Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
1.1 Napisać równania różniczkowego liniowe rzędu drugiego, którego całkami szcze-
gólnymi są: y1 = e2x , y2 = xe2x
1.2 Rozwiązać równanie: y = 1 - sin2 y .
"
n
1
1.3 Zbadać zbieżność szeregu 1 +
n
n=1
1.4 Niech S(x) oznacza sumÄ™ szeregu Fouriera funkcji f(x) = x dla x " (-Ä„, Ä„) .
Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie 2Ą ?
1.5 Wyznaczyć wektor binormalny krzywej o równaniu
-
(t) = [t , et t2] dla t = 0 .
r ,
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
1.1 Wyznaczyć równanie różniczkowego liniowe jednorodne rzędu drugiego o stałych
współczynnikach, jeżeli jeden z pierwiastków jego równania charakterystycznego
ma postać r1 = i
1.2 Rozwiązać równanie y = ey-x .
"

n2n
1.3 Wyznaczyć promień zbieżności szeregu xn
3n+1
n=1
1.4 Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyzny normalnej do krzywej
K : x = t , y = t3 , z = 2t w punkcie P (1, 1, 2)
1.5 Niech S(x) oznacza sumÄ™ szeregu Fouriera funkcji f(x) = -x dla x " (-Ä„, Ä„) .
Jaka wartość funkcja S(x) przyjmuje w punkcie -3Ą ? .
2. Rozwiązać równanie:
xy - 2y = x3 cos x
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

y = 1 + x + y + xy
y(0) = 0
4. Rozwiązać zagadnienie początkowe
Å„Å‚
ôÅ‚ y + 2y = 1 + e-2x
òÅ‚
y(0) = 0
ôÅ‚
ół
y (0) = 1
1
sin 2x
5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki dx wykorzystując trzy początkowe
x
0
wyrazy szeregu Maclaurina funkcji y = sin x .
"

(-1)n
(Wskazówka: sin x = x2n+1 )
(2n + 1)!
n=0
1
6. Rozwiązać układ równań

‹ = y + t
Ź = x - t
2