Egzamin z Analizy 2, 25 VI 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (1, -1) , gdzie f(x, y) = x3 + y3 + x ln(x2 + y2) . 8
"x2
RozwiÄ…zanie:
"f 2x2
= 3x2 + ln(x2 + y2) +
"x x2 + y2
"2f 2x 4x(x2 + y2) - 2x2 · 2x 2 8 - 4
= 6x + + = 6 + + = 8
"x2 x2 + y2 (x2 + y2)2 2 4
2. Obliczyć dywergencję pola wektorowego 17
-

2
F (x, y, z) = [y sin 2x , x2 + z3 , zez -y] w punkcie P = (0, 4, 2)
RozwiÄ…zanie:
-
"P "Q "R
div F = + + =
"x "y "z
2 2
2y cos 2x + 0 + ez -y + 2z2ez -y = 8 + 1 + 8 = 17
3. Obliczyć całkę iterowaną 1
ëÅ‚ öÅ‚
1 2-x

íÅ‚
10x3y dyłł dx
x
0
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚
1 2-x 1 1

2-x
íÅ‚
10x3y dyłł dx = 5x3y2 dx = 5x3(4 - 4x + x2 - x2) dx =
x
x
0 0 0
1
1
(20x3 - 20x4) dx = 5x4 - 4x5 = 1
0
0

4. Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y2 dx + x dy 5
C
C : x = t2 + t , y = 2t od t = 0 do t = 1
RozwiÄ…zanie:
1 1

y2 dx + x dy = 4t2 · (2t + 1) + (t2 + t) · 2 dt = (8t3 + 6t2 + 2t) dt =
C 0
1 0
2t4 + 2t3 + t2 = 2 + 2 + 1 = 5
0
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 3
" "
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 6 - x2 + y2 r z 6 - r
RozwiÄ…zanie:
"
z x2 + y2 =Ò! z r pierwszy warunek (stożek)
"
z 6 - x2 + y2 =Ò! z 6 - r drugi warunek (stożek)
r 6 - r =Ò! r 3
1
2. Pod jakim kÄ…tem przecinajÄ… siÄ™ powierzchnie
S1 : x3y2 - zex - 1 = 0 oraz S2 : xyz + ln(x2 - y2 + 1) = 0 w punkcie P (1, 1, 0)
RozwiÄ…zanie:
Oznaczmy f1(x, y, z) = x3y2 - zex - 1 , f2(x, y, z) = xyz + ln(x2 - y2 + 1) .
Wektor prostopadły pdo powierzchni S1 :
-

n = grad f1
1

"f1 "f1 "f1
grad f1 = , ,
"x "y "z
"f1
= 3x2y2 - zex|P = 3
"x
"f1
= 2x3y|P = 2
"y
"f1
= -ex|P = -e
"x
StÄ…d:
-

n = [3, 2, -e]
1
Wektor prostopadły pdo powierzchni S2 :
-

n = grad f2
2
"f2 2x
= yz + |P = 2
"x x2 - y2 + 1
"f2 -2y
= xz + |P = -2
"y x2 - y2 + 1
"f2
= xy|P = 1
"x
StÄ…d:
-

n = [2, -2, 1]
2
Kąt między powierzchniami jest równy kątowi między wektorami prostopadłymi do
powierzchni.
-
-
| · n | |6 - 4 - e| e - 2
n
1 2
" "
cos Ä… = = " =
- -
| || |
n n
9 + 4 + e2 4 + 4 + 1 3 13 + e2
1 2
RozwiÄ…zanie:
e - 2
"
Ä… = arc cos
3 13 + e2
2
3. Znalez
ć ekstrema globalne funkcji f(x, y) = xy - 2x2 na zbiorze D : y 4 , y x2
RozwiÄ…zanie:
Funkcja f jest ciągłą, zbiór D jest domknięty i ograniczony, więc ekstrema globalne
istnieją. Dzielimy zbiór D na części: D = D1 *" D1 *" D2 *" D3 *" D4
D1 : y < 4 , y > x2
"f "f
Szukamy punktów stacjonarnych f na D1 : = 0 , = 0
"x "y
"f "f
= y - 4x , = x
"x "y

