Egzamin z Analizy 2, 13 IX 2010
1. Zadanie wstępne
"2f
1.1 Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = (x2 - y) ln(2x + y) , P = (1, -1)
"x"y
"
1.2 Obliczyć gradient pola skalarnego f = 2xy + x y2 + z w punkcie P = (4, 2, -3)
1.3 Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2
4y
ìÅ‚
íÅ‚ dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
x
x
1

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + (x + y) dy
C
C : x = t2 , y = 4 - t od t = 1 do t = 2
1.5 Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej:
"
A : z x2 + y2 , z 3
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = (x2 - y2)ex
3. Wykazać, że funkcja z(x, y) = f(x2 + y2) spełnia równanie:
"2z "2z "z "z
y2 - x2 + x - y = 0
"x2 "y2 "x "y
dla każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R R
4. Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 , y = 4 , y = 4-3x
, zawierajÄ…cego punkt P (0, 1) .
5. Znalez
ć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi Oz bryÅ‚y o gÄ™stoÅ›ci Á(x, y, z) = z ograni-
czonej powierzchniami: z = 2 - x2 - y2 , z = x2 + y2 .

6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola F = [x2 + y2z , yz , 2x + z2]
przez zorientowany na zewnÄ…trz brzeg zbioru:
"
z x2 + y2 , z 0 , x 0 , x2 + y2 4
1