Egzamin z Algebry, 3 II 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
"
1 Wyznaczyć moduł i argument główny liczby zespolonej z , jeżeli z = 1 + i . |z| = 2
7Ä„
RozwiÄ…zanie: Arg z =
4
z = 1 - i

"
|z| = 12 + (-1)2 = 2
1 1
" "
cos Õ = , sin Õ = - =Ò! Õ = -Ä„ + 2kÄ„ , k " Z
4
2 2
7Ä„
Arg z "< 0, 2Ä„) =Ò! Arg z =
4
2 Dla jakiej wartości parametru p " R macierz p = -2

îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 -1
ïÅ‚ śł
A = 1 2 0 ûÅ‚
ðÅ‚
-1 p 0
jest nieosobliwa?
RozwiÄ…zanie:


1 1 -1


detA = 1 2 0 = 0 + 0 - p - (2 + 0 + 0) = -p - 2


-1 p 0
-p - 2 = 0 =Ò! p = -2

y-1
x z
3 Napisać w postaci kierunkowej równanie prostej = =
1 -2 1
2x + y - 1 = 0
l :
x + y + z = 0
RozwiÄ…zanie:
x = t
y - 1
2x + y - 1 = 0 =Ò! 2t + y - 1 = 0 =Ò! y = -2t + 1 =Ò! t =
-2
x + y + z = 0 =Ò! t - 2t + 1 - 1 = 0 =Ò! z = t
4 Wyznaczyć półosie elipsy: 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0 . a = 3 , b = 2
RozwiÄ…zanie:
4(x - 1)2 - 4 + 9(y - 2)2 - 36 + 4 = 0 =Ò! 4(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36 =Ò!
(x - 1)2 (y - 2)2
+ = 1
9 4
" "
a = 9 = 3 , b = 4 = 2 półosie elipsy
5 Napisać równanie sfery o środku w punkcie S(4, 3, 2) stycznej do płaszczyzny (x - 4)2 + (y -
3)2+(z-2)2 = 4
xOy
RozwiÄ…zanie:
R = 2 odległość S odpłaszczyzny xOy
(x - 4)2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 4 równanie sfery
1
2. Wzynaczyć wszystkie liczby zespolone z , dla których macierz
îÅ‚ Å‚Å‚
1 z2 1
ïÅ‚ śł
A = z 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
0 0 1
ma macierz odwrotną. Wyznaczyć A-1 dla z = -1 .
RozwiÄ…zanie:
Macierz A ma macierz odwrotnÄ…, gdy |A| = 0



1 z2 1


|A| = z 1 1 = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - z3 = -z3 + 1


0 0 1
Roazwiązujemy równanie:
"
3
z3 - 1 = 0 =Ò! z3 = 1 =Ò! z = 1
1 = 1(cos 0 + i sin 0) postać trygonometryczna
0 + 2kĄ 0 + 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
z0 = cos 0 + i sin 0 = 1
"
2Ä„ 2Ä„ Ä„ Ä„ 1 3
z1 = cos + i sin = - cos + i sin = - + i
3 3 3 3 2 2
"
4Ä„ 4Ä„ Ä„ Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - cos - i sin = - - i
3 3 3 3 2 2
Odpowiedz
: a)
" "
1 3 1 3
Macierz A ma macierz odwrotnÄ… gdy z " C \ 1 , + i , - i
2 2 2 2
Punkt b):
Dla z = -1 mamy:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 1
ïÅ‚ śł
A = -1 1 1 ûÅ‚
ðÅ‚
0 0 1
oraz |A| = 2
Macierz dopełnień algebraicznych:
îÅ‚ Å‚Å‚
1 1 0
ïÅ‚ śł
Ad = -1 1 0 ûÅ‚
ðÅ‚
0 -2 2
îÅ‚ Å‚Å‚
1 -1 0
T
ïÅ‚ śł
Ad = 1 1 -2 ûÅ‚
ðÅ‚
0 0 2
Odpowiedz
: b)
îÅ‚ Å‚Å‚
1
-1 0
T 2 2
1
ïÅ‚ śł
1 1
A-1 = Ad = ðÅ‚ -1 ûÅ‚
2 2
|A|
0 0 1
2
3. Dla jakich wartości parametru p " R układ równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - p)x + y + 2z = 0
(2
òÅ‚
2x + (1 - p)y + 2z = 0
ôÅ‚
ół
2x + y + (2 - p)z = 0
ma rozwiÄ…zania niezerowe?
RozwiÄ…zanie:
Układ jednorodny ma zawsze rozwiązanie zerowe. Układ będzie miał rozwiązania nie-
zerowe, gdy rządy macierzy A będzie mniejszy od 3, czyli gdy wyznacznik |A| = 0
Obliczamy:


