Egzamin z Analizy 1, 4 II 2013 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.
"
3n2 + n3 + 5
1. Obliczyć granicę: lim 0
n"
n3 + 4n
RozwiÄ…zanie:

"
1 5 1 5
n2(3 + + ) 3 + +
3n2 + n3 + 5 3
n n4 n n4
lim = lim = lim = = 0
4 4
n" n" n"
n3 + 4n n3(1 + ) n(1 + ) "
n3 n3
ln x
2. Obliczyć granicę lim 0
4
x0+ "
1 +
x
RozwiÄ…zanie:

-"
"
1
+"
ln x x
x
lim lim = lim - = 0
=
4
"2
x0+ " x0+ - x0+ 2
1 +
x
x3
H
3. Obliczyć drugą pochodną f (1) jeżeli f(x) = x2 ln(3x - 2) 3
RozwiÄ…zanie:
x2 3x2
f (x) = 2x ln(3x - 2) + · 3 = 2x ln(3x - 2) +
3x - 2 3x - 2
6x 6x(3x - 2) - 3x2 · 3
f (x) = 2 ln(3x - 2) + +
3x - 2 (3x - 2)2
6 6 - 9
f (1) = 0 + + = 3
1 1

4. Obliczyć całkę nieoznaczoną 6 cos3 x dx 6 sin x-2 sin3 x+C
RozwiÄ…zanie:

6 cos3 x dx = 6 cos2 x · cos x dx = 6(1 - sin2 x) cos x dx = {t =

sin x ; dt = cos x dx} = 6(1 - t2) dt = 6t - 2t2 + C = 6 sin x - 2 sin3 x + C
ln 3

ex
5. Obliczyć całkę Riemanna dx ln 2
ex + 1
0
RozwiÄ…zanie:
ln 3
4
ex 1
dx = {t = ex + 1 ; dt = ex dx ; t(0) = 2 ; t(ln 3) = 4} = dt =
ex + 1 t
0 2
4
ln |t| = ln 4 - ln 2 = ln 2
2
1
2. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ krzywe: y1 = 1 + arc tg(x2 - 1) oraz
"
3
y2 = xe2x-2 - x3 + (2x - x2) x w punkcie P (1, 1) ?
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy pochodne, które są współczynnikami kierunkowymi prostych stycznych do
krzywych:
2x

y1 =
1 + (x2 - 1)2

k1 = y1(1) = 2
" 1
3
"
y2 = e2x-2 + 2xe2x-2 - 3x2 + (2 - 2x) x + (2x - x2)
3
3 x2
1 1
k2 = y2(1) = 1 + 2 - 3 + 0 + =
3 3

1

2
k1 - k2 -

3
tg Ä… = = = 1
2

1 + k1 · k2 1 +
3
Ä„
Ä… =
4
Odpowiedz
:
Ä„
W punkcie P (1, 0) krzywe przecinajÄ… siÄ™ pod kÄ…tem Ä… =
4
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
f(x) = ex - 2e-x - 3x
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji D = (-", ")
Badamy monotoniczność funkcji obliczając pochodną:
f (x) = ex + 2e-x - 3
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 .
ex + 2e-x - 3 > 0
1
Podstawiamy t = ex > 0 wtedy e-x =
t
2
t + - 3 > 0 mnożymy przez t > 0
t
t2 - 3t + 2 > 0
(t - 1)(t - 2) > 0
t " (0, 1) *" (2, ")
x " (-", 0) *" (ln 2, ")
Wniosek:
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale (-", 0 > ,
malejÄ…ca na przedziale < 0, ln 2 > ,
malejÄ…ca na przedziale < ln2, ") ,
W punkcie x = 0 jest więc maksimum lokalne, a w x = ln 2 jest minimum lokalne.
Aby sprawdzić, czy x = 0 jest maksimum globalnym obliczamy:
f(0) = 0
3x
lim f(x) = lim (ex - 2e-x - 3x) = lim ex(1 - 2e-2x - ) = "(1 + 0 + 0) = "
x+" x+" x+"
ex

