Egzamin z Algebry, 7 II 2014 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Przedstawić w postaci algebraicznej (kanonicznej) oraz trygonometrycznej z = 1 - i =

"
7Ä„
5 + i
2 cos +
z =
4
2 + 3i

7Ä„
RozwiÄ…zanie:
i sin
5 + i (5 + i)(2 - 3i) 13 - 13i 4
z = = = = 1 - i
2 + 3i (2 + 3i)(2 - 3i) 13

"
7Ä„ 7Ä„
z = 2 cos + i sin
4 4

1 1 1 0 -1 1
2 Wyznaczyć macierz X z równania: · X =
2 1 0 1 2 -1
RozwiÄ…zanie:

1 1
X = A-1 , gdzie A =
2 1
-1 T -1
1 -2 1 -1
|A| = -1 , Ad = , Ad =
-1 1 -2 1

T
1
-1 1
X = Ad =
2 -1
|A|
3 Dla jakiego m wektor u = [1, 2, m] jest prostopadły do prostej m = 4
x z
l : = y - 1 = .
2 -1
RozwiÄ…zanie:
v = [2, 1, -1] wektor kierunkowy prostej l
u ć% v = 0 =Ò! 2 + 2 - m = 0 =Ò! m = 4
4 Wyznaczyć równanie prostej stycznej w punkcie P (3, 0) do krzywej x = 3
K : 4x2 + 9y2 = 36
RozwiÄ…zanie:
x2 x2
4x2 + 9y2 = 36 =Ò! + = 1
9 4
Krzywa K to elipsa, a = 3 , b = 2 . Prosta styczna w punkcie P (3, 0) jest
więc pionowa.
5 Napisać równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzęd-
z
x = y =
nych i środek sfery danej równaniem: x2 - 2x + y2 - 2y + z2 - 7 = 0
0
RozwiÄ…zanie:
x2 - 2x + y2 - 2y + z2 - 7 = 0 =Ò! (x - 1)2 + (y - 1)2 + z2 = 9
P (1, 1, 0) środek sfery
-
v = OP = [1, 1, 0] wektor kierunkowy prostej
1
2. Rozwiązać równanie w liczbach zespolonych , (x " C)


x -1 0 0


0 x -1 0

= 0

0 0 x -1


0 -1 1 1
RozwiÄ…zanie: Obliczamy wyznacznik macierzy


x -1 0 0 0 -1 0 0


0 x -1 0 {k1 = k1 + xk2} x2 x -1 0 {Rozw. Laplace a wzgl. w1}



0 0 x -1 = 0 0 x -1 =


0 -1 1 1 -x -1 1 1


x2 -1 0


-1 · (-1)3 0 x -1 = x3 - x + x2



-x 1 1
x3 + x2 - x = 0 =Ò! x(x2 + x - 1) = 0
x1 = 0
x2 + x - 1 = 0
" = 5
"
-1 - 5
x2 =
2
"
-1 + 5
x3 =
2
Odpowiedz
:
" "
-1 - 5 -1 + 5
x1 = 0 , x2 = , x3 =
2 2
2
3. Wyznaczyć macierz A-1, jeśli
îÅ‚ Å‚Å‚
1 2 0
ïÅ‚ śł
A = -3 1 -1 ûÅ‚
ðÅ‚
11 2 3
a nastÄ™pnie rozwiÄ…zać równanie A · X = [2 - 1 8]T
RozwiÄ…zanie:
Obliczamy


1 2 0


|A| = -3 1 -1 = 3 - 22 + 2 + 18 = 1 = 0



11 2 3
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -2 -17
ïÅ‚ śł
Ad = -6 3 20 ûÅ‚
ðÅ‚
-2 1 7
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2
T
ïÅ‚ śł
Ad = -2 3 1 ûÅ‚
ðÅ‚
-17 20 7
îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2
T
1
ïÅ‚ śł
A-1 = · Ad = -2 3 1 ûÅ‚
ðÅ‚
|A|
-17 20 7
Rozwiązujemy równanie:
A · X = [2 - 1 8]T =Ò! X = A-1 · [2 - 1 8]T
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2 2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
X = -2 3 1 · -1 = 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-17 20 7 8 2
Odpowiedz
:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
5 -6 -2 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
A-1 = -2 3 1 ; X = 1
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-17 20 7 2
3
4. Dane sÄ… wektory a = [1 , -1 , 2] , b = [2 , 2 , 2] , c = [3 , 1 , -2] . Dla jakiego k
spełniona jest równość:

a × (b × c) = 10k (a ć% c)b - (a ć% b)c
RozwiÄ…zanie:
1 sposób: Z własności iloczynów wektorów wynika, że 10k = 1 czyli k = 0, 1.
2 sposób: Obliczamy


i j k


b × c = 2 2 2 = [-6 , 10 , -4]


3 1 -2


i j k


a × (b × c) = 1 -1 2 = [-16 , -8 , 4]


-6 10 -4
(a ć% c)b - (a ć% b)c = -2b - 4c = [-4 , -4 , -4] - [12 , 4 , -9] = [-16 , -8 , 4]
10k = 1 =Ò! k = 0, 1
Odpowiedz
:
k = 0, 1
4
5. Wyznaczyć równanie płaszczyzny Ą zawierającej proste
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 1 + 2t
òÅ‚
y - 1
l1 : x = = z + 1 oraz l2 : y = 4t .
ôÅ‚
2
ół
z = 2t
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie prostej l1 do postaci krawędziowej:

2x - y + 1 = 0
l1 : .
x - z - 1 = 0
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l1 (pęk płaszczyzn):
Ä„ : Ä…(2x - y + 1) + ²(x - z - 1) = 0
Płaszczyzna zawiera prostą l2 gdy dla każdego t zachodzi:
Ä…(2(1 + 2t) + 4t - 2(2t)) + ²(1 + 2t - 2t - 1) = 0
tÄ…t + 2Ä… = 0
Ä… = 0
Wybieramy dowolnÄ… niezerowÄ… wartość np. ² = 1 . Wtedy:
Ä„ : x - z - 1 = 0
Odpowiedz
:
Równanie płaszczyzny Ą : x - z - 1 = 0
5
6. Wyznaczyć równanie prostej l, która jest prostopadła do osi Oz, przecina tę oś i prze-
chodzi przez środek sfery x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 13 = 0 . Podać największą i
najmniejszą odległość punktu należącego do tej sfery od osi Oz.
RozwiÄ…zanie:
Przekształcamy równanie sfery:
x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z + 13 = 0 =Ò! (x - 1)2 - 1 + (y - 2)2 - 4 + (z - 3)2 - 9 + 13 =
0 =Ò! (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z - 3)2 = 1
Środek sfery jest w punkcie O(1, 2, 3) , a jej promień R = 1 .
Rzut punktu O na oś z jest równy O = (0, 0, 3) .
Szukana prosta przechodzi przez O i O . Jej wektor kierunkowy:
-
-
v = O O = [1, 2, 0]
Równanie prostej:
y z - 3
l : x = =
2 0
" "
Odległość środka sfery od osi z jest równa d = 12 + 22 = 5 > R
"
Minimalna odległość punktów sfery dmin = d - R = 5 - 1
"
Maksymalna odległość punktów sfery dmax = d + R = 5 + 1
Odpowiedz
:
y z - 3
l : x = =
2 0
"
dmin = 5 - 1
"
dmax = 5 + 1
6