Egzamin z Równań Różniczkowych, 20 VI 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1 oraz g(x) = x tworzą układ fundamentalny Tak
rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego rzędu drugiego o stałych
współczynnikach (tzn. czy są liniowo niezależne).
Rozwiązanie:


f g 1 x

W (x) = = = 1 - 0 = 0 = 0 Wrońskian


f g 0 1

x(y + 1)y = y
y
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego: y + ln |x| = 1
y(1) = 1
Rozwiązanie:
dy (y + 1) dy dx
x(y + 1) = y =�! = rozdzielamy zmienne
dx y x
y + ln |y| = ln |x| + C całkujemy
y
y + ln |x| = C
1 + 0 = C =�! C = 1 podstawiamy x = 1 oraz y = 1
"
n
1 1
1
3. Wyznaczyć sumę szeregu -
2
2 3n
n=1
Rozwiązanie:
" " 1
n n n 1
1 1 1 " 1 2 1 1
3
- = - = - = 1 - =
1 1
2 3n 2 3 1 - 1 - 2 2
n=1 n=1 n=1
2 3
Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego
"

n
4. Zbadać zbieżność szeregu (-1)n Szereg rozbieżny
n + 1
n=1
Rozwiązanie:
n 1
lim |an| = lim = lim = 1 = 0

1
n" n" n"
n + 1 1 +
n
Nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.
-
(t)
5. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu r = (t3, t2, t) w x = 0 , y = 0 , z = t
punkcie P (0, 0, 0) .
Rozwiązanie:
-
(t) = [3t2, , 2t , 1]
Ł
r
-
(0) = [0 , 0 , 1]
Ł
r wektor kierunkowy prostej stycznej
l : x = 0 , y = 9 , z = t równanie prostej stycznej
1
2. Rozwiązać równanie:
y = (x - y)2 + 1
Rozwiązanie:
Podstawiamy: u(x) = y - x
Wtedy: u = 1 - y =�! y = 1 - u
1 - u = u2 + 1
u = -u2
du
= - dx rozdzielamy zmienne
u2

du
= - dx
u2
1
- = x + C
u
-1
u =
x + C
-1
y - x =
x + C
Odpowiedz
:
1
y = x -
x + C
2
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
ńł
xy x
�ł
�ł
y - =
�ł
�ł
2(x2 - 1) 2y
�ł
�ł
�ł
ół
y(0) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Mnożymy obie strony przez y:
xy2 x
yy - =
2(x2 - 1) 2
Podstawiamy: z(x) = y2(x) , wtedy z = 2yy
z xz x xz
- = =�! z - = x wstawiamy do równania
2 2(x2 - 1) 2 x2 - 1
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie jednorodne:
xz
z - = 0
x2 - 1
dz x
= dx Rozdzielamy zmienne
z x2 - 1

dz x
= dx
z x2 - 1
1
ln |z| = ln |x2 - 1| + C postawiamy t = x2 - 1
2

z = C |x2 - 1|
Ponieważ, dla x = 0 mamy |x2 - 1| = 1 - x2 więc
"
z = C 1 - x2
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
xz
z - = x
x2 - 1
"
z = C(x) 1 - x2 uzmienniamy stałą
"
-2x
"
Wtedy: z = C 1 - x2 + C
2 1 - x2
"
"
xC xC 1 - x2
C 1 - x2 - " - = x =�!
x2 - 1
1 - x2
"
xC xC x
C 1 - x2 - " " "
+ = x =�! C =
1 - x2 1 - x2 1 - x2

"
x 1 1
"
C = dx = {t = 1 - x2 , dt = -2x dx} = - "
dt = - t + D =
2
1 - x2 t
"
- 1 - x2 + D

" " "
Stąd: z = - 1 - x2 + D 1 - x2 = x2 - 1 + D 1 - x2

"
y = ą x2 - 1 + D 1 - x2 (Wybieramy znak + ponieważ y(0) = 1 > 0 )
"
1 = -1 + D =�! D = 2 Wstawiamy x = 0 , y = 1
Odpowiedz
:

"
y = x2 - 1 + 2 1 - x2
3
4. Rozwiązać układ równań

� = y + t
Ź = 8x - t
Rozwiązanie:
y = � - t obliczamy y z pierwszego równania
Ź = ć - 1 różniczkujemy
ć - 1 = 8x - t wstawiamy do drugiego równania
ć - 8x = -t + 1
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
ć - 8x = 0
r2 - 8 = 0 równanie charakterystyczne
" "
r1 = 2 2 , r2 = -2 2
" "
x = C1e2 2t + C2e-2 2t rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
ć - 8x = -t + 1
Ponieważ r = 0 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
xs = At + B
�s = A
ćs = 0
Wstawiamy do równania:

