Egzamin z Analizy 2, 26 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (-1, 1) , gdzie: f(x, y) = x4 + y4 + y ln(2 + xy2) 2
"y2
RozwiÄ…zanie:
"f 2xy2
= 4y3 + ln(2 + xy2) +
"y 2 + xy2
"2f 2xy 4xy(2 + xy2) - 4x2y3 2xy 8xy
= 12y2+ + = 12y2+ + =
"y2 2 + xy2 (2 + xy2)2 2 + xy2 (2 + xy2)2
12 - 2 - 8 = 2
2. Obliczyć dywergencję pola wektorowego 13

"
-

F = y2 sin(x - 1) , yeyz-4 , y z2 - 3 w punkcie A = (1, 2, 2)
RozwiÄ…zanie:
-
"P "Q "R 2z
"
div F = + + = y2 cos(x - 1) + eyz-4 + yeyz-4 · z + y =
"x "y "z
2 z2 - 3
4 + 1 + 4 + 4 = 13
3. Obliczyć całkę iterowaną 14
ëÅ‚ öÅ‚
2y
1
íÅ‚
30x2y dxłł dy
y
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
2y
1 1 1 1
2y
íÅ‚
30x2y dxłł dy = 10yx3 dy = (80y4 - 10y4) dy = 70y4 dy =
y
y
0 0 0 0
1
14y5 = 14 - 0 = 14
0
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną 3xy dx - 2x2 dy ; -16
5
C
C : x = t2 + 1 , y = t3 od A(1, 0) do B(2, 1)
RozwiÄ…zanie:
A(1, 0) =Ò! t3 = 0 =Ò! t = 0 ; B(2, 1) =Ò! t3 = 1 =Ò! t = 1
1 1
3xy dx - 2x2 dy = 3(t2 + 1)t3 · 2t dt - 2(t2 + 1)2 · 3t2 dt = (6t6 + 6t4 -
C 0 0
1
1
6 6 16
6t6 - 12t4 - 6t2) dt = (-6t4 - 6t2) dt = - t5 - 2t3 = - - 2 - 0 = -
0
5 5 5
0
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 3
" "
ôÅ‚
ół
A : z 2 x2 + y2 , z 9 - x2 + y2 2r z 9 - r
RozwiÄ…zanie:
"
z 2 x2 y2 =Ò! z 2r stożek
"+
z 9 - x2 + y2 =Ò! z 9 - r stożek
2r = 9 - r =Ò! r = 3
1
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (1, 1) , gdzie f(x, y) = (x2 - y2)exy-1 0
"x"y
RozwiÄ…zanie:
"f
= 2xexy-1 + (x2 - y2)exy-1 · y = (x2y - y3 + 2x)exy-1
"x
"2f
= (x2 - 3y2)exy-1 + (x2y - y3 + 2x)exy-1 · x = -2 + 2 = 0
"x"y
2. Obliczyć rotację pola wektorowego [0 , -2 , 1]

-

F = xyz , x2 + y3 , x3z2 w punkcie A = (1, 1, 1)
RozwiÄ…zanie:


i j k


-


" " "
rot F = = 0 - 0 , xy - 3x2z2 , 2x - xz = [0 , -2 , 1]
"x "y "z


xyz x2 + y3 x3z2
3. Obliczyć całkę iterowaną 5
ëÅ‚ öÅ‚
1 x+1

íÅ‚
(2x + 4y) dyłł dx
x
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
1 x+1 1

x+1 1
íÅ‚
(2x + 4y) dyłł dx = 2xy + 2y2 dx = (2x(x + 1) + 2(x + 1)2 -
x
x
0 0 0
1
1
2x2 - 2x2) dx = (6x + 2) dx = 3x2 + 2x = 3 + 2 - 0 = 5
0
0

