Egzamin z Analizy 2, 25 VI 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
"2f
1.1 Obliczyć pochodną (1, -1) , gdzie f(x, y) = (x4 + y2) ln(2x + y) .
"x"y
"
1.2 Obliczyć gradient pola skalarnego f(x, y, z) = 2ex+y y + 2z w punkcie P =
(1, -1, 1)
1.3 Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
2x
1
íÅ‚
3x3y2 dyłł dx
x
0

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + (x + y) dy
C
C : x = t2 - 1 , y = -t2 + t + 1 od t = 0 do t = 2
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
A : z2 x2 + y2 , x2 + y2 9
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji
f(x, y) = -y2 - 4x2 - xy2 + 8x
3. Wykazać, że funkcja g(x, y) = f(xy2) + x2 spełnia równanie:
"2g "2g "g
4x2 - y2 + 2x = 12x2 dla każdej funkcji f : R R klasy C2 .
"x2 "y2 "x

4. Obliczyć 12xy dx dy , gdzie D : obszar ograniczony krzywymi: x = y2 , y = x - 2 ,
D
x = 2 , zawierajÄ…cy punkt P (1, 0) .
5. Znalez
ć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
wierzchniami: z2 = x2 + y2 , (z - 2)2 = x2 + y2 .

6. Sprawdzić twierdzenie Greena dla pola wektorowego F = [x2 - y, x + y2] i obszaru
D : x2 + y2 1 , y x
1