Egzamin z Algebry, 7 II 2008 godz. 9.00
1. Rozwiązać równanie (z - i)4 = (z + i)4 , z " C
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie:
(z - i)4 - (z + i)4 = 0
((z - i)2 - (z + i)2)((z - i)2 + (z + i)2) = 0
((z - i) - (z + i))((z - i) + (z + i))(z2 - 2iz - 1 + z2 + 2iz - 1) = 0
(-2i)(2z)(2z2 - 2) = 0
z(z - 1)(z + 1) = 0
Rozwiązania równania:
z1 = 0
z2 = 1
z3 = -1
2. Obliczyć wyznacznik macierzy X spełniającej równanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
1 0 0 1 0 1 1 17 36
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 0 0 -3 · X · 2 -2 0 = 5 12 0 ûÅ‚
ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
0 2 0 3 0 0 3 0 0
RozwiÄ…zanie:
Obliczmay wyznaczniki lewej i prawej strony. Korzystamy z tego, że wyznacznik iloczynu
macierzy jest równy iloczynowi wyznaczników:
6 · |X| · 6 = -3 · 12 · 36
StÄ…d
|X| = -36
3. Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są następujące punkty:
- początek układu współrzędnych
- punkt P (1, 2, 3)
- punkt Q będący rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą ; x + y + z - 3 = 0
RozwiÄ…zanie:
-
Szukamy punktu Q(x, y, z). Punkt ten laży na płaszczyz
nie Ä„, a wektor P Q jest
prostopadły do płaszczyzny.
-
P Q = [x - 1, y - 2, z - 3]
= [1, 1, 1] - wektor prostopadły do płaszczyzny Ą
n
- -
P Q = k (ponieważ wektor P Q jest równoległy do
n n)
Å„Å‚
ôÅ‚ - 1 = k
x
òÅ‚
y - 2 = k
ôÅ‚
ół
z - 3 = k
StÄ…d: x = k + 1 ; y = k + 2 ; z = k + 3
Wstawiamy do równania płaszczyzny współrzędne punktu Q:
k + 1 + k + 2 + k + 3 - 3 = 0
Stąd k = -1, więc punkt Q ma współrzędne
Q(0, 1, 2)
Obliczmy pole trójkąta OP Q . Współrzędne punktu O(0, 0, 0). Pole to jest równe:
- -
1
S = |OP × OQ|
2
- -
OP = [1, 2, 3] ; OQ = [0, 1, 2]


i j k

"

1 1 1
S = | 1 2 3 | = |[1, -2, 1]| = 6
2 2 2


0 1 2
4. Podać definicję rzędu macierzy.
Wyznaczyć rząd macierzy A w zalezności od parametru p " R
îÅ‚ Å‚Å‚
1 - p 2 1 p
ïÅ‚ śł
ðÅ‚ 1 2 - p 1 0 ûÅ‚
1 2 1 - p p
RozwiÄ…zanie:
Macierz ma 3 wiersze i 4 kolumny więc jej rząd jest mniejszy lub równy 3.
Obliczmy wyznacznik macierzy powstałej przez skreślenie drugiej kolumny:


1 - p 1 p


1 1 0 = p - p2 + p - p2 - p - p = -p2


1 1 - p p
Badamy kiedy wyznacznik ten jest zerowy:
-p2 = 0
p = 0
Wniosek: Dla p = 0 rząd macierzy A jest równy 3.

Badamy rzÄ…d A dla p = 0
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 1 0

ïÅ‚ śł
rzA = rz 1 2 1 0 = rz 1 2 1 0 = 1
ðÅ‚ ûÅ‚
1 2 1 0
Wykonane operacje:
1. skreślenie wierszy 2 i 3 proporcjonalnych do wiersza 1
2. rząd macierzy 1x4 macjecej niezerowy element jest równy 1
Odpowiedz
:
Dla p = 0 rząd A jest równy 1, a dla pozostałych p rząd A jest równy 3.
5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do sfery jednostkowej (o środku w początku
układu współrzędnych i promieniu równym 1) równoległej do płaszczyzny
Ä„ : 6x + 3y + 2z - 6 = 0
RozwiÄ…zanie:
Równanie szukanej płaszczyzny stycznej równoległej do Ą:
6x + 3y + 2z + D = 0
Odległość środka sfery O(0, 0, 0) od tej płaszczyzny jest równa promieniowi sfery.
|0 + 0 + 0 + D|
"
= 1
62 + 32 + 22
|D| = 7
D1 = 7 , D2 = -7
Odpowiedz
:
Są dwie płaszczyzny styczne do sfery równoległe do Ą:
Ä„1 : 6x + 3y + 2z + 7 = 0
Ä„2 : 6x + 3y + 2z - 7 = 0
6. Na paraboli y2 = 24x dany jest punkt odległy od ogniska o 14. Wyznaczyć odległość
tego punktu od wierzchołka paraboli.
RozwiÄ…zanie:
p
Ognisko paraboli jest w punkcie F (6, 0) (y2 = 2px , xF = )
2
Punkt P (x, y) leżący na paraboli i odległy od ogniska o 14 spełnia równania:

y2 = 24x
Rozwiązujemy ten układ
(x - 6)2 + y2 = 142
x2 - 12x + 36 + 24x = 196
x2 + 12x - 160 = 0
" = 144 + 4 · 160 = 4 · (196)
"
" = 2 · 14 = 28
x1 = 8 , x2 = -20 (ujemny pieriastek odrzucamy )
Z pierwszego rónania obliczamy y
y2 = 24 · 8 = 192
"
y = Ä… 192
"
Są więc dwa takie punkty P o współrzędnych P (8, ą 192)
Ich odlakłość od wierzchołka paraboli W (0, 0) jest taka sama i równa:
" "
d = 82 + 192 = 256 = 16