Egzamin z Algebry, 5 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
"
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
1 Obliczyć sumę z1 + z2 , jeżeli z1 = 2(cos + i sin ) , z2 = cos + i sin 1 + 2i
4 4 2 2
RozwiÄ…zanie:
z1 = 1 + i
z2 = i
z1 + z2 = 1 + 2i
2 Obliczyć wyznacznik macierzy C = AB , jeżeli 720
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -8 4 0 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A = 0 2 13 , B = 17 5 0 ûÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
0 0 3 -11 -4 6
RozwiÄ…zanie:
|C| = |AB| = |A| · |B|
|A| = 1 · 2 · 3 = 6 wyznacznik macierzy trójkÄ…tnej
|B| = 4 · 5 · 6 = 120 wyznacznik macierzy trójkÄ…tnej
|C| = 6 · 120 = 720
Å„Å‚
ôÅ‚ -1 + 2s - t
x =
òÅ‚
3 Wyznaczyć punkt przecięcia płaszczyzny Ą : y = 1 - s s, t " R (2, 0, 0)
ôÅ‚
ół
z = s + t
z osiÄ… Ox .
RozwiÄ…zanie:

y = 0 1 - s = 0 s = 1
=Ò! =Ò! =Ò! x = 2
z = 0 s + t = 0 t = -1
"
4 Obliczyć odległość środka elipsy: 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 od początku 5
układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
4(x2 - 2x) + 9(y2 - 4y) + 4 = 0
4(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36
(x - 1)2 (y - 2)2
+ = 1
9 4
środek 2)
"elipsy S(1,"
0S = 12 + 22 = 5
Ä…1
" -1, -1]
5 Wyznaczyć wersory prostopadłe do pary wektorów u = [1, 1, 0] oraz [1,
3
v = [1, 0, 1]
RozwiÄ…zanie:


i j k


w = u × v = 1 1 0 = [1, -1, -1]


1 0 1
"
|w| = 3
1
2. Rozwiązać równanie z3 - iz2 - 2iz - 2 = 0 . (Wskazówka: jednym z pierwiastków jest
z1 = i )
RozwiÄ…zanie:
Dzielimy wielomian W (z) = z3 - iz2 - 2iz - 2 przez wielomian z - i
W (z) = (z - i)(z2 - 2i)
Rozwiązujemy równanie:
"
z2 - 2i = 0 =Ò! z2 = 2i =Ò! z = 2i
Ä„ Ä„
2i = 2(cos + i sin ) postać trygonometryczna
2 2

Ä„ Ä„
"
+ 2kĄ + 2kĄ
2 2
zk = 2 cos + i sin , k = 0, 1
2 2
" "
" "
Ä„ Ä„ 2 2
z0 = 2(cos + i sin ) = 2( + i ) = 1 + i
4 4 2 2
" "
" "
5Ä„ 5Ä„ 2 2
z1 = 2(cos + i sin ) = 2(- - i ) = -1 - i
4 4 2 2
Odpowiedz
:
z1 = i , z2 = 1 + i , z3 = -1 - i
2
3. Rozwiązać nierówność:


2 2 2 2 2


1 2 1 x 2


3 3 x -1 0 > 0


x x x x2 0



2 2 2 4 2
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy wyznacznik macierzy A


2 2 2 2 2 0 2 2 2 2


1 2 1 x 2 0 2 1 x 2


{k1 = k1 - k3} {Rozw. Laplace a wzgl. k1}

|A| = 3 3 x -1 0 3 - x 3 x -1 0

= =

x x x x2 0 0 x x x2 0



2 2 2 4 2 0 2 2 4 2


2 2 2 2 0 2 2 2


2 1 x 2 {k1 = k1 - k4} 0 1 x 2 {Rozw. Laplace a wzgl. k1}

(3-x)·(-1)4 (3-x)·


x x x2 0 = x x x2 0 =


2 2 4 2 0 2 4 2


2 2 2 0 2 2

{k1 = k1 - k3} {Rozw. Laplace a wzgl. k1}

(3-x)x·(-1)4 1 x 2 (3-x)x -1 x 2


= =

2 4 2 0 4 2


2 2
(3 - x)x(-1)(-1)3 = -4(3 - x)x


4 2
Rozwiązujemy nierówność
-4(3 - x)x > 0
x(x - 3) > 0
x " (-", 0) *" (3, ")
Odpowiedz
:
x " (-", 0) *" (3, ")
3
4. Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (-3, 2, 1) i zawierającej
prostÄ…