21
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną 2y dx - 3x dy ;
4
C
C : x = t3 + 1 , y = t2 + t od A(2, 2) do B(1, 0)
RozwiÄ…zanie:
A(2, 2) =Ò! t3 + 1 = 2 =Ò! t3 = 1 =Ò! t = 1
B(1, 0) =Ò! t3 + 1 = 1 =Ò! t3 = 0 =Ò! t = 0
0 0
2y dx-3x dy = 2(t2 +t)·3t2 dt-3(t3 +1)·(2t+1) dt = (6t4 +6t3 -6t4 -
C 1 1
0
0
3 3 21
3t3 - 6t - 3) dt = (3t3 - 6t - 3) dt = t4 - 3t2 - 3 = 0 - + 3 + 3 =
1
4 4 4
1
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 4
"
ôÅ‚
ół
A : z 2(x2 + y2) , z 8 x2 + y2 2r2 z 8r
RozwiÄ…zanie:
z 2(x2 + y2) =Ò! z 2r2 paraboloida
"
z 8 x2 + y2 =Ò! z 8r stożek
8r = 2r2 =Ò! r = 4
2
2. Znalez
ć ekstrema funkcji uwikłanej y(x) :
x2 + y4 + 2xy = 0
RozwiÄ…zanie:
Oznaczamy f(x, y) = x2 + y4 + 2xy . Dziedziną f jest R2 - zbiór otwarty, f jest klasy
C2
Szukamy punktów stacjonarnych funkcji uwikłanej y(x) czyli punktów w których y = 0
"f
"x
y = -
"f
"y
"f "f
= 2x + 2y ; = 4y3 + 2x
"x "y
Å„Å‚

"f
òÅ‚
2x + 2y = 0
= 0
=Ò!
"x
ół
x2 + y4 + 2xy = 0
f = 0
y = -x z pierwszego równania
x2 + x4 - 2x2 = 0 =Ò! x2(x2 - 1) = 0 =Ò! x1 = 0 , x2 = 1 , x3 = -1
stÄ…d: y1 = 0 , y2 = -1 , y3 = 1
Rozwiązaniem układu równań są punkty: P1(0, 0) , P2(1, -1) , P3(-1, 1)
"f
Sprawdzamy, czy spełniony jest warunek = 0

"y
"f
(P1) = 0 warunek nie jest spełniony
"y
"f
(P2) = -2 = 0 warunek spełniony

"y
"f
(P3) = 2 = 0 warunek spełniony

"y
"f
Ponieważ w punkcie P1 nie jest spełniony warunek = 0 więc odrzucamy go. (praw-

"y
dopodobnie jest to punkt osobliwy)
"2f
"x2
Obliczmy drugą pochodną funkcji uwikłanej: y = -
"f
"y
"2f 2
= 2 =Ò! y = -
"x2 4y3 + 2x
2
W punkcie P2 mamy: y = - = 1 > 0 =Ò! minimum lokalne
-2
2
W punkcie P3 mamy: y = - = -1 < 0 =Ò! maksimumm lokalne
2
3
3. Znalez
ć ekstrema lokalne warunkowe funkcji f(x, y, z) = x + y + z pod warunkiem
xyz - 8 = 0 .
RozwiÄ…zanie
Z warunku
8
xyz - 8 = 0 =Ò! z =
xy
8 8
Szukamy ekstremów lokalnych funkcji g(x, y) = f(x, y, ) = x + y +
xy xy
Dziedzina funkcji g: D = {(x, y) : x = 0, y = 0}

Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"g
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"g
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"g 8 "g 8
= 1 - ; = 1 -
"x x2y "y xy2
StÄ…d:
8 8
1 - = 0 =Ò! y =
x2y x2
8 x3
1 - = 0 =Ò! 1 - = 0 =Ò! x3 = 8 =Ò! x = 2
xy2 8
x = 2 =Ò! y = 2
Rozwiązaniem tego układu jest więc punkt: P (2, 2)
Obliczamy drugie pochodne funkcji f:
"2g 16 "2g 16 "2g 8
= ; = ; =
"x2 x3y "y2 xy3 "x"y x2y2
Badamy macierz drugich pochodnych:

1
1
3
2
g (P ) = W1 = 1 > 0 ; W2 = > 0 =Ò! P = (2, 2) - minimum lokalne
1
4
1
2
z = g(2, 2) = 2
W punkcie P = (2, 2) funkcja g(x, y) ma minimum lokalne, więc w punkcie Q(2, 2, 2)
funkcja f(x, y, z) ma minimum lokalne warunkowe.
4

4. Obliczyć 12x dx dy , gdzie
D
D : y x2 , x + y 2 , y 2
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

x + y = 2
=Ò! x = 0
y = 2

"
y = x2
=Ò! x = Ä… 2
y = 2

y = x2
=Ò! x + x2 = 2 =Ò! x2 + x - 2 = 0 =Ò! x1 = -2 , x2 = 1
x + y = 2
Dzielimy zbiór D na dwie części:

12x dx dy = 12x dx dy + 12x dx dy
D D1 D2
gdzie:

"
- 2 x 0 0 x 1
D1 : , D2 :
x2 y 2 x2 y 2 - x
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
0 2 0 0
íÅ‚
I1 = 12x dx dy = 12x dyłł dx = [12xy]2 dx = 3 (24x - 12x3) dx =
x2
" " "
D1
x2
- 2 - 2 - 2
0
12x2 - 3x4 " = -24 + 12 = -12
- 2
ëÅ‚ öÅ‚
1 2-x 1 1

