Egzamin z Analizy 1, 7 II 2007 godz. 12.00
1. Wyznaczyć m tak, aby funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚ e-2x dla x 0
òÅ‚
f(x) = 1 dla 0 < x 1
ôÅ‚
ół
ln x + m dla x > 1
była ciągła. Po wyznaczeniu m naszkicować tę funkcję.
RozwiÄ…zanie:
Funkcja jest ciągła na zbiorze(-", 0) *" (0, 1) *" (1, "). Pozostaje sprawdzić ciągłość
dla x = 0 i dla x = 1
Dla x = 0
f(0) = e0 = 1
lim f(x) = lim e-2x = 1
x0- x0-
lim f(x) = lim 1 = 1
x0+ x0+
Ponieważ 1 = 1 = 1 więc funkcja jest ciągła w x = 0
Dla x = 1
f(1) = 1
lim f(x) = lim 1 = 1
x1- x1-
lim f(x) = lim ln x + m = m
x1+ x1+
A więc funkcja jest ciągła w x = 1 gdy 1 = 1 = m a więc dla m = 1
x - 1
2. Dla funkcji f(x) = wyznaczyć wzór Maclaurina, n = 4
x + 1
RozwiÄ…zanie:
Wzór Maclaurina dla n=4:
f (0)x f (0)x2 f (0)x3
f(x) = f(0) + + + + R4
1! 2! 3!
fIV (¸x)x4
R4 = , gdzie 0 < ¸ < 1
4!
f(0) = -1
x + 1 - x + 1 2
f (x) = = = 2(x + 1)-2 , f (0) = 2
(x + 1)2 (x + 1)2
f (x) = -4(x + 1)-3 , f (0) = -4
f (x) = 12(x + 1)-4 , f (0) = 12
fIV (x) = -48(x + 1)-5
StÄ…d:
x x2 x3
y(x) = -1 + 2 - 4 + 12 + R4 = -1 + 2x - 2x2 + 2x3 + R4
1! 2! 3!
gdzie
x4
R4 = -48(1 + ¸x)-5 = -2(1 + ¸x)-5x4
4!
3. Sformułować jedną z wersji twierdzenia de l Hospitala i obliczyć granicę
e3x + e-3x - 2
lim
x0
x2
RozwiÄ…zanie
e3x + e-3x - 2 0
lim =
x0
x2 0
Stosujemy regułę de l Hospitala 2 razy
e3x + e-3x - 2 3e3x - 3e-3x 9e3x + 9e-3x
lim = lim = lim = 9
x0 x0 x0
x2 2x 2
x2 + x - 2
4. Wyznaczyć asymptoty i ekstrema funkcji f(x) =
x - 2
RozwiÄ…zanie:
Szukamy dziedziny f(x)
D = (-", 2) *" (2, ")
Asymptota pionowa może być w punkcie x = 2. Sprawdzamy:
x2 + x - 2 4
lim = = -"
x2- x - 2 0-
x2 + x - 2 4
lim = = +"
x2+ - 2 0+
x
Funkcja ma więc asymptotę pionową obustronną w x = 2
Sprawdzamy, czy jest asympota ukośna y = ax + b w +"
1 2
x2 + x - 2 1 + -
f(x)
x x2
a = lim = lim = lim = 1
2
x
x" x" x"
x2 - 2x 1 -
x
2
x2 + x - 2 3x - 2 3 -
x
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim = lim = 3
2
x" x" x" x"
x - 2 x - 2 1 -
x
A więc funkcja ma w +" asymptotę ukośną o równaniu y = x + 3
Sprawdzamy, czy jest asympota ukośna y = ax + b w -"
1 2
x2 + x - 2 1 + -
f(x)
x x2
a = lim = lim = lim = 1
2
x
x-" x-" x-"
x2 - 2x 1 -
x
2
x2 + x - 2 3x - 2 3 -
x
b = lim (f(x) - ax) = lim ( - x) = lim = lim = 3
2
x-" x-" x-" x-"
x - 2 x - 2 1 -
x
A więc funkcja ma w +" asymptotę ukośną o równaniu y = x + 3
Szukamy ekstremów:
Badamy znak pierwszej pochodnej:
(2x + 1)(x - 2) - (x2 + x - 2) x2 - 4x
f (x) = =
(x - 2)2 (x - 2)2
x2 - 4x
> 0
(x - 2)2
x2 - 4x > 0
x(x - 4) > 0
x1 = 0 , x2 = 4
A więc
f (x) > 0 dla x " (-", 0) *" (4, ")
f (x) < 0 dla x " (0, 4) )" D
Czyli funkcja ma minimum lokalne w x = 4 i maksimum lokalne w x = 0
5. Wymienić 4 własności całki oznaczonej. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzy-
wymi y = 4 - x2 , y = x2 - 2x . Sporządzić rysunek obszaru D .
RozwiÄ…zanie:
Szukamy punktów przecięcia krzywych:
4 - x2 = x2 - 2x
2x2 - 2x - 4 = 0
x2 - x - 2 = 0
" = 9
x1 = -1 , x2 = 2
Na przedziale < -1, 2 > krzywa y = 4 - x2 leży nad krzywą y = x2 - 2x . Pole obszaru
jest więc równe:
2 2 2
2 16
S = 4 - x2 - (x2 - 2x) dx = -2x2 + 2x + 4 dx = - x3 + x2 + 4x = - +
3 3
-1
-1 -1
2
4 + 8 - ( + 1 - 4) = 9
3
"
8
6. Obliczyć długość łuku krzywej y = x x między punktami (0, 0) , (4, )
9 27
RozwiÄ…zanie:
Długość łuku jest równa:
4
9

l = 1 + (y )2 dx
0
"
3
3
2
y = (x ) = x
2
4
9
9
l = 1 + x dx
4
0
Całkujemy przez podstawienie:
Å„Å‚ üÅ‚
9
t = 1 + x
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ 4 ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚ 9 żł
dt = dx
4
ôÅ‚ ôÅ‚
t = 1 dla x = 0
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
4
t = 2 dla x =
9
2 2
" "
4 4 2 3 8
2
l = t dt = t = (2 2 - 1)
9 9 3 27
1
1