Egzamin z Analizy 2, 13 IX 2010
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = (x2 - y) ln(2x + y) , P = -4
"x"y
(1, -1)
RozwiÄ…zanie:
"f x2 - y
= 2x ln(2x + y) + · 2
"x 2x + y
"2f 2x -(2x + y) - (x2 - y) 2 -1 - 2
= + 2 · = + 2 · = -4
"x"y 2x + y (2x + y)2 1 1
"
2. Obliczyć gradient pola skalarnego f = 2xy + x y2 + z w punkcie P = [5, 16, 2]
(4, 2, -3)
RozwiÄ…zanie:


"f "f "f 2xy x
" "
grad f = , , = 2y + y2 + z , 2x + , =
"x "y "z 2 y2 + z 2 y2 + z
[5, 16, 2]
9
3. Obliczyć całkę iterowaną
ëÅ‚ öÅ‚
2
x2
2
4y
ìÅ‚
íÅ‚ dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
x
x
1
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
x2
2 2 2
x2 2
4y 2y2 x4
ìÅ‚
íÅ‚ dy÷Å‚ dx = dx = 2x3 - 2x dx = - x2 = 8 - 4 -
Å‚Å‚
x 1
x x 2
x
1 1 1
1 9
( - 1) =
2 2

5
4. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + (x + y) dy
2
C
C : x = t2 , y = 4 - t od t = 1 do t = 2
RozwiÄ…zanie:
2 2

y dx + (x + y) dy = (4 - t) · 2t + (t2 + 4 - t) · (-1) dt = (-3t2 + 9t -
C 1 1
2
9 9 5
4) dt = -t3 + t2 - 4t = -8 + 18 - 8 - (-1 + - 4) =
1
2 2 2
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 3
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 3 r z 3
RozwiÄ…zanie:
"
z x2 + y2 =Ò! z r pierwszy warunek (stożek)
z 3 =Ò! r 3 drugi warunek (pÅ‚aszczyzna)
1
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji f(x, y) = (x2 - y2)ex
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina funkcji D = R2 -zbiór otwarty, f jest klasy C2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f
= 2xex + (x2 - y2)ex
"x
"f
= -2yex
"y
StÄ…d:

(2x + x2 - y2)ex = 0
-2yex = 0
Z drugiego równania:
y = 0 ( ex = 0)

Z pierwszego równania:
y = 0 =Ò! 2x + x2 = 0 =Ò! x(2 + x) = 0 =Ò! x = 0 lub x = -2
Rozwiązaniem tego układu są więc punkty:
P1(0, 0) , P2(-2, 0)
Obliczamy drugie pochodne funkcji f:
"2f
= (2 + 2x)ex + (2x + x2 - y2)ex = (2 + 4x + x2 - y2)ex
"x2
"2f
= -2ex
"y2
"2f
= -2yex
"x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:

2 0
f (P1) = W1 = 2 ; W2 = -4 < 0 =Ò! f(x, y) nie ma ekstremum
0 -2

-2e-2 0
f (P2) = W1 = -2e-2 < 0 ; W2 = 4e-4 > 0 =Ò! f(x, y) ma
0 -2e-2
maksimum lokalne
2
3. Wykazać, że funkcja z(x, y) = f(x2 + y2) spełnia równanie:
"2z "2z "z "z
y2 - x2 + x - y = 0
"x2 "y2 "x "y
dla każdej dwukrotnie różniczkowalnej funkcji f : R R
RozwiÄ…zanie:
Oznaczmy t = x2 + y2
"z "t
= f (t) · = f (t) · 2x
"x "x

"2z "t
= f (t) · · 2x + 2f (t) = 4x2f (t) + 2f (t)
"x2 "x
"z "t
= f (t) · = f (t) · 2y
"y "y

"2z "t
= f (t) · · 2y + 2f (t) = 4y2f (t) + 2f (t)
"y2 "y
StÄ…d:
"2z "2z "z "z
y2 - x2 + x - y =
"x2 "y2 "x "y
y2(4x2f (t) + 2f (t)) - x2(4y2f (t) + 2f (t)) + xf (t) · 2x - yf (t) · 2y =
4x2y2f (t) + 2y2f (t) - 4x2y2f (t) - 2x2f (t) + 2x2f (t) - 2y2f (t) = 0
3
4. Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 , y = 4 , y = 4-3x
, zawierajÄ…cego punkt P (0, 1) .
RozwiÄ…zanie:
Pole powierzchni obszaru jest równe:

S = dx dy
D
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

y = x2
=Ò! x = Ä…2
y = 4

y = 4
=Ò! x = 0
y = 4 - 3x

y = x2
=Ò! x2 = 4 - 3x =Ò! x2 + 3x - 4 = 0 =Ò! x = -4 lub x = 1
y = 4 - 3x
Dzielimy obszar D na dwie części: D = D1 *" D2