y - 4x = 0
=Ò! x = 0 , y = 0
x = 0
Punkt P (0, 0) " D1 więc funkcja f nie ma punktów stacjonarnych na D1
/
D2 : y = 4 , y > x2
Parametryzujmy krzywÄ… D2 : y = 4 , x " (-2, 2)
g(x) = f(x, 4) = 4x - 2x2
Rozwiązujemy równanie: g (x) = 0
g (x) = 4 - 4x = 0 =Ò! x = 1 " (-2, 2)
Funkcja f ma punkt stacjonarny na D2 =Ò! P1(1, 4)
D3 : y < 4 , y = x2
Parametryzujmy krzywÄ… D3 : y = x2 , x " (-2, 2)
g(x) = f(x, x2) = x3 - 2x2
Rozwiązujemy równanie: g (x) = 0
4
g (x) = 3x2 - 4x = 0 =Ò! x(3x - 4) = 0 =Ò! x1 = 0 lub x2 =
3
x1 " (-2, 2) , x2 " (-2, 2)
16
Funkcja f ma punkty stacjonarne na D3 =Ò! P2(0, 0) , P3(4, )
3 9
D4 : y = 4 , y = x2
=Ò! x = Ä…2
Funkcja f ma punkty stacjonarne na D3 =Ò! P4(2, 4) , P5(-2, 4)
Obliczmy wartości funkcji w punktach stacjonarnych i wybieramy największą i naj-
mniejszą wartość:
f(P1) = 4 - 2 = 2
f(P2) = 0
64 32
f(P3) = - = -32
27 9 27
f(P4) = 8 - 8 = 0
f(P5) = -8 - 8 = -16
Odpowiedz
:
Maksimum globalne równe 2 jest w pukcie P1(1, 4)
Minimum globalne równe -16 jest w P5(-2, 4)
3
"
4. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi x = y2 , y = 4 - x , x = 9 zawiera-
jÄ…cego punkt P (1, 0).
RozwiÄ…zanie:
Pole S obszaru D jest równe:

S = dx dy
D
Szukamy punktów przecięcia krzywych:

x = y2
"
y = 4 - x
"
x = 16 - 8 x + x
"
x = 2
x = 4
Figurę D dzielimy na dwie części:

0 x 4
" "
D1 :
- x y x

4 x 9
" "
D2 :
- x y 4 - x
S = S1 + S2
Obliczamy całki:
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
4 4 4 4
"
"
4 3 32
ìÅ‚ x
2
S1 = dx dy = íÅ‚ Å‚Å‚
dy÷Å‚ dx = [y]-"x dx = 2 x dx = x =
3 3
0
"
D1 0 0 0
- x
ëÅ‚ öÅ‚
"
9 4- x 9 9

"
ìÅ‚
"
S2 = dx dy = íÅ‚ dy÷Å‚ dx = [y]4- x dx = 4 dx = [4x]9 = 20
Å‚Å‚
- x 4
"
D2 4 4 4
- x
StÄ…d:
32 92
S = + 20 =
3 3
Odpowiedz
:
92
S =
3
4
5. Znalez
ć moment bezwładności względem osi Oz jednorodnej bryły ograniczonej po-
wierzchniami: z = 2 + x2 + y2 , x2 + y2 = 4 , z = 0 .
RozwiÄ…zanie:
z = 2 + x2 + y2 - paraboloida obrotowa
x2 + y2 = 4 - walec
z = 0 - płaszczyzna

Iz = (x2 + y2)Á dx dy dz = Á (x2 + y2) dx dy dz
A A
Stosujemy współrzędne walcowe:

Iz = Á r2 · r dr dÕ dz = Á r3 dr dÕ dz
A" A"
Zbiór A" jest ograniczony powierzchniami:
z = 2 + x2 + y2 =Ò! z = 2 + r2
x2 + y2 = 4 =Ò! r2 = 4 =Ò! r = 4
z = 0 .
zachodzić też majÄ… standardowe ograniczenia współrzÄ™dnych walcowych: r 0 oraz Õ
należy do jednego okresu. Stąd mamy:
A" : Õ "< 0 , 2Ä„ > ; r "< 0 , 2 > ; z "< 0 , 2 + r2 >
Obliczamy całkę:
ëÅ‚ öÅ‚
2Ä„
2 2+r2 2

2+r2
ìÅ‚
r3 dr dÕ dz = dÕ · íÅ‚ r3 dz÷Å‚ dr = [Õ]2Ä„ · r3z dr =
Å‚Å‚
0
0
A" 0 0 0 0
2 2 2
1 1 32 112Ä„
2Ä„ r3(2 + r2) dr = 2Ä„ (2r3 + r5) dr = 2Ä„ r4 + r6 = 2Ä„(8 + ) =
2 6 3 3
0
0 0
Odpowiedz
:
112Ä„
Iz = Á
3
5

6. Korzystając z twierdzenia Gaussa obliczyć strumień pola F = [x2 + yz, xy, z] przez
zorientowaną zewnętrznie sferę:
S : x2 + y2 + z2 = 4 .
RozwiÄ…zanie:
Z tw Gaussa:


F · dS = divF dx dy dz
n
S V
Obliczamy:
"P "Q "R

divF = + + = 2x + x + 1 = 3x + 1
"x "y "z

Åš = (3x + 1) dx dy dz = 3x dx dy dz + dx dy dz
V V V

4 32Ä„
dx dy dz = Ą23 = : całka ta jest równa objętości kuli o promieniu 2 .
3 3
V

3x dx dy dz = 0 ponieważ obszar całkowania jest symetrzyny względem płaszczy-
V
zny Oyz , a funkcja podcałkowa zmienia znak:

P (x, y, z) =Ò! P (-x, y, z)
f(P ) = 3x

f(P ) = -3x = -f(P )
Odpowiedz
:
Strumień pola jest równy:
32Ä„
Åš =
3
6