2 - p 1 2 -p 1 2 -1 1 2



|A| = 2 1 - p 2 = {k1 = k1-k3} = 0 1 - p 2 = p 0 1 - p 2 =


2 1 2 - p p 1 2 - p 1 1 2 - p


p -(1 - p)(2 - p) + 0 + 2 - 2(1 - p) - 2 + 0 = p(-2 + 3p - p2 + 2 - 2 + 2p + 2) =
p(-p2 + 5p) = p2(5 - p)
p2(5 - p) = 0
p1 = 0
p2 = 5
Odpowiedz
:
Układ ma niezerowe rozwiązania dla:
p = 0 lub p = 5
3
4. Wyznaczyć kosinusy kątów jakie tworzy prosta

x - 2y + z = 0
l :
2x + y - z = 0
z osiami układu współrzędnych.
RozwiÄ…zanie:
- -

n = [1, -2, 1] , n = [2, 1, -1] wektory normalne płaszczyzn
1 2
wektor normalny kierunkowy prostej l jest równy:


i j k

- - -

v = n × n = 1 -2 1 = [1, 3, 5]
1 2


2 1 -1
vx 1 1
" "
cos Ä… = = =
-
||
v
12 + 32 + 52 35
vy 3
"
cos ² = =
-
||
v
35
vz 5
"
cos Å‚ = =
-
||
v
35
Odpowiedz
:
1 3 5
" " "
cos Ä… = , cos ² = , cos Å‚ =
35 35 35
4
5. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 2, 1) i przecinającęj dwie
proste
x - 1 y + 3 z - 1 x - 2 y - 2 z
l1 : = = , l2 : = =
1 -2 2 2 1 3
RozwiÄ…zanie:
Przez punkt A i prostą l1 prowadzimy płaszczyznę Ą . Następnie szukamy punktu B
przecięcia płaszczyzny Ą i prostej l2 . Szukana prosta to prosta AB .
Wybieramy dowolny punkt prostej l1 np. C(1, -3, 1) .
-

Wektor kierunkowy prostej l1 jest równy v = [1, -2, 2]
1
-

- -

Wektor normalny n płaszczyny Ą jest prostpadły do wektorów v i AC . Ponieważ
1
jego długość jest nieistotna, więc możemy przyjąć:
-

- -

n = v × AC
1
-

AC = [0, -5, 0]


i j k

-

n = 1 -2 2 = [10, 0, -5]


0 -5 0
Równanie płaszczyny Ą :
10x - 5z + D = 0
A " Ä„ =Ò! 10 - 5 + D = 0 =Ò! D = -5
stÄ…d:
Ä„ : 10x - 5z - 5 = 0 =Ò! Ä„ : 2x - z - 1 = 0
Szukamy punktu przecięcia B(x, y, z) płaszczyzny Ą i prostej l2:
x - 2 y - 2
= =Ò! x - 2 = 2y - 4 =Ò! x - 2y + 2 = 0
2 1
y - 2 z
= =Ò! 3y - 6 = z =Ò! 3y - z - 6 = 0
1 3
Å„Å‚
ôÅ‚ - z - 1 = 0
2x
òÅ‚
x - 2y + 2 = 0
ôÅ‚
ół
3y - z - 6 = 0
x = 2y -2 , z = 3y -6 =Ò! 4y -4-3y +6-1 = 0 =Ò! y = -1 =Ò! x = -4 , z = -9
B(-4, -1, -9)
-
Wketor kierunkowy szukanej prostej: AB = [-5, -3, -10] jest równoległy do wektora
[5, 3, 10]
Odpowiedz
:
Równanie szukanej prostej:
x - 1 y - 2 z - 1
= =
5 3 10
5
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do sfery (x + 1)2 + (y - 5)2 + (z + 2)2 = 36
i równoległych do płaszczyny Ą : 12x - 3y + 4z - 8 = 0 .
RozwiÄ…zanie:
Środek sfery jest w punkcie O(-1, 5, -2) , a jej promień R = 6 .
Rónanie płaszczyzny Ą1 równoległej do płaszczyzny Ą ma postać:
Ä„1 : 12x - 3y + 4z + D = 0
Płaszczyzna Ą1 jest styczna do sfery gdy odległość d środka sfery O od Ą1 jest równa
promieniowi sfery.
d = R
| - 12 - 15 - 8 + D| |D - 35| |D - 35|
"
d = = =
122 + (-3)2 + 42 13
169
|D - 35|
= 6 =Ò! |D - 35| = 78 =Ò! D - 35 = Ä…78
13
D1 = 35 + 78 = 113
D1 = 35 - 78 = -43
Odpowiedz
:
Szukane płaszczyzny:
Ä„1 : 12x - 3y + 4z + 113 = 0
Ä„2 : 12x - 3y + 4z - 43 = 0
6