-2 x 0 0 x 1
D1 : D2 :
x2 y 4 x2 y 4 - 3x
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
0 4
íÅ‚
S1 = dyłł dx
-2
x2
4
4
dy = y = 4 - x2
x2
x2
0
0
1 8 16
S1 = 4 - x2 dx = 4x - x3 = 0 - (-8 + ) =
-2
3 3 3
-2
ëÅ‚ öÅ‚
1 4-3x

íÅ‚
S2 = dyłł dx
0
x2
4-3x

4-3x
dy = y = 4 - 3x - x2
x2
x2
1
1
3 1 3 1 13
S1 = 4 - 3x - x2 dx = 4x - x2 - x3 = 4 - - - 0 =
0
2 3 2 3 6
0
16 13 15
S = S1 + S2 = + =
3 6 2
Odpowiedz
:
15
S =
2
4
5. Znalez
ć moment bezwÅ‚adnoÅ›ci wzglÄ™dem osi Oz bryÅ‚y o gÄ™stoÅ›ci Á(x, y, z) = z ograni-
czonej powierzchniami: z = 2 - x2 - y2 , z = x2 + y2 .
RozwiÄ…zanie:
z2 = 2 - x2 - y2 - paraboloida obrotowa
z = x2 + y2 - paraboloida obrotowa

Iz = (x2 + y2)Á dx dy dz = (x2 + y2)z dx dy dz
A A
Stosujemy współrzędne walcowe:

Iz = r2z · r dr dÕ dz = r3z dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" jest ograniczony powierzchniami:
z = 2 - r2 i z = r2 .
Szukamy przecięcia się powierzchni:

z = 2 - r2
=Ò! 2 - r2 = r2 =Ò! r = 1
z = r2
zachodzić też majÄ… standardowe ograniczenia współrzÄ™dnych walcowych: r 0 oraz Õ
należy do jednego okresu. Stąd mamy:
A" : Õ "< 0 , 2Ä„ > ; r "< 0 , 1 > ; z "< r2 , 2 - r2 >
Obliczmy całkę:
ëÅ‚ öÅ‚
1
2Ä„
2
1 2-r2 2 2-r

1
ìÅ‚
r3z dr dÕ dz = dÕ · íÅ‚ r3z dz÷Å‚ dr = [Õ]2Ä„ · r3 z2 dr =
Å‚Å‚
0
2
r2
A" 0 0 0
r2
1 1 1
Ä„ r3((2 - r2)2 - r4) dr = Ä„ r3(4 - 4r2 + r4 - r4) dr = Ä„ (4r3 - 4r5) dr =
0 0 0
1
4 2 Ä„
Ä„ r4 - r6 = Ä„(1 - ) =
6 3 3
0
5

6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola F = [x2 + y2z , yz , 2x + z2]
przez zorientowany na zewnÄ…trz brzeg zbioru:
"
z x2 + y2 , z 0 , x 0 , x2 + y2 4
RozwiÄ…zanie:
Z tw Gaussa:


F · dS = divF dx dy dz
n
S V
Obliczamy:
"P "Q "R

divF = + + = 2x + z + 2z = 2x + 3z
"x "y "z
"
z = x2 + y2 : paraboloida obrotowa,
z = 0 : płaszczyzna,
x = 0 : płaszczyzna,
x2 + y2 = 4 : walec.
Stosujemy współrzędne walcowe:

Åš = (2x + 3z) dx dy dz = (2r cos Õ + 3z) · r dz dr dÕ = (2r2 cos Õ +
" "
V V V
3rz) dz dr dÕ
"
Szukamy V we spółrzędnych walcowych:
"
z x2 + y2 =Ò! z r
Ä„
x 0 =Ò! r cos Õ 0 =Ò! Õ "< -Ä„ , >
2 2
x2 + y2 4 =Ò! r2 4 =Ò! r 2
z 0
" Ä„
V : Õ "< -Ä„ , > ; r "< 0 , 2 > ; z "< 0 , r >
2 2
Ä„
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ öÅ‚
2 2 r
íÅ‚ íÅ‚
Åš = (2r2 cos Õ + rz) dzÅ‚Å‚ drÅ‚Å‚ dÕ
Ä„
- 0 0
2
Obliczamy:
r
r
3 3
(2r2 cos Õ + 3rz) dz = 2r2z cos Õ + rz2 = 2r3 cos Õ + r3
0
2 2
0
2
2
3 1 3
(2r3 cos Õ + r3) dr = r4 cos Õ + r4 = 8 cos Õ + 6
0
2 2 8
0
Ä„
2
Ä„
2
(8 cos Õ + 6) dÕ = 8 sin Õ + 6Õ = 8 + 3Ä„ - (-8 - 3Ä„) = 16 + 6Ä„
Ä„
-
2
Ä„
-
2
Odpowiedz
:
Strumień pola jest równy:
Åš = 16 + 6Ä„
6