Egzamin z Analizy 1, 4 II 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne:
Zadanie Odp.
6n3 + 2n
"
1. Obliczyć granicę: lim 3
n"
1 + 4n6 + n2
RozwiÄ…zanie:
2 2
6n3 + 2n n3(6 + ) 6 +
n5 n5
"
lim = lim = lim =
n" 1 1 1
1 + 4n6 + n2 n" n3(n + 4 + n4 ) n" 1 + 4 + n4
3
n3
6 + 0
"
= 3
0 + 4 + 0
ln x
2. Obliczyć granicÄ™ lim " -"
x0+ 3 x
RozwiÄ…zanie:
ln x -"
"
lim = = -"
x0+ 3 x 0+
15
3. Obliczyć drugą pochodną f (2) jeżeli f(x) = (2x + 2) ln(3x - 4) -
2
RozwiÄ…zanie:
2x + 2 6x + 6
f (x) = 2 ln(3x - 4) + · 3 = 2 ln(3x - 4) +
3x - 4 3x - 4
2 6(3x - 4) - (6x + 6) · 3 6 -42
f (x) = · 3 + = +
3x - 4 (3x - 4)2 3x - 4 (3x - 4)2
6 -42 15
f (2) = + == -
6 - 4 (6 - 4)2 2

6x
4. Obliczyć całkę nieoznaczoną dx 3 ln |x2 + 4| + C
x2 + 4
RozwiÄ…zanie:

6x 3
dx = {t = x2 + 4 ; dt = 2x dx} = dt = 3 ln |t| + C =
x2 + 4 t
3 ln |x2 + 4| + C
1
72
5. Obliczyć całkę Riemanna dx 5
(x + 2)3
0
RozwiÄ…zanie:
1 3
72
dx = {t = x + 2 ; dt = dx ; t(0) = 2 ; t(1) = 3} = 72t-3 dt =
(x + 2)3
0 2
3
72t-2 -36 3 -36 36
= = + = -4 + 9 = 5
-2 t2 2 9 4
2
1
2. Dla jakich wartości parametrów a, b funkcja f : (-" , ") R jest ciągła?
Å„Å‚

x+1 1
ôÅ‚
ôÅ‚
a( - ) dla x > 0
ôÅ‚
x2 x
ôÅ‚
òÅ‚
b dla x = 0
f(x) =
ôÅ‚
cos 2x - 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
dla x < 0
ół
ln(1 + x2) + x4
RozwiÄ…zanie:
Funkcja jest ciągła dla x = 0 . Funkcja będzie ciągła w punkcie x = 0 , gdy:

lim f(x) = lim f(x) = f(0)
x0+ x0-
f(0) = b
"

x + 1 - 1 x + 1 - 1 1
x+1 1
" "
lim f(x) = lim a( - ) = a lim = a lim = a lim =
x0+ x0+ x2 x x0+ x x0+ x0+
x( x + 1 + 1) x + 1 + 1
a
2

0 0
0 0
cos 2x - 1 -2 sin 2x -4 cos 2x
lim f(x) = lim lim lim =
x0- x0- ln(1 + x2) + x4 = x0- 2x + 4x3 = x0- 2(1+x2)-2x·2x
+ 12x2
1+x2
(1+x2)2
H H
-2
Dostajemy równanie:
a
b = = -2
2
Odpowiedz
:
Funkcja jest ciągła, gdy:
a = -4 , b = -2
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i globalne funkcji
x2
f(x) =
ex
RozwiÄ…zanie:
DziedzinÄ… funkcji jest:
D = (-", ")
Badamy monotoniczność funkcji rozwiązując nierówność f (x) > 0 :
f (x) = 2xe-x - x2e-x
Rozwiązujemy nierówność f (x) > 0 .
(-x2 + 2x)e-x > 0
-x(x - 2) > 0
x " (0, 2)
Wniosek:
Funkcja f(x) jest rosnÄ…ca przedziale < 0 , 2 > ,
malejÄ…ca na przedziale (-" , 0 >,
maleÄ…ca na przedziale < 2 , ") ,
W punkcie x = 0 jest więc minimum lokalne,
w punkcie x = 2 jest więc maksimum lokalne.
Aby sprawdzić, czy x = 0 jest minimum globalnym obliczamy:
f(0) = 0