íÅ‚
I2 = 12x dx dy = 12x dyłł dx = [12xy]2-x dx = 3 (24x - 12x2 -
x2
D2 0 0 0
x2
1
12x3) dx = 12x2 - 4x3 - 3x4 = 12 - 4 - 3 - 0 = 5
0

12x dx dy = I1 + I2 = -12 + 5 = -7
D
Odpowiedz
:
I = -7
5
5. Obliczyć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
"
wierzchniami z = x2 + y2 , z = 2 x2 + y2 .
RozwiÄ…zanie:
Moment bezwładności jest równy:

Iz = Á(x2 + y2) dx dy ddz = Á (x2 + y2) dx dy dz
A A
Powierzchnie ograniczajÄ…ce A:
z = x2 + y2 : paraboloida
"
z = 2 x2 + y2 : stożek
Stosujemy współrzędne walcowe:

Iz = Á r2 · r dr dÕ dz = Á r3 dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" :
z = x2 + y2 =Ò! z = r2
"
z = 2 x2 + y2 =Ò! z = 2r
r2 = 2r =Ò! r = 2
zachodzić mają również standardowe ograniczenia współrzędnych walcowych: r 0
oraz Õ należy do jednego okresu. StÄ…d:
A" : Õ "< 0, 2Ä„ > ; r "< 0, 2 > ; z "< r2, 2r >
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2Ä„ 2r
2
íÅ‚ íÅ‚ íÅ‚
Iz = Á dÕÅ‚Å‚ · r3 dzÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚
0 0
r2
2Ä„

2Ä„
dÕ = Õ = 2Ä„
0
0
2r

2r
r3 dz = r3z = 2r4 - r5
r2
r2
2
2
2 1 64 32 32
(2r4 - r5) dr = r5 - r6 = - =
0
5 6 5 3 15
0
Odpowiedz
:
64ÁÄ„
Iz =
15
6

-

6. Znalez
ć potencjał pola wektorowego F = P , Q , R ,
1 2xy z
"
P = 6x2yz + , Q = 2x3z - , R = 2x3y + .
y2 + 1 (y2 + 1)2
z2 + 1

Obliczyć P dx + Q dy + R dz , gdzie K - krzywa kawałkami gładka o początku w
K
"
punkcie A(0, 0, 0) i końcu w B(2, 1, 3) .
RozwiÄ…zanie:
-

Oznaczmamy Õ(x, y, z) potencjÄ…Å‚ pola F . RozwiÄ…zujemy ukÅ‚ad równaÅ„:
Å„Å‚
"Õ 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ = 6x2yz +
Å„Å‚ ôÅ‚
ôÅ‚
"x y2 + 1
"Õ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
= P
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
"x
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ òÅ‚
"Õ "Õ 2xy
= 2x3z -
= Q =Ò!
ôÅ‚ ôÅ‚
"y "y (y2 + 1)2
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
"Õ
ôÅ‚ ôÅ‚
ół ôÅ‚
= R ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ "Õ z
"z
ôÅ‚
ôÅ‚
"
ół = 2x3y +
"z
z2 + 1
Zaczynamy od pierwszego równania:


1 x
Õ(x, y, z) = 6x2yz + dx = 2x3yz + + f(y, z)
y2 + 1 y2 + 1
Podstawiamy obliczone Õ do drugiego równania:
2xy "f 2xy "f
2x3z - + = 2x3z - =Ò! = 0
(y2 + 1)2 "y (y2 + 1)2 "y
StÄ…d:

f(y, z) = 0 dy = g(z)
czyli
x
Õ(x, y, z) = 2x3yz + + g(z)
y2 + 1
Podstawiamy obliczone Õ do trzeciego równania:
z z
" "
2x3y + g = 2x3y + =Ò! g =
z2 + 1 z2 + 1
StÄ…d:

" "
z 1
" "
g(z) = dz = {t = z2 + 1 ; dt = 2z dz} = dt = t + C = z2 + 1 + C
z2 + 1 2 t
czyli potencjał pola jest równy:
"
x
Õ(x, y, z) = 2x3yz + + z2 + 1 + C
y2 + 1
Obliczamy całkę z krzywoliniową skierowaną z pola potencjalnego:

" " "
P dx + Q dy + R dz = Õ(2, 1, 3) - Õ(0, 0, 0) = 16 3 + 1 + 2 + C - C = 16 3 + 3
K
7