Egzamin z Analizy 2, 17 IX 2012
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = (x2 + y2) arc tg (xy) 2
"x"y
, P = (1, 1)
RozwiÄ…zanie:
"f x2 + y2 x2y + y3
= 2x arc tg xy + · y = 2x arc tg xy +
"x 1 + x2y2 1 + x2y2
"2f 2x2 (x2 + 3y2) · (1 + x2y2) - (x2y + y3)2x2y
= + = 1 + 1 = 2
"x"y 1 + x2y2 (1 + x2y2)2
2. Obliczyć dywergencję pola wektorowego -6

"
-

F = ln(y + xz) , yex+2y+z , x3 + y z2 + 4y w punkcie P = (1, -2, 3)
RozwiÄ…zanie:

-
"P "Q "R z 2z
"
div F = + + = + ex+2y+z + 2yex+2y+z + y =
"x "y "z y + xz 2 z2 + 4y
3 + 1 - 4 - 6 = -6
3. Obliczyć całkę iterowaną 1
ëÅ‚ öÅ‚
"
y
1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dx÷Å‚ dy
Å‚Å‚
y
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
"
y
1 1
"y 1 1
ìÅ‚
íÅ‚ 24xy dx÷Å‚ dy = 12yx2 dy = (12y2 - 12y3) dy = 4y3 - 3y4 =
Å‚Å‚
y 0
y
0 0 0
4 - 3 - 0 = 1

1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + (x - 2y) dy ; -26
C
2
C : x = t2 + , y = t3 od t = 1 do t = 2
t
RozwiÄ…zanie:
2 2
2 2
y dx + (x - 2y) dy = t3 · (2t - ) dt + (t2 + - 2t3) · 3t2 dt = (5t4 + 4t -
t2 t
C 1
1
2
6t5) dt = t5 + 2t2 - t6 = 32 + 8 - 64 - (1 + 2 - 1) = -26
1
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
" "
ôÅ‚
ół
A : x2 + y2 + z2 20 , z 2 x2 + y2 2r z 20 - r2
RozwiÄ…zanie:
"
x2 + y2 + z2 20 =Ò! z2 20 - r2 =Ò! |z| 20 - r2 kula
"
z x2 + y2 =Ò! z 2r stożek
"
2r = 20 - r2 =Ò! 4r2 + r2 - 20 = 0 =Ò! r2 = 4 =Ò! r = 2
1
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y(x) określonej równaniem:
x4 - 2x2y - x2 + y2 + y = 0
RozwiÄ…zanie
Oznaczamy f(x, y) = x4 - 2x2y - x2 + y2 + y . Dziedzina funkcji D = R2 jest zbiorem
otwartym, a funkcja jest klasy C2 .
"f
Aby skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej, musi być spełniony warunek: = 0

"y
czyli:
-2x2 + 2y + 1 = 0

Szukamy punktów stacjonarnych funkcji uwikłanej:
y = 0
"f
"f
"x
y = - = 0 Ð!Ò! = 0
"f
"x
"y
Rozwiązujemy układ równań:
Å„Å‚

"f
òÅ‚
4x3 - 4xy - 2x = 0
= 0
=Ò!
"x
ół
x4 - 2x2y - x2 + y2 + y = 0
f = 0
Z pierwszego równania:
1
4x3 - 4xy - 2x = 0 =Ò! 2x(2x2 - 2y - 1) = 0 =Ò! x = 0 lub y = x2 -
2
Dla x = 0 z drugiego równania mamy:
y2 + y = 0 =Ò! y(y + 1) = 1 =Ò! y = 0 lub y = -1
Punkty stacjonarne: P1(0, 0) , P2(0, -1) .
1
Dla y = x2 - z drugiego równania mamy:
2
1 1
x4 - 2x4 + x2 - x2 + x4 - x2 + + x2 - = 0 =Ò! -1 = 0 brak rozwiÄ…zaÅ„
4 2 4
"f "f
Sprawdzamy: (0, 0) = 1 = 0 , (0, -1) = -1 = 0

"y "y
Obliczamy drugÄ… pochodnÄ…:
"2f
"x2
y = -
"f
"y
"2f
= 12x2 - 4y - 2
"x2
-12x2 + 4y + 2
y =
-2x2 + 2y + 1
2
y (P1) = = 2 > 0 =Ò! w P1(0, 0) jest minimum lokalnym funkcji uwikÅ‚anej
1
-2
y (P2) = = 2 > 0 =Ò! w P2(0, -1) jest minimum lokalnym funkcji uwikÅ‚anej
-1
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji
x2 4 8
f(x, y) = -x2 + - -
y y2 y
RozwiÄ…zanie
Dziedzina funkcji D : {(x, y) : y = 0} jest zbiorem otwartym.

Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f 2x
= -2x +
"x y
"f x2 8 8
= - + +
"y y2 y3 y2
StÄ…d:
Å„Å‚
2x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ -2x + = 0
òÅ‚
-2xy + 2x = 0
y
=Ò!
ôÅ‚ x2 8 8
-x2y + 8 + 8y = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ół - + + = 0
y2 y3 y2
Z pierwszego równania:
2x(-y + 1) = 0
Czyli x = 0 lub y = 1
Dla x = 0 z drugiego równania 8 + 8y = 0 =Ò! y = -1
Dla y = 1 z drugiego równania -x2 + 16 = 0 =Ò! x = Ä…4
Mamy więc trzy punkty stacjonarne:
P1(0, -1) , P2(-4, 1) , P3(4, 1)
Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2f 2 "2f 2x2 24 16 "2f 2x
= -2 + ; = - - ; = -
"x2 y "y2 y3 y4 y3 "x"y y2
Badamy macierz drugich pochodnych:

-4 0
f (P1) = W1 = -4 < 0 , W2 = 32 > 0 =Ò! w P1 jest maksimum
0 -8
lokalne.

