Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2011
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Sprawdzić, czy funkcje f(x) = 1 + x oraz g(x) = 2 - x tworzą układ funda- tak
mentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego rzędu drugiego(tzn. czy
są liniowo niezależne)
Rozwiązanie:


f g 1 + x 2 - x

W (x) = = = -1 - x - 2 + x = -3 = 0


f g 1 -1
2. Rozwiązać równanie: y = cos2 y y = arc tg(x + C)
Rozwiązanie:
dy
= dx =�! tg y = x + C rozdzielamy zmienne
cos2 y
tg y = x + C całkujemy
y = arc tg(x + C) + kĄ , k " Z
3. Wyznaczyć linie ortogonalne do rodziny krzywych tworzących całkę ogólną y2 = 2x + C
równania różniczkowego y + y = 0
Rozwiązanie:
1
- + y = 0 równanie linii ortogonalych
y
y dy = dx rozdzielamy zmienne
y2
= x + C =�! y2 = 2x + C całkujemy
2
-

4. Wyznaczyć wektor binormalny do krzywj o równaniu r = [t , t2 , et] , dla [-2, -1, 2]
t = 0
Rozwiązanie:
- -
(t) = [1 , 2t , et] , (0) = [1, 0, 1]
Ł Ł
r r
- -
(t) = [0 , 2 , et] , (0) = [0, 2, 1]
� �
r r
-

- -

Ł �
b = r � r = [1, 0, 1] � [0, 2, 1] = [-2, -1, 2] wektor binormalny
"

p
5. Dla jakich wartości parametru p zachodzi równość = 6 p = 3
2n
n=0
Rozwiązanie:
"

p p
= = 2p suma szeregu geometrycznego
1
2n 1 -
n=0
2
2p = 6 =�! p = 3
1
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

y + y tg x = sin 2x
y(Ą) = 1
Rozwiązanie:
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y + y tg x = 0
Rozdzielamy zmienne:
dy
= - tg x dx
y

dy sin x
= - dx
y cos x
ln |y| = ln | cos x| + C
y = C cos x
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
y + y tg x = sin 2x
y = C(x) cos x uzmienniamy stałą
Wtedy:
y = C cos x - C sin x
sin x
C cos x - C sin x + C cos x � = sin 2x wstawiamy do równania
cos x
C cos x = 2 sin x cos x
C = 2 sin x

C = 2 sin x dx = -2 cos x + C
Stąd:
y = (-2 cos x + C) cos x = -2 cos2 x + C cos x
y(Ą) = -2 - C = 1 =�! C = -3
y = -2 cos2 x - 3 cos x
Odpowiedz
:
y = -2 cos2 x - 3 cos x
2
3. Rozwiązać równanie: (y )2 + sin2 3x = 1
Rozwiązanie:
(y )2 = 1 - sin2 3x
(y )2 = cos2 3x
y = ą cos 3x
dy = ą cos 3x dx rozdzielamy zmienne

sin 3x
y = ą cos 3x dx = ą + C całkujemy: podstawienie liniowe t = 3x
3
Odpowiedz
:
sin 3x
y = ą + C
3
3
4. Rozwiązać równanie: y - 4y = x + e3x
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y - 4y = 0
r3 - 4r = 0 równanie charakterystyczne
r(r2 - 4) = 0 =�! r(r - 2)(r + 2) = 0
r1 = 0 , r2 = 2 , r3 = -2
y = C1 + C2e2x + C3e-2x rozwiązanie ogólne równania liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y - 4y = x
Ponieważ r = 0 jest pierwiastkiem jednokrotnym wielomianu charakterystycznego,
więc rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = (Ax + B)x = Ax2 + Bx

ys = 2Ax + B

ys = A

ys = 0
Wstawiamy do równania:
-8Ax - 4B = x

-8A = 1 A = -1
8
=�!
-4B = 0 B = 0
ys = -1x2
8
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y - 4y = e3x
Ponieważ r = 3 nie jest pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego, więc rozwią-
zanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Ae3x

ys = 3Ae3x

ys = 9Ae3x

ys = 27Ae3x
Wstawiamy do równania:
27Ae3x - 12Ae3x = Ae3x
1
15A = 1 =�! A =
15
1
ys = e3x
15
Odpowiedz
:
1 1
y = C1 + C2e2x + C3e-2x - x2 + e3x
8 15
4
5. Korzystając z odpowiednich twierdzeń o całkowaniu i różniczkowaniu funkcji rozwinąć
w szereg Maclaurina funkcję f(x) = x arc tg x. Wyznaczyć zakres zbieżności szeregu.
Rozwiązanie:
g(x) = arc tg x
1
g (x) =
1 + x2
1 1
= = 1 + (-x2) + (-x2)2 + (-x2)3 + (-x2)4 + � � � =
1 + x2 1 - (-x2)
1 - x2 + x4 - x6 + x8 + . . .
Przedział zbieżności tego szeregu: -x2 " (-1 , 1) =�! x " (-1 , 1)
Skorzystaliśmy z rozwinięcia w szereg funkcji:
1
= 1 + x + x2 + x3x4 + . . . , x " (-1 , 1)
1 - x
Stąd:


g(x) = g (x) dx = 1-x2 +x4 -x6 +x8 +. . . dx = dx+ (-x2) dx+ x4 dx+

x3 x5 x7 x9
(-x6) dx + x8 dx + � � � = x - + - + + � � � + C
3 5 7 9
Promień zbieżności tego szeregu jest taki sam, więc x " (-1 , 1)
Podstawiamy x = 0
g(0) = C =�! arc tg 0 = C =�! C = 0
x3 x5 x7 x9
g(x) = x - + - + + . . .
3 5 7 9
Stąd:

x3 x5 x7 x9 x4 x6 x8 x10
f(x) = xg(x) = x x - + - + + . . . = x2 - + - + + . . .
3 5 7 9 3 5 7 9
x " (-1 , 1)
5
6. Wyznaczyć szereg Fouriera samych sinusów, którego suma na przedziale (0 , Ą) przyj-
Ą
muje wartości identyczne z funkcją f(x) = . Wypisać sumę trzech pierwszych wy-
4
razów szeregu. Wykorzystując otrzymany szereg, obliczyć sumę szeregu liczbowego:
"

sin(2n - 1)
2n - 1
n=1
Rozwiązanie:
Dla n = 1, 2, 3 . . .
Ą Ą Ą
2 2 Ą 1 1 - cos nx Ą
bn = f(x) sin nx dx = � sin nx dx = sin nx dx = =
Ą Ą 4 2 2 n
0
0 0 0

1 1 - (-1)n
- cos nĄ + 1 =
2n 2n
Szereg Fouriera sinusów jest więc następujący:
" "

1 - (-1)n
S(x) = bn sin nx = sin nx
2n
n=1 n=1
Suma trzech pierwszych wyrazów szeregu:
1 - (-1) 1 - (-1)2 1 - (-1)3
S3(x) = sin x + sin 2x + sin 3x =
2 4 6
1 1
sin x + 0 sin 2x + sin 3x = sin x + sin 3x
3 3
1
Widać, że współczynniki parzyste: b2k = 0, a nieparzyste b2k-1 = . Stąd
2k - 1
"

sin(2k - 1)x
S(x) =
2k - 1
k=1
Podstawiamy x = 1
"

sin(2k - 1)
S(1) =
2k - 1
k=1
Stąd suma szeregu liczbowego:
"

sin(2k - 1) Ą
= S(1) = f(1) =
2k - 1 4
k=1
6