Egzamin z Równań Różniczkowych, 28 VI 2012 godz. 9.00
1. Zadanie wstępne
1.1 Dla jakiej wartości parametru p " R funkcje: y = sin 3x oraz y = cos 3x są
rozwiązaniami szczególnymi równania: y + py = 0
1.2 Wyznaczyć równanie różniczkowe rodziny krzywych y2 = 2Cx + C2
"

1
1.3 Obliczyć sumę szeregu (-1)nxn dla x =
2
n=0
1.4 Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego

(x2 - 1)y + 2xy2 = 0
y(0) = 1
1.5 Jaką wartość w punkcie x = 1 ma suma szeregu Fouriera funkcji:

x dla x " [-Ä„, -1] *" [1, Ä„]
f(x) =
0 dla x " (-1, 1)
2. Rozwiązać równanie:
xy "
y + = x y
1 - x2
3. W jakim punkcie krzywizna krzywej K :
y2 = 2x - 1 osiąga wartość największą. Wyznaczyć równanie okręgu ściśle stycznego.
|ćŹ - ÿ‹|
Wskazówka: Krzywizna krzywej pÅ‚askiej jest równa: º =
"
‹2 + Ź23
4. Wykorzystując rozwinięcie funkcji podcałkowej w szereg Maclaurina wyrazić całkę
2
2
ex dx
0
za pomocą szeregu liczbowego. Obliczyć przybliżoną wartość całki wykorzystując trzy
poczÄ…tkowe wyrazy tego szeregu.
5. Rozwiązać zagadnienie początkowe:
y + 2y + 5y = 26e2x
y(0) = 5 , y (0) = 1
6. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu
"

3n
" - 1)n
(x
n
n=1
1