Egzamin z Analizy 2, 29 VI 2010 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
"2f
1.1 Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = (x3 - y) ln(x + y) , P = (2, -1)
"x2
"
1.2 Obliczyć gradient pola skalarnego f = (x3) y + 2z w punkcie P = (2, -3, 2)
1.3 Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚

2x
2
x
íÅ‚
dyłł dx
y2
x
0

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną (x - y) dy
C
C : x = t3 , y = t3 - 2t od t = 1 do t = 2
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
A : x2 + y2 1 - z , z 0
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = 3xy + x2y - y2
x "2z "2z 2x
3. Wykazać, że funkcja z(x, y) = f(x - 2y) + spełnia równanie 4 - = - dla
y "x2 "y2 y3
każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R R
4. Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: x = y2 , x = 8-y2 , y = 1
, zawierajÄ…cego punkt P (1, 0) .
5. Znalez
ć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi Oz bryÅ‚y o gÄ™stoÅ›ci Á(x, y, z) = z ograni-
czonej powierzchniami: z2 = 2 + x2 + y2 , (z - 2)2 = x2 + y2 .

6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola F = [x2 + yz, xy, z] przez
powierzchnię zamkniętą, zorientowaną na zewnątrz, składającą się z powierzchni:
S1 : z = x2 + y2 i S2 : z = 1 .
1