" "
"0
x2 x2 "0 2x 2 2
lim f(x) = lim = lim lim lim = = 0
x" x" x" x" x"
ex ex = ex = ex "
H H
Ponieważ f(0) = lim f(x) więc x = 0 nie jest minimum globalnym.
x"
Aby sprawdzić, czy x = 2 jest maksimum globalnym obliczamy:
f(2) = 4e-2
lim f(x) = lim x2e-x = " · " = "
x-" x-"
Ponieważ f(2) < lim f(x) więc x = 2 nie jest maksimum globalnym.
x-"
Odpowiedz
:
Funkcja ma:
minimum lokalne w punkcie x = 0,
minimum globalne w punkcie x = 0 o wartości f(0) = 0,
maksimum lokalne w punkcie x = 2,
nie ma maksimum globalnego
3

4. Znalez
ć różniczkowalną funkcję F :< 0 , ") R taką, że F (x) = 2x2 sin x oraz
F (0) = 0
RozwiÄ…zanie:
Funkcja F (x) jest funkcjÄ… pierwotnÄ… funkcji f(x) = 2x2 sin x . Obliczamy:


f(x) = 2x2 g (x) = sin x
F (x) = 2x2 sin x dx = = -2x2 cos x- 4x(- cos x) dx =
f (x) = 4x g(x) = - cos x

-2x2 cos x + 4 x cos x dx
Całkujemy jeszcze raz przez części.


f(x) = x g (x) = cos x
I = x cos x dx == = x sin x - sin x dx = x sin x -
f (x) = 1 g(x) = sin x
(- cos x) + C = x sin x + cos x + C =
StÄ…d:
F (x) = -2x2 cos x + 4x sin x + 4 cos x + C
Podstawiamy F do równania: F (0) = 0
F (0) = 0 + 0 + 4 + C = 0 =Ò! C = -4
Odpowiedz
:
F (x) = -2x2 cos x + 4x sin x + 4 cos x - 4
4
5. Obliczyc pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = 3x2 oraz
6
y =
1 + x2
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
Å„Å‚
y = 3x2
òÅ‚
6
ół
y =
1 + x2
6
3x2 =
1 + x2
x4 + x2 - 2 = 0
t = x2
t2 + t - 2 = 0
t1 = 1 , t2 = -2
x2 = 1 =Ò! x = Ä…1
x2 = -2 =Ò! brak rozwiÄ…zaÅ„
6
Krzywa y = leży powyżej krzywej y = 3x2 dla x " (-1, 1)
1 + x2
Pole obszaru jest równe:
1
6
S = - 3x2 dx
1 + x2
-1
Obliczamy całkę:

1 1 1
6 6
S = - 3x2 dx = 2 - 3x2 dx = 2 6 arc tg x - x3 =
1 + x2 1 + x2
0
-1 0
2(6 arc tg 1 - 1) = 3Ä„ - 2
Odpowiedz
:
S = 3Ä„ - 2
5
6. Obliczyć całkę niewłaściwą
"

1
" " dx
x x + 4x + 3 x
1
RozwiÄ…zanie:
"
b
1 1
I = " " dx = lim " " dx
b"
x x + 4x + 3 x x x + 4x + 3 x
1 1
b
1
Całkę Ib = " " dx obliczamy przez podstawienie:
x x + 4x + 3 x
1
"
"
{t = x =Ò! x = t2 ; dx = 2t dt ; t(1) = 1 ; t(b) = b}
" "
b b

2t 2
Ib = dt = dt
t3 + 4t2 + 3t t2 + 4t + 3
1 1
Rozkładamy mianownik na czynniki:
t2 + 4t + 3 = (t + 1)(t + 3)
Funkcję wymierną rozkładamy na ułamki proste:
2 A B
= +
(t + 1)(t + 3) t + 1 t + 3
2 = A(t + 3) + B(t + 1)
Podstawiamy t = -1 , stÄ…d 2A = 2 =Ò! A = 1
Podstawiamy t = -3 , stÄ…d -2B = 2 =Ò! B = -1
"
b
"b

" "
1 1
Ib = - dt = ln |t+1|-ln |t+3| = ln | b+1|-ln | b+3|-ln 2+ln 4 =
t + 1 t + 3
1
"1

b + 1

"
ln + ln 2

b + 3
Obliczamy granicÄ™:

"
1
"
1 +

b + 1 1 + 0

b

"
I = lim ln + ln 2 = ln 2 + lim ln = ln 2 + ln = ln 2

3

"
b" b"
1 + 1 + 0
b + 3
b
Odpowiedz
:
I = ln 2
6