Egzamin z Analizy 2, 29 VI 2012 godz. 12.00
1. Zadanie wstępne
Zadanie Odp.
"2f
1. Obliczyć pochodną (P ) , gdzie f(x, y) = x ln(x2 + y) , P = (2, -3) -7
"x"y
RozwiÄ…zanie:
"f 2x 2x2
= ln(x2 + y) + x · = ln(x2 + y) + ·
"x x2 + y x2 + y
"2f 1 -2x2
= + = 1 - 8 = -7
"x"y x2 + y (x2 + y)2
2. Obliczyć gradient pola skalarnego f = arc tg(xy -z) w punkcie P = (2, 1, 2) [1, 2, -1]
RozwiÄ…zanie:

"f "f "f y x -1
grad f = , , = , , =
"x "y "z 1 + (xy - z)2 1 + (xy - z)2 1 + (xy - z)2
[1, 2, -1]
