3
14
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l ma postać:
Ä…(x - 2y - 1) + ²(3x - 2z + 5) = 0
Punkt O spełnia to równanie, więc:
-Ä… + 5² = 0
Równanie to speÅ‚nia np. Ä… = 5 ; ² = 1
Równaniem szukanej płaszczyzny jest więc:
5(x - 2y - 1) + (3x - 2z + 5) = 0
po uproszczeniu:
8x - 10y - 2z = 0
4x - 5y - z = 0
1 - x
3. Wyznaczyć wzór Maclaurina dla funkcji f(x) = ; n = 4
1 + x
RozwiÄ…zanie:
f (0)x f (0)x2 f (0)x3
f(x) = f(0) + + + + R4
1! 2! 3!
fIV (¸x)x4
R4 = , gdzie 0 < ¸ < 1
4!
f(0) = 1
-2
f (x) = , f (0) = -2
(1 + x)2
4
f (x) = , f (0) = 4
(1 + x)3
-12
f (x) = , f (0) = -12
(1 + x)4
48
fIV (x) =
(1 + x)5
Wzór Maclaurina:
1 - x
= 1 - 2x + 2x2 - 2x3 + R4
1 + x
2x4
R4 = - , gdzie 0 < ¸ < 1 , a x " (-1, ")
(1 + ¸x)5
4. Narysować wykres funkcji:

xex dla x 0
f(x) =
- ln x dla x > 0
przy czym funkcję g(x) = xex dla x 0 zbadać.
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina g(x) D = (-", 0 >
x 1
lim xex = lim = lim = 0
x-" x-"
e-x x-" -e-x
g(0) = 0
Funkcja g(x) ma asymptotÄ™ poziomÄ… w -" : y = 0
Pochodna:
g (x) = (x + 1)ex
g (x) > 0 a" x > -1
g (x) < 0 a" x < -1
g (x) = (x + 2)ex
g (x) > 0 a" x > -2
g (x) < 0 a" x < -2
x -" ... -2 ... -1 ... 0
f (x) - - - 0 +
f (x) - 0 + + +
f(x) 0 -2e-2 -e 0
1
5. Obliczyć pole figury D ograniczonej krzywymi: K1 : y = x2 , K2 : y = x2 , K3 : y = 4
4
RozwiÄ…zanie:
Pole S figury D jest równe różnicy S = S1 - S2
4
4
1 1 64
S1 = 4 - x2 dx = 4x - x3 =
3
-4 4 12 -4
2
2
1 32
S1 = 4 - x2 dx = 4x - x3 =
3
-2 3 -2
64 32 32
S = - =
3 3 3