Egzamin z Matematyki 1, 8 II 2006
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
z6 - (-8 + i)z3 - 8i = 0
RozwiÄ…zanie:
t = z3
t2 - (-8 + i)t - 8i = 0
" = (-8 + i)2 - 4(-8i) = 63 - 16i + 32i = 63 + 16i = (8 + i)2
"
" = 8 + i
-8 + i + 8 + i
t1 = = i
2
-8 + i - 8 - i
t2 = = -8
2
z3 = i
"
3
z = i
Ä„ Ä„
i = 1(cos + i sin )
2 2
Ä„ Ä„
+ 2kĄ + 2kĄ
2 2
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
"
Ä„ Ä„ 3 1
z0 = cos + i sin = + i
6 6 2 2
"
5Ä„ 5Ä„ 3 1
z1 = cos + i sin = - + i
6 6 2 2
9Ä„ 9Ä„
z2 = cos + i sin = -i
6 6
z3 = -8
"
3
z = -8
-8 = 8(cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = 2(cos + i sin ) , k = 0, 1, 2
3
"3
Ä„ Ä„ 1 3
z0 = cos + i sin = + i
3 3 2 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin = -1
3 3
"
5Ä„ 5Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - i
3 3 2 2
2. Dane sÄ… macierze:
îÅ‚ Å‚Å‚

1 -1
1
ïÅ‚ śł
A = 2 0 ; B =
ðÅ‚ ûÅ‚
-1
-2 1
Wyznaczyć macierz X z równania: (AAT )X = AB
RozwiÄ…zanie:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 -1 2 2 -3
1 2 -2
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
C = AAT = 2 0 ûÅ‚ = 2 4 -4 ûÅ‚
ðÅ‚ ðÅ‚
-1 0 1
-2 1 -3 -4 5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

1 -1 2
1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
AB = 2 0 ûÅ‚ = 2
ðÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-1
-2 1 -3
îÅ‚ Å‚Å‚
x1
ïÅ‚
Macierz X ma postać: X = x2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
x3
Równanie macierzowe jest więc układem równań
Badamy rzÄ…d macierzy C:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚

2 2 -3 2 -2 -1
-2 -1
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
rz C = rz 2 4 -4 = rz 2 0 0 = 1 + rz = 1 + 1 = 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
2 1
-3 -4 5 -3 2 1
Badamy rzÄ…d macierzy rozszerzonej CR:
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 2 -3 2 2 2 -3
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
rz CR = rz 2 4 -4 2 = rz 2 4 -4 = rz C = 2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
-3 -4 5 -3 -3 -4 5
Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru. Szukamy w

2 2
macierzy C podmacierzy 2 x 2 o wyznaczniku = 0 np.

2 4
x3 = t
Zredukowany układ równań ma postać:

2x1 + 2x2 = 3t + 2
2x1 + 4x2 = 4t + 2
Jego rozwiÄ…zaniem sÄ…:
x1 = t + 1
t
x2 =
2
îÅ‚ Å‚Å‚
t + 1
ïÅ‚ śł
t
Szukana macierz X = ðÅ‚ ûÅ‚
2
t
3. Dany jest punkt P (-1, 0, 2) i prosta

x - 2y + z = 0
l :
2x - y + z + 2 = 0
Wyznaczyć odległość punktu P od prostej l . Znalez
ć równanie płaszczyzny prze-
chodzÄ…cej przez punkt P i prostÄ… l .
RozwiÄ…zanie:
-

| × AP |
v
Odległość punktu P od prostej jest równa: d = , gdzie A jest dowolnym
|
v|
punktem prostej, a jest jej wektorem kierunkowym. Przekształcamy równanie prostej
v
l do postaci parametrycznej.
x = t

-2y + z = -t
-y + z = -2t - 2
y = -t - 2 ; z = -3t - 4
Z tego równania znajdujemy:
A = (0, -2, -4) ; = [1, -1, -3]
v
-

AP = [-1, 2, 6]
-

× AP = [0, -3, 1]
v
"
10
"
d =
11
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez prostą l ma postać:
Ä…(x - 2y + z) + ²(2x - y + z + 2) = 0
Punkt P spełnia to równanie, więc:
Ä… + 2² = 0
Równanie to speÅ‚nia np. Ä… = -2 ; ² = 1
Równaniem szukanej płaszczyzny jest więc:
-2(x - 2y + z) + (2x - y + z + 2) = 0
po uproszczeniu:
3y - z + 2 = 0
4. Zbadać przebieg funkcji f(x) = -x + 2 ln x
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (0, ")
Granice:
lim (-x + 2 ln x) = -"
x0+
2 ln x
lim (-x + 2 ln x) = lim x(-1 + ) = -"
x" x"
x
1
ln x
x
bo lim = lim = 0
x" x"
x 1
Funkcja ma asymptotę pionową x = 0. Może mieć asymptotę ukośną y = ax + b w +"

f(x) 2 ln x
a = lim = lim -1 + = -1
x" x"
x x
b = lim (f(x) - ax) = lim 2 ln x = "
x" x"
Funkcja nie ma asymptoty ukośnej w +"
Pochodna:
2
f (x) = -1 +
x
f (x) > 0 a" x < 2
2
f (x) = -
x2
f (x) < 0 na całej dziedzinie
x 0+ ... 2 ... "
f (x) + 0 -
f (x) - - -
f(x) -" 2 ln 2 - 2 -"
5. Obliczyć całki:
"

8 "
a) x 1 + x2 dx
"
3

e2
ln x
b) " dx
1 x
RozwiÄ…zanie:
"

8 "
a) x 1 + x2 dx
"
3
Podstawienie: t = 1 + x2 , dt = 2x dx
"
9
8 " 9
1" 1 3 1 19
2
x 1 + x2 dx = t dt = t = (27 - 8) =
"
3 4 2 3 3 3
4

e2
ln x
b) " dx
1 x
Całkujemy przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
f(x) = ln x g (x) = "
òÅ‚ żł
x
ôÅ‚ 1 " ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = 2 x
x

e2 e2
e2 e2
" "
ln x 2
" dx = 2 x ln x - " dx = 4e - 4 x = 4
1 1
1 x 1 x