Egzamin z Równań Różniczkowych, 22 VI 2010 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
1. Wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny krzywych xy = C , x = 0 ,C " R y + xy = 0

Rozwiązanie:
y + xy = 0 rózniczkujemy równanie rodziny krzywych
2. Dla jakiej wartości parametru p funkcje, że y1 = t , y2 = pt2 + t stanowią p = 0

układ fundamentalny rozwiązań pewnego równania różniczkowego liniowego
jednorodnego rzędu 2? Odpowiedz
uzasadnić.
Rozwiązanie:


y1 y2 t pt2 + t

W (x) = = = t(2pt + 1) - (pt2 + t) = 2pt2 = 0 =�!



y1 y2 1 2pt + 1
p = 0

"

Ą
3. Wyznaczyć sumę szeregu sinn x dla x = . 1
6
n=1
Rozwiązanie:
" "
n 1
1 2
sinn x = = = 1 suma szeregu geometrycznego
1
2 1 -
n=1 n=1
2
x - 1 y + 1 z
4. Wyznaczyć równanie stycznej do krzywej o równaniu: = =
1 1 1
-

r = [et, -e-t, t] w punkcie P (1, -1, 0)
Rozwiązanie:
Punkt P (1, -1, 0) odpoiwada wrtości parametru t = 0.
- -
(t) = [et e-t 1] , (0) = [1, 1, 1]
Ł Ł
r , , r
x - 1 y + 1 z
= = prosta styczna
1 1 1
Ą
5. Jaką wartość ma suma szeregu Fouriera funkcji:

4
x dla x " [-Ą, -Ą ] *" [Ą , Ą]
2 2
Ą
0 dla x " (-Ą , )
2 2
Ą
w punkcie x = ?
2
Rozwiązanie:
Ą

Ą f(Ą -) + f(Ą +) 0 + Ą
2 2 2
S = = =
2 2 2 4
1
2. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

y = (2x + y - 3)2 - 4x - 2y + 5
y(1) = 1
Rozwiązanie:
Podstawiamy:
z = 2x + y - 3
Wtedy:
y = z - 2x + 3
y = z - 2
Podstawiamy do równania:
z - 2 = z2 - 4x - 2z + 4x - 6 + 5
z = z2 - 2z + 1
z = (z - 1)2
Rozdzielamy zmienne:
dz
= (z - 1)2
dx
dz
= dx
(z - 1)2

dz
= dx
(z - 1)2
-1
= x + C
z - 1
-1
= x + C
2x + y - 4
Podstawiamy warunek początkowy x = 1 , y = 1 :
1 = 1 + C =�! C = 0
Stąd:
-1
= x
2x + y - 4
1
2x + y - 4 = -
x
1
y = 4 - 2x -
x
Odpowiedz
:
1
y = 4 - 2x -
x
2
3. Rozwiązać równanie:
xy + y = xy2
Rozwiązanie:
Jest to równanie Bernoulliego. Jednym z rozwiązań jest y = 0. Dzielimy obie strony
przez y2:
xy 1
+ = x
y2 y
Podstawiamy:
1 y
z(x) = , wtedy z = -
y(x) y2
1
-xz + z = x =�! z - z = -1 wstawiamy do równania
x
Jest to równanie liniowe. Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
1
z - z = 0
x
Rozdzielamy zmienne:
dz 1
= dx
z x

dz 1
= dx
z x
ln |z| = ln |x| + C
z = Cx
Rozwiązujemy równanie niejednorodne:
1
z - z = -1
x
z = C(x) � x uzmienniamy stałą
Wtedy:
z = C x + C
C x + C - C = -1 wstawiamy do równania
1
C = -
x

1
C = - dx = - ln |x| + D
x
Stąd:
z = (- ln |x| + D)x
Odpowiedz
:
1
y =
(- ln |x| + D)x
3
4. Rozwiązać równanie:
y - 2y + y = 4ex
Rozwiązanie:
Rozwiązujemy równanie liniowe jednorodne:
y - 2y + y = 0
r2 - 2r + 1 = 0 równanie charakterystyczne
(r - 1)2 = 0
r1 = r2 = 1
y = C1ex + C2xex rozwiązanie ogólne równannia liniowego jednorodnego
Szukamy rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego:
y - 2y + y = 4ex
Ponieważ r = 1 jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu charakterystyczneg, więc
rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci:
ys = Aex � x2

ys = Aex � x2 + Aex � 2x = A(x2 + 2x)ex

ys = A(2x + 2)ex + A(x2 + 2x)ex = A(x2 + 4x + 2)ex
Wstawiamy do równania:
A(x2 + 4x + 2)ex - 2A(x2 + 2x)ex + Ax2ex = 4ex
2A = 4 =�! A = 2
ys = 2ex � x2
Odpowiedz
:
y = C1ex + C2xex + 2x2ex
4
5. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego:
"