x - y + z - 2 = 0
l :
x + 2y + 3z + 8 = 0
RozwiÄ…zanie:
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l (pęk płaszczyzn):
Ä„ : Ä…(x - y + z - 2) + ²(x + 2y + 3z + 8) = 0
Ä…(-3 - 2 + 1 - 2) + ²(-3 + 4 + 3 + 8) = 0 P " Ä„
-6Ä… + 12² = 0
Ä… = 2²
Wybieramy dowolnÄ… niezerowÄ… wartość np. ² = 1 , wtedy mamy Ä… = 2.
2(x - y + z - 2) + (x + 2y + 3z + 8) = 0
3x + 5z + 4 = 0
Odpowiedz
:
Równanie płaszczyzny Ą : 3x + 5z + 4 = 0
4
5. Przez punkt P (1, 2, 1) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do rzutu prostej
x - 1 y - 3 z
l : = = na płaszczyznę Ą : x + y + z + 1 = 0
2 -1 3
RozwiÄ…zanie:
-

v = [2, -1, 3] wektor kierunkowy prostej l
-

n = [1, 1, 1] wektor normalny płaszczyzny Ą
Oznaczmy l - rzut prostej l na płaszczyznę Ą.
- - -

Wektor w = n × v jest prostopadÅ‚y do prostej l i równolegÅ‚y do pÅ‚aszczyzny Ä„.
Jest więc również prostopadły do prostej l .
- - -

Wektor v = n × w jest wiÄ™c wektorem kierunkowym prostej l i jednoczeÅ›nie wek-
torem normalnym szukanej płaszczyzny Ą1.
Obliczamy


i j k

-

w = 1 1 1 = [4, -1, -3]


2 -1 3


i j k


-

v = 1 1 1 = [-2, 7, -5]


4 -1 -3
Ä„1 : -2x + 7y - 5z + D = 0
P " Ä„1 =Ò! -2 + 14 - 5 + D = 0 =Ò! D = -7
Ä„1 : -2x + 7y - 5z - 7 = 0
Odpowiedz
:
Równanie szukanej płaszczyzny
Ä„1 : -2x + 7y - 5z - 7 = 0
5
6. Wyznaczyć współrzędne punktu styczności płaszczyzny 2x - 6y + 3z - 49 = 0 i sfery
x2 + y2 + z2 = 49 .
RozwiÄ…zanie:
Åšrodek sfery jest w punkcie O(0, 0, 0) .
-

Wektor normalny płaszczyzny: n = [2, -6, 3]
Prosta l przechodząca przez środek sfery i prostopadła do płaszczyzny ma równanie
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2t
òÅ‚
l : y = -6t
ôÅ‚
ół
z = 3t
Szukany punkt styczności P jest punktem przecięcia prostej l i płaszczyzny.
4t + 36t + 9t - 49 = 0
t = 1
P (2, -6, 3)
Uwaga. Należy jeszcze sprawdzić, czy dana płaszczyzna jest rzeczywiście styczna do
sfery.
"
Promień sfery R = 49 = 7
|2 · 0 - 6 · 0 + 3 · 0 - 49|

Odległość środka sfery od płaszczyzny: d = = 7
22 + (-6)2 + 32
Ponieważ d = R więc płaszczyzna jest styczna do sfery.
Odpowiedz
:
Szukany punkt styczności: P (2, -6, 3)
6