"
"
3x 3
Granica: lim lim = 0
x+" x+"
ex = ex
H
Ponieważ +" > 0 więc x = 0 nie jest maksimum globalnym.
Aby sprawdzić, czy x = ln 2 jest minimum globalnym obliczamy:
1
f(ln 2) = 2 - - 3 ln 2
2
lim f(x) = lim (ex - 2e-x - 3x) = 0 - " - " = -"
x-" x-"
Ponieważ -" > f(ln 2) więc x = ln 2 nie jest minimum globalnym.
Odpowiedz
:
Funkcja ma minimum lokalne w punkcie x = ln 2,
Funkcja ma maksimum lokalne w punkcie x = 0,
Funkcja nie ma maksimów globalnych,
Funkcja nie ma minimów globalnych.
3
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną

x + 4
" dx
x + 2 x + 1
RozwiÄ…zanie:
Podstawiamy: {x = t2 ; x = t2 ; dx = 2t dt}

t2 + 4 t3 + 4t
I = 2t dt = 2 dt
t2 + 2t + 1 t2 + 2t + 1
Dzielimy licznik przez mianownik:
t3 + 4t = (t2 + 2t + 1)(t - 2) + 7t + 2

7t - 2
I = 2 (t - 2) dt + 2 dt
t2 + 2t + 1
Rzozładamy mianownik na czynniki:
t2 + 2t + 1 = (t + 1)2
Rozkładamy funkcję wymierną na ułamki proste:
7t - 2 A B
= +
(t + 1)2 t + 1 (t + 1)2
7t - 2 = A(t + 1) + B
Podstawiamy t = -1 =Ò! -9 = B
Podstawiamy t = 0 =Ò! -2 = A + B =Ò! A = 7

1 1 18
I = 2 (t - 2) dt + 14 dt - 19 dt = t2 - 4t + 14 ln |t + 1| + + C =
t + 1 (t + 1)2 t + 1
" "
18
x - 4 x + 14 ln | x + 1| + " + C
x + 1
Odpowiedz
:
" " 18
I = x - 4 x + 14 ln | x + 1| + " + C
x + 1
4
5. Znalez
ć objętość bryły powstałej z obrotu obszaru: 0 y sin2 x , 0 x Ą wokół
osi Ox
RozwiÄ…zanie:
Objętość bryły jest równa:
Ä„
V = Ä„ (sin2 x)2 dx
0
1 - cos 2x
Korzystamy ze wzoru: sin2 x =
2
Ä„ Ä„
(1 - cos 2x)2 Ä„
V = Ä„ dx = (1 - 2 cos 2x + cos2 2x) dx =
4 4
0 0
Ä„ Ä„

Ä„ 1 + cos 4x Ä„ Ä„
(1 - 2 cos 2x + ) dx = (3 - 4 cos 2x + cos 4x) dx = 3x - 2 sin 2x +
4 2 8 8
0 0
Ä„
1 Ä„ 1 1 3Ä„2
sin 4x = (3Ä„ - 2 sin 2Ä„ + sin 4Ä„) - (0 - 2 sin 0 + sin 0) =
0
4 8 4 4 8
1 + cos 4x
Wykorzystaliśmy wzór: cos2 2x = oraz zastosowaliśmy podstawienia liniowe:
2
t = 2x i s = 4x
Odpowiedz
:
3Ä„2
V =
8
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

4xe-2x dx
0
RozwiÄ…zanie:
"
b
I = 4xe-2x dx = lim 4xe-2x dx
b"
0 0
Obliczamy całkę przez części:

b
b b
f(x) = 4x g (x) = e-2x
4xe-2x dx = = -2xe-2x - (-2e-2x) dx = -2be-2b-
0
f (x) = 4 g(x) = -1e-2x
2
0 0
b
e-2x = -2be-2b - e-2b + 1
0
Obliczamy granicÄ™:

-2b - 1
lim -2be-2b - e-2b + 1 = 1 + lim = 2 + 0 = 2
b" b"
e2b
-2b - 1
Granica lim jest równa 0, ponieważ funkcja wykładnicza dąży do nieskończo-
b"
e2b
ności szybciej niż wielomian, przy argumencie dążącym do nieskończoności. Można też
zastosować regułę del Hospitala:

-"
+"
-2b - 1 -2
lim lim = 0
b" b"
e2b = 2e2b
H
Odpowiedz
:
"

4xe-2x dx = 1
0
6