0 -8
f (P2) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P2 nie ma ekstremum.
-8 8

0 -8
f (P3) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P3 nie ma ekstremum.
-8 -8
3

4. Obliczyć x2 dx dy , gdzie obszar D jest ograniczony krzywymi y = sin x , y =
D
3 - sin x . x = 0 , x = Ä„
RozwiÄ…zanie:
Zbiór D jest obszarem normalnym:

0 x Ä„
D :
sin x y 3 - sin x
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„ 3-sin x

íÅ‚
I = x2 dyłł dx
0 sin x
Obliczamy całki:
3-sin x

3-sin x
x2 dy = x2y = x2(3 - sin x) - x2 sin x = 3x2 - 2x2 sin x
sin x
sin x
Ä„ Ä„ Ä„

I = 3x2 - 2x2 sin x dx = 3x2 dx - 2 x2 sin x dx = I1 - 2I2
0 0 0
Ä„
Ä„
I1 = 3x2 dx = x3 = Ä„3
0
0
Ä„
I2 = x2 sin x dx =
0
Całkujemy przez części:

f = x2 g = sin x
f = 2x g = - cos x
Ä„
Ä„ Ä„
I2 = -x2 cos x - -2x cos x dx = Ä„2 - 0 + 2 x cos x dx
0
0 0
Obliczamy:

Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
f = x g = cos x
x cos x dx = = x sin x - sin x dx = 0 - - cos x = -2
0 0
f = 1 g = sin x
0 0
StÄ…d:
I2 = Ä„2 - 4
I = Ä„3 - 2Ä„2 + 4
Odpowiedz
:
I = Ä„3 - 2Ä„2 + 4
4
5. Znalez
ć moment bezwładności względem osi Oz bryły &! ograniczonej powierzchniami:
z = x2 + y2 + 1
4(x2 + y2) = z2
jeżeli gÄ™stość Á(x, y, z) = z .
RozwiÄ…zanie:

Iz = Á(x2 + y2) dx dy dz = (x2 + y2)z dx dy dz
&! &!
Pierwsza powierzchnia to paraboloida, druga to stożek.
Wprowadzamy współrzędne walcowe:

Iz = r2z · r dz dr dÕ = r3z dz dr dÕ
&!" &!"
Obszar &!" we współrzędnych walcowych:
z = x2 + y2 + 1 =Ò! z = r2 + 1
4(x2 + y2) = z2 =Ò! 4r2 = z2 =Ò! z = Ä…2r
Szukamy przecięcia się powierzchni:
2r = r2 + 1 =Ò! r = 1
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Ć 2Ä„
òÅ‚
&!" : 0 r 1
ôÅ‚
ół
2r z 1 + r2
ëÅ‚ öÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„
1 1+r2

2Ä„ 1 1+r2
1
ìÅ‚
íÅ‚
Iz = r3z dz dr dÕ = dĆÅ‚Å‚ · íÅ‚ r3z dz÷Å‚ dr = Õ · r3z2 dr =
Å‚Å‚
0 2r
2
&!" 0 0 2r 0
1 1
1
1 2 1
Ä„ r3(1 + r2)2 - r3 · 4r2 dr = Ä„ r7 - 2r5 + r3 dr = Ä„ r8 - r6 + r4 =
0
8 6 4
0 0
1 1 1 Ä„
Ä„( - + ) =
8 3 4 24
Odpowiedz
:
Ä„
Iz =
24
5
6. Sprawdzić twierdzenie Greena jeżeli zbiór A : x y2 , x 4 ; a pole wektorowe
[P, Q] = [3x2, 20xy]
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

x = y2
=Ò! y2 = 4 =Ò! y1 = -2 , y2 = 2
x = 4
StÄ…d: x1 = 4 , x2 = 4
Wzór Greena:


"Q "P
- dx dy = P dx + Q dy
"x "y
A K
Obliczamy lewą stronę. A jest obszarem normalnym względem osi Ox:

0 x 4
" "
A :
- x y x
Obliczamy:
"Q "P
- = 20y - 0 = 20y
"x "y
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
4
ìÅ‚
L = 20y dx dy = íÅ‚ 20y dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
"
A 0
- x
"
x

"x
20y dy = 10y2 y = 10x - 10x = 0
"
- x
"
- x
4

L = 0 dx = 0
0
Dzielimy krzywÄ… K na 2 Å‚uki:
K1 : x = t2 , y = t ; t zmienia siÄ™ od 2 do -2
-2 -2

-2
3x2 dx + 20xy dy = (3t4 · 2t + 20t3 · 1) dt = (6t5 + 20t3) dt = t6 + 5t4 =
2
K1 2 2
64 + 80 - 64 - 80 = 0
K2 : x = 4 , y = t ; t zmienia siÄ™ od -2 do 2
2 2
2
3x2 dx + 20xy dy = (48 · 0 + 80t · 1) dt = 80t dt = 40t2 = 160 - 160 = 0
-2
K2 -2 -2
StÄ…d:
P = 0 + 0 = 0
Czyli lewa strona jest równa prawej stronie.
6