Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2010 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
1.1 Wyznaczyć równanie różniczkowe liniowe jednorodne o stałych współczynnikach
postaci y + py + qy = 0 , jeżeli r1 = -i jest pierwiastkiem jego równania
charakterystycznego.
1.2 Czy funkcje, że y1 = ex , y2 = ex+1 stanowią układ fundamentalny rozwiązań
pewnego równania różniczkowego liniowego jednorodnego rzędu 2? Odpowiedz

uzasadnić.
"

(2x)n
1.3 Wyznaczyć sumę szeregu dla x = 1 .
n!
n=0
1.4 Wyznaczyć płaszczyznę normalną do krzywej o równaniu:
= [cos t, sin t, t] w punkcie odpowiadającym wartości parametru t = Ą
r
1.5 Dla jakiej wartości parametru a " R suma szeregu Fouriera funkcji:

0 dla x " [-Ą, -Ą ] *" [Ą , Ą]
2 2
Ą
ax dla x " (-Ą , )
2 2
Ą Ą
w punkcie x = przyjmuje wartość równą ?
2 2
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

x2y = x2 + xy + y2
f(x) =
y(1) = 1
3. Rozwiązać równanie:
y - 2xy = 2x3y2
4. Rozwiązać równanie:
y - y = -3x + 1
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego:
"

n
[3 + (-1)n] x - 1
n 2
n=1
6. Wyznaczyć szereg Maclaurina funkcji:
x
f(x) =
1 + 3x
oraz wartość f(10)(0)
1