Egzamin z Algebry, 10 II 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 Obliczyć (1 + i)4 -4
RozwiÄ…zanie:
"
Ä„ Ä„
1 + i = 2(cos + i sin )
4 4
(1 + i)4 = 4(cos Ä„ + i sin Ä„) = -4
2 Rozwiązać równanie x1 = 3


x2 4 9
x2 = 2


x 2 3 = 0


1 1 1
RozwiÄ…zanie:


x2 4 9


x 2 3 = 2x2 + 12 + 9x - (18 + 3x2 + 4x) = -x2 + 5x - 6 = 0


1 1 1
-5 Ä… 1
" = 1 =Ò! x =
-2
3 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P (7 , -5 , 1) , x+y+z-3 = 0
która odcina na osiach współrzędnych równe odcinki dodatnie.
RozwiÄ…zanie:
Ą : x + y + z + D = 0 płaszczyzna odcinająca równe odcinki
P " Ä„ =Ò! 7 - 5 + 1 + D = 0 =Ò! D = -3
4 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty P (3, 0) i Q(9, 0) (x - 6)2 + (y -
4)2 = 25
, którego środek leży na prostej y = 4 .
RozwiÄ…zanie:
x = 6 symetralna odcinka P Q
S(6, 4) środek okręgu

R = P S = 32 + (-4)2 = 5 promień okręgu
(x - 6)2 + (y - 4)2 = 25 równanie okręgu
- - - -

5 Dla jakich wartoÅ›ci parametru p wektor w = u × v , gdzie u = [1, 1, 1] , p = 0
-

v = [0, 1, p] jest równoległy do osi Oz ?
RozwiÄ…zanie:


i j k

-

w = 1 1 0 = [p, -p, 1]


0 1 p
[p, -p, 1] [0, 0, 1] Ð!Ò! p = 0
1
2. Rozwiązać równanie: z3 + z2 + z + 1 = 0 , z " C
RozwiÄ…zanie:
z2(z + 1) + z + 1 = 0
(z + 1)(z2 + 1) = 0 =Ò! z + 1 = 0 lub z2 + 1 = 0
z + 1 = 0 =Ò! z = -1
z2 + 1 = 0 =Ò! z2 = -1 =Ò! z = Ä…i
Odpowiedz
:
z1 = -1 , z2 = i , z3 = i
2
3. Obliczyć wyznacznik


1 -1 1 -1


1 i -1 -1



1 1 1 1


1 2 4 8
RozwiÄ…zanie:


1 -1 1 -1 0 -1 1 -1


1 i -1 -1 0 i -1 -1

9
= {k1 = k1 + k4} = = {w4 = w4 - w3} =
2

1 1 1 1 2 1 1 1


1 2 4 8 9 2 4 8


0 -1 1 -1

-1 1 -1

0 i -1 -1

= {Rozw. Laplace a wzglÄ™dem k1} = 2·(-1)3+1 i -1 -1 =


2 1 1 1

-5 -1 7

2 2 2
0 -5 -1 7
2 2 2


-1 1 -1



{w3 = 2w3} = i -1 -1 = 7 + 5 + i - (-5 - 1 + 7i) = 18 - 6i


-5 -1 7
Odpowiedz
:
Wyznacznik jest równy: 18 - 6i
3
4. Dla jakiej wartości D prosta

x + y - z + 2 = 0
l :
2x - y + z + D = 0
przecina oÅ› Ox ?
RozwiÄ…zanie:
Punkt leżący na osi Ox ma współrzędne: P (x, 0, 0) .
Ponieważ P " l więc:
x + y - z + 2 = 0 =Ò! x + 2 = 0 =Ò! x = -2
2x - y + z + D = 0 =Ò! -4 + D = 0 =Ò! D = 4
Odpowiedz
:
Prosta przecina oÅ› Ox dla D = 4
4
5. Wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez punkt A(1, 0, -1), równoległej do
płaszczyzny Ą : 3x - 2y - 3z + 3 = 0 i przecinającej prostą
x - 2 y - 1 z + 2
l : = = .
1 -2 2
RozwiÄ…zanie:
Niech B(x, y, z) będzie punktem przecięcia prostej l i szukanej l1
Å„Å‚
ôÅ‚ x = t + 2
òÅ‚
B " l =Ò! y = -2t + 1
ôÅ‚
ół
z = 2t - 2
- -

- -

l1 Ä„ =Ò! AB Ä„" n =Ò! AB ć% n = 0
-

AB = [t + 1 , -2t + 1 , 2t - 1]
-

n = [3 , -2 , -3]
3(t + 1) - 2(-2t + 1) - 3(2t - 1) = 0 =Ò! t + 4 =Ò! t = -4
stÄ…d:
-

AB = [-3 , 9 , -9] [-1, 3, -3]
-

Wektor AB jest wektorem kierunkowym prostej.
Å„Å‚
ôÅ‚ -t + 1
x =
òÅ‚
l1 : y = 3t
ôÅ‚
ół
z = -3t - 1
Odpowiedz
:
Równanie szukanej prostej:
Å„Å‚
ôÅ‚ -t + 1
x =
òÅ‚
l1 : y = 3t
ôÅ‚
ół
z = -3t - 1
5
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do sfery x2+y2+z2-10x+2y+26z-30 = 0
i równoległych do prostych
x + 5 y - 1 z + 13 x + 7 y + 1 z - 8
= = oraz = =
2 -3 2 3 -2 0
RozwiÄ…zanie:
- -

Ä„ l =Ò! n Ä„" v
Wektor normalny płaszczyzny jest więc prostopadły do obu wektorów kierunkowych
prostych, czyli:
- - -

n = v × v
1 2
v1 = [2 , -3 , 2] , v2 = [3 , -2 , 0]


i j k

- -

v × v = 2 -3 2 = [4, 6, 5]
1 2


3 -2 0
Równanie płaszczyzny Ą ma postać:
Ä„ : 4x + 6y + 5z + D = 0
Płaszczyzna Ą jest styczna do sfery gdy odległość d środka sfery O od Ą jest równa
promieniowi sfery.
x2+y2+z2-10x+2y+26z-30 = 0 =Ò! (x-5)2-25+(y+1)2-1+(z+13)2-169-30 =
0 =Ò! (x - 5)2 + (y + 1)2 + (z + 13)2 = 225
"
Środek sfery jest w punkcie O(5, -1, -13) , a jej promień R = 225 = 15
|20 - 6 - 65 + D| |D - 51|
" "
d = =
42 + 62 + 52 77
" "
|D - 51|
"
= 15 =Ò! |D - 51| = 15 77 =Ò! D - 51 = Ä…15 77
77
"
D1 = 51 + 15 77
"
D2 = 51 - 15 77
Odpowiedz
:
Szukane płaszczyzny:
"
Ä„1 : 4x + 6y + 5z + 51 + 15 77 = 0
"
Ä„2 : 4x + 6y + 5z + 51 - 15 77 = 0
6