1
-8A = -1 A =
8
-8At - 8B = -t + 1 =�! =�!
-8B = 1 B = -1
8
1 1
xs = t -
8 8
" "
1 1
x = C1e2 2t + C2e-2 2t + t - rozwiązanie ogólne równania liniowego
8 8
niejednorodnego
" "
" "
1
� = C12 2e2 2t - C22 2e-2 2t +
8
" "
" "
1
y = C12 2e2 2t - C22 2e-2 2t - t +
8
Odpowiedz
:
" "

1 1
x = C1e2 2t + C2e-2 2t + t -
8 8
" "
" "
1
y = 2 2C1e2 2t - 2 2C2e-2 2t - t +
8
4
5. Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) i określić przedział zbieżności tego szeregu.
x
f(x) =
(1 + x)2
Rozwiązanie:
1
Niech g(x) =
1 + x
1
Wtedy g (x) = - , więc
(1 + x)2
f(x) = -xg (x)
Rozwijamy g(x) w szereg Maclaurina:
1 1
g(x) = = = 1 + (-x) + (-x)2 + (-x)3 + (-x)4 + (-x)5 + � � � =
1 + x 1 - (-x)
1 - x + x2 - x3 + x4 - x5 + . . .
dla | - x| < 1 =�! x " (-1, 1) .
Skorzystaliśmy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Różniczkujemy otrzymany
szereg potęgowy:
g (x) = -1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + . . . dla x " (-1, 1)
stąd:
f(x) = -x(-1 + 2x - 3x2 + 4x3 - 5x4 + . . . ) = x - 2x2 + 3x3 - 4x4 + 5x5 + . . .
dla x " (-1, 1)
Odpowiedz
:
f(x) = x - 2x2 + 3x3 - 4x4 + 5x5 + . . .
Przedział zbieżności: (-1, 1)
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera funkcji:
ńł
�ł 2 dla x " (-Ą, -Ą )
�ł
2
Ą
f(x) = 4 dla x " (-Ą , )
2 2
�ł
ół
2 dla x " (Ą , Ą)
2
Narysować wykres sumy szeregu dla x " [-Ą, Ą].
3
Podać wartość sumy tego szeregu dla x = Ą.
2
Rozwiązanie:
Funkcja f(x) jest parzysta, więc bn = 0 dla n = 1, 2, 3 . . .
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą
1 2
an = f(x) cos nx dx = f(x) cos nx dx = ponieważ f(x) jest parzysta
Ą Ą
-Ą 0
Ą
Ą
2 Ą
2
2 2 2 4 sin nx 2 2 sin nx Ą
4 cos nx dx + 2 cos nx dx = + =
Ą
Ą Ą Ą n Ą n
0
Ą 2
0
2
8(sin nĄ - 0) 4(sin nĄ - sin nĄ ) 4 sin nĄ
2 2 2
+ =
nĄ nĄ nĄ
Ą Ą
1 2
a0 = f(x) dx = f(x) dx = ponieważ f(x) jest parzysta
Ą Ą
-Ą 0
Ą
2 Ą
Ą
2 2 2 2 2 2
2
4 dx + 2 dx = [4x]0 + [2x]Ą = � 2Ą + � Ą = 4 + 2 = 6 .
Ą
2
Ą Ą Ą Ą Ą Ą
Ą
0
2
Szereg Fouriera funkcji f(x) jest więc następujący:
" "

a0 4 sin nĄ
2
S(x) = + an cos nx = 3 + cos nx
2 nĄ
n=1 n=1
Suma szeregu Fouriera jest równa f(x) w punktach ciągłości f(x) czyli:
Ą
x " (-Ą, -Ą ) *" (-Ą , ) *" (Ą , Ą)
2 2 2 2
f(-1Ą-) + f(-1Ą+) 2 + 4
2 2
S(-1Ą) = = = 3
2
2 2
f(1Ą-) + f(1Ą+) 4 + 2
2 2
S(1Ą) = = = 3
2
2 2
f(Ą-) + f(-Ą+) 2 + 2
S(-Ą) = S(Ą) = = = 2
2 2
ńł
2 dla x "< -Ą, -Ą )
�ł
�ł 2
�ł
�ł Ą
4 dla x " (-Ą , )
2 2
S(x) =
�ł
2 dla x " (Ą , Ą >
�ł
2
�ł
ół
Ą
3 dla x " {-Ą , }
2 2
S(3Ą) = S(-1Ą) = 3
2 2
Korzystamy z okresowości szeregu Fouriera.
6