(x - 4)n
"
(2n + 3) n + 3
n=1
Rozwiązanie:
1
"
an =
(2n + 3) n + 3

"
" "
3 3

n n(2 + ) 1 +
an+1 (2n + 3) n + 3 (2n + 3) n + 3
n n
"
q = lim = lim = lim = lim =
"
n" n" 5 4
an n" (2(n + 1) + 3) (n + 1) + 3 n"
(2n + 5) n + 4
n n(2 + ) 1 +
n n

3 3
(2 + ) 1 +
n n

lim = 1
n" 5 4
(2 + ) 1 +
n n
Promień zbieżności szeregu jest równy:
1
R = = 1
q
Środek przedziału zbieżności x0 = 4 , więc szereg jest zbieżny dla x " (3, 5) ,a rozbieżny
dla x " (-", 3) *" (5, ")
Badamy zbieżność na końcach przedziału:
Dla x = 3 :
" "

(3 - 4)n (-1)n
" "
=
(2n + 3) n + 3 (2n + 3) n + 3
n=1 n=1
Badamy zbiezność szeregu:
" "


(-1)n 1

" "
=

(2n + 3) n + 3 n=1 (2n + 3) n + 3
n=1
Jest to szereg o wyrazach nieujemnych. Z kryterium porównawczego:
1 1 1
" " =

3
2n n
(2n + 3) n + 3 2
2n
Szereg:
"

1
3
jest zbieżny (szererg harmoniczny, ą = > 1)., a więcszreg potęgowy jest
3
2
2
2n
n=1
zbieżny dla x = 3 , a naewt zbiezny bezwzględnie.
Dla x = 5 :
Ponieważ szereg potęgowy jest zbieżny bezwzględnie dl x = 3 , więc jest też zbieżny
bezwzględnie dl x = 5.
Odpowiedz
:
Przedział zbieżności: < 3, 5 >
5
6. Wyznaczyć punkty, w których krzywizna krzywej K zadanej równaniami parametrycz-
nymi
ńł
�ł
x = sin t
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
1
K : y = sin2 t , t " R
2
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
�ł
ół 1
z = (t - sin t cos t)
2
- |
Ł -
�
| � r
r
-
�
osiąga wartości ekstremalne. (Krzywizna � = , lub � = || , gdy parame-
r
-
Ł
||3
r
tryzacja regularna/łukowa)
Rozwiązanie:
-
1
Ł
r = [cos t , sin t cos t , (1 - cos t cos t + sin t sin t)] = [cos t , sin t cos t , sin2 t]
2
-

�
r = [- sin t , cos t cos t - sin t sin t , 2 sin t cos t] = [- sin t , cos2 t - sin2 t , 2 sin t cos t]
Obliczamy:

-
Ł
|| = (- sin t)2 + (cos2 t - sin2 t)2 + (2 sin t cos t)2 =
r
" "
sin2 t + cos4 t + sin4 t - 2 sin2 t cos2 t + 4 sin2 t cos2 t = sin2 t + cos4 t + sin4 t + 2 sin2 t cos2 t =

"
sin2 t + (cos2 t + sin2 t)2 = sin2 t + 1
- -

Ł �
r � r = [cos t , sin t cos t , sin2 t] � [- sin t , cos2 t - sin2 t , 2 sin t cos t] =
[2 sin2 t cos2 t-sin2 t cos2 t+sin4 t , - sin3 t-2 sin t cos2 t , cos3 t-sin2 t cos t+sin2 cos t] =
[sin2 t , - sin t(1 + cos2 t) , cos3 t]

"
- -
Ł �
|�| = sin4 t + sin2 t(1 + cos2 t)2 + cos6 t = sin4 t + sin2 t + 2 sin2 t cos2 t + sin2 t cos4 t + cos6 t =
r r

"
sin4 t + sin2 t + 2 sin2 t cos2 t + cos4 t(sin2 t + cos2 t) = sin4 t + sin2 t + 2 sin2 t cos2 t + cos4 t =

"
sin2 t + (sin2 t + cos2 t)2 = sin2 t + 1
stąd:
"
sin2 t + 1 1
� = =
"
3
sin2 t + 1
sin2 t + 1
(2k+1)Ą
1
Wartości minimalne krzywizny � = są w punktach sin2 t = 1 =�! t = , a
2 2
maksymalne � = 1 są w punktach sin2 t = 0 =�! t = kĄ , k " Z
Odpowiedz
:
(2k+1)Ą
1
Krzywizna minimalna: � = dla t = ,
2 2
krzywizna maksymalna: � = 1 dla t = kĄ , k " Z .
6