Egzamin z Algebry, 11 2013 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Nr Zadanie Odp.
1 i
1 Rozwiązać równanie (1 + i)z = i , z " C +
2 2
RozwiÄ…zanie:
i i(1 - i) i + 1
z = = =
1 + i (1 + i)(1 - i) 2
2 Dla jakich wartości parametru p układ równań ma rozwiązania niezerowe 0
Å„Å‚
ôÅ‚ px +y +z = 0
òÅ‚
y +z = 0
ôÅ‚
ół
x +z = 0
RozwiÄ…zanie:


p 1 1


|A| = 0 1 1 = p + 1 - 1 = p


1 0 1
|A| = 0 =Ò! p = 0
3 Dla jakiej wartości parametru m wektor w = [1, 2, 3 - m] jest prostopadły 3

x - y = 0
do prostej l :
x + y = 0
RozwiÄ…zanie:
l : x = 0 , y = 0 , z = t =Ò!
v = [0, 0, 1] wektor kierunkowy prostej l
w · v = 3 - m = 0 =Ò! m = 3
4 Wyznaczyć równanie okręgu przechodzącego przez punkty P (1, 0) i Q(5, 0) (x-2)2 +(y -
, którego środek leży na prostej y = 2. 2)2 = 8
RozwiÄ…zanie:
1 + 5
xs = = 3 środek okręgu leży na symetralnej odcinka P Q
2
(x - 3)2 + (y - 2)2 = R2 równanie okręgu
(1 - 2)2 + (0 - 2)2 = R2 =Ò! R2 = 8 punkt P leży na okrÄ™gu
5 Wyznaczyć punkt P symetryczny względem początku układu współrzęd- P (1, 1, 1)
nych do środka sfery o równaniu x2 + y2 + z2 + 2x + 2y + 2z - 9 = 0 .
RozwiÄ…zanie:
równanie sfery: (x + 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 12
środek sfery: Q(-1, -1, -1)
punkt symetryczny do Q: P (1, 1, 1)
1
2. Rozwiązać równanie z7 + 2z4 + z = 0 , z " C .
RozwiÄ…zanie:
z(z6 + 2z3 + 1) = 0
z(z3 + 1)2 = 0
z = 0 lub
"
3
z3 + 1 = 0 =Ò! z = -1
Zapisujemy liczbÄ™ pod pierwiastkiem w postaci trygonometrycznej:
-1 = 1 · (cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = cos + i sin , k = 0, 1, 2
3 3
"
Ä„ Ä„ 1 3
z0 = cos + i sin = + i
3 3 2 2
3Ä„ 3Ä„
z1 = cos + i sin = -1
3 3
"
5Ä„ 5Ä„ 1 3
z2 = cos + i sin = - i
3 3 2 2
Odpowiedz
:
Rozwiązania równania:
" "
1 3 1 3
z0 = + i , z1 = -1 , z2 = - i , z3 = 0
2 2 2 2
2
3. Obliczyć niewiadomą z stosując wzory Cramera do układu równań
Å„Å‚
x + z + 4t = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
x + 2y + 4z - t = 4
ôÅ‚
4x + 2t = 3
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
3x + 2z + t = 2
RozwiÄ…zanie:
Wzór Cramera:
|A3|
z =
|A|
Obliczamy


1 0 1 4

1 1 4

1 2 4 -1 {Rozw. Laplace a k2}

|A| = 2 · (-1)4 · 4 0 2 =

4 0 0 2 =

3 2 1

3 0 2 1
2(6 + 32 - 4 - 4) = 60


1 0 0 4

1 0 4

1 2 4 -1 {Rozw. Laplace a k2}

|A3| = 2 · (-1)4 · 4 3 2 =

4 0 3 2 =

3 2 1

3 0 2 1
2(3 + 32 - 36 - 4) = -10
-10 1
z = = -
60 6
Odpowiedz
:
1
z = -
6
3
4. Wyznaczyć punkt P symetryczny do punktu Q(5, 2, -1) względem płaszczyzny
Ä„ : 2x - y + 3z + 23 = 0
RozwiÄ…zanie:
-
-
Szukamy wektora QQ , gdzie Q (x, y, z) jest rzutem punktu Q na płaszczyznę Ą.
-
-
Wektor QQ = [x - 5, y - 2, z + 1] jest równoległy do wektora normalnego płaszczyzny
-

n = [2, -1, 3]
-
-
-
QQ = k
n
[x - 5, y - 2, z + 1] = k[2, -1, 3]
x = 2k + 5 , y = -k + 2 , z = 3k - 1
Q " Ä„ =Ò! 2(2k + 5) - (-k + 2) + 3(3k - 1) + 23 = 0 =Ò! 14k + 28 = 0 =Ò! k = -2
-
-
QQ = [-4, 2, -6]
Punkt P symetryczny do Q względem płaszczyzny znajdujemy z zależności:
-
- -
QP = 2QQ
-
QP = [-8, 4, -12] =Ò!
P = (5 - 8 , 2 + 4 , -1 - 12) = (-3, 8, -13)
Odpowiedz
:
Punkt symetryczny do Q : P = (-3, 8, -13)
4
x + 1 y - 2 z - 1
5. Wyznaczyć punkt przecięcia prostej l : = = z płaszczyzną
2 1 -1
Ä„ : 3x - 2y + z - 3 = 0
RozwiÄ…zanie:
Postać parametryczna równania prostej:
Å„Å‚
ôÅ‚ x = 2t - 1
òÅ‚
l : y = t + 2 , t " R
ôÅ‚
ół
z = -t + 1
Podstawiamy te równania do równania płaszczyzny
3(2t - 1) - 2(t + 2) + (-t + 1) - 3 = 0
3t - 9 = 0 =Ò! t = 3
P (5, 5, -2)
Odpowiedz
:
Szukany punkt przecięcia:
P (5, 5, -2)
5
6. Wyznaczyć równania płaszczyzn stycznych do sfery (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 3
i prostopadłych do prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i środek
sfery.
RozwiÄ…zanie:
"
Środek sfery jest w punkcie S(1, 1, 1) , jej promień R = 3 .
-

Wektor kierunkowy prostej: OS = [1, 1, 1] .
Płaszczyzna styczna do sfery jest prostopadła do tej prostej. Jej wektor normalny jest
-

więc równy n = [1, 1, 1] .
x + y + z + D = 0 równanie płaszczyzny stycznej
Odległość środka sfery od płaszczyzny stycznej jest równa R .
"
|1 + 1 + 1 + D|
"
= 3
3
|D + 3| = 3
D + 3 = Ä…3
D1 = 0 , D2 = -6
Odpowiedz
:
Szukana płaszczyzny:
Ä„1 : x + y + z = 0
Ä„2 : x + y + z - 6 = 0
6