Egzamin z Matematyki 1, 14 VI 2006
1. Zbadać i naszkicować funkcję f(x) = ex ln x (bez badania asymptot)
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina: D = (0, ")
Granice:
lim ex ln x
x0+
Obliczmy najpierw granicÄ™:
1
ln x
x
lim x ln x = lim = lim = lim -x = 0
1
x0+ x0+ 1 x0+ - x0+
x x2
lim ex ln x = e0 = 1
x0+
lim ex ln x = "
x"
Badamy znak pierwszej pochodnej
1
f (x) = ex ln x(ln x + x ) = ex ln x(1 + ln x)
x
ex ln x(1 + ln x) > 0
1 + ln x > 0
x > e-1
Badamy znak drugiej pochodnej
1
f (x) = ex ln x(1 + ln x)2 + ex ln x
x
Widać, że f (x) > 0 na całej dziedzinie.
x 0+ ... e-1 ... "
f (x) - 0 +
f (x) + + +
-1
f(x) 1 e-e "
2. Dana jest prosta l : x - 1 = y = z + 2 i płaszczyzna ą : x - 2y + z = 0
Wyznaczyć:
a) odległość prostej l od płaszczyzny ą
b) wyznaczyć równanie pÅ‚aszczyzny ² przechodzÄ…cej przez prostÄ… l i prostopadÅ‚Ä… do
płaszczyzny ą
RozwiÄ…zanie:
a)
Sprawdzamy czy prosta l jest równoległa do płaszczyzny ą (jeżeli nie to odległość
prostej od płaszczyzny jest równa 0).
Wektor równoległy do prostej = [1, 1, 1]
v
Wektor prostopadły do płaszczyzny ą : = [1, -2, 1]
n
Iloczyn skalarny tych wektorów:
ć% = 1 - 2 + 1 = 0
v n
Wektory te są prostopadłe, więc prosta l jest równoległa do płaszczyzny ą
Odległość prostej od płaszczyzny jest więc równa odległości dowolnego punktu prostej
l od tej płaszczyzny.
Wez
my np. punkt A = (1, 0, -2)
|1 - 2| 1
" "
d = =
1 + 4 + 1 6
b)
Wektor n1 prostopadÅ‚y do pÅ‚aszczyzny ² jest prostopadÅ‚y do i do wektora Jego
v n.
długość może być dowolna, możemy więc przyjąć:
n1 = × = [3, 0, -3]
v n
Równanie szukanej pÅ‚aszczyzny ²:
3x + 0y - 3z + D = 0
Ponieważ prosta l leży na tej płaszczyz
nie, punkt A prostej musi spełniać jej równanie:
3 + 6 + D = 0
A więc D = -9
Czyli
² : 3x - 3z - 9 = 0
Po uproszczeniu:
² : x - z - 3 = 0
3. Dana jest macierz:
îÅ‚ Å‚Å‚
0 1 0
ïÅ‚ śł
A = [aij] = 0 0 1 ûÅ‚
ðÅ‚
2 1 -2
Sprawdzić, które z równań jest prawdziwe:
x1 + x2 + x3 = a11 + a22 + a33
x1x2x3 = detA
gdzie x1 , x2 , x3 są rozwiązaniami równania:


x 1 0


0 x 1 = 0


2 1 x - 2
RozwiÄ…zanie:


x 1 0


0 x 1 = x3 - 2x2 + 2 - x = x2(x - 2) - (x - 2) = (x2 - 1)(x - 2) =


2 1 x - 2
(x - 1)(x + 1)(x - 2)
Rozwiązaniami równania są więc:
x1 = 1 , x2 = -1 , x3 = 2
Sprawdzamy pierwsze równanie:
x1 + x2 + x3 = 2
a11 + a22 + a33 = -2
Równanie nieprawdziwe.
Sprawdzamy drugie równanie:
x1x2x3 = -2
detA = 2
Równanie nieprawdziwe.
4. Obliczyć całkę niewłaściwą:

"

2 2Ä„ 1
e-x + 2xe-x + + dx
1 + x2 (1 + x)2
0
RozwiÄ…zanie:

" " " "

2 2Ä„ 1 2 2Ä„
e-x + 2xe-x + + dx = e-x dx + 2xe-x dx + dx +
1 + x2 (1 + x)2 1 + x2
0 0 0 0
"

1
dx
(1 + x)2
0
Obliczmy kolejne całki:
"
b
b
e-x dx = lim e-x dx = lim -e-x = lim -e-b + 1 = 1
0
b" b" b"
0 0
Podstawiamy t = -x2 , dt = -2x dx
"
b
b
2 2 2 2
2xe-x dx = lim 2xe-x dx = lim -e-x = lim -e-b + 1 = 1
0
b" b" b"
0 0
"
b
2Ä„ 2Ä„
dx = lim dx = lim [2Ä„ arc tg x]b = lim (2Ä„ arc tg b) = Ä„2
0
b" b" b"
1 + x2 1 + x2
0 0
"
b b
1 1 -1 -1
dx = lim dx = lim = lim + 1 = 1
b" b" b"
(1 + x)2 (1 + x)2 1 + x 1 + b
0
0 0
Wszystkie cztery całki niewłaściwe są zbieżne więc
Odpowiedz
:

"

2 2Ä„ 1
e-x + 2xe-x + + dx = 3 + Ä„2
1 + x2 (1 + x)2
0
5. Obliczyć pole figury F ograniczonej krzywymi:
1 1
y = , y = x , y2 = x
x 4
RozwiÄ…zanie:
Znajdujemy punkty przecięcia krzywych:
1 1
1
y = i y = x : A(2, ) , B(-2, -1)
2 2
x 4
1
y = i y2 = x : C(1, 1)
x
1
y = x i y2 = x : D(0, 0) , E(16, 4)
4
Z rysunku widzimy, że są dwie figury ograniczone tymi krzywymi: DAC i AEC. Z
treści zadania nie wynika o którą chodzi wybieramy więc dowolną z nich np. DAC.
Dzielimy ją na dwie części:
Å„Å‚
òÅ‚ 0 x 1
"
F1 : 1
ół
x y x
4
Å„Å‚
òÅ‚ 1 x 2
F2 : 1 1
ół
x y
4 x
Obliczamy pola tych części:
1 1
"
1 2 3 1 2 1 13
2
S1 = x - x dx = x - x2 = - =
4 3 8 3 8 24
0
0
2 2
1 1 1 1 1 3
S2 = - x dx = ln x - x2 = ln 2 - + = ln 2 -
x 4 8 2 8 8
1
1
Pole całej figury jest równe:
13 3 4 1
S = S1 + S2 = + ln 2 - = ln 2 + = ln 2 +
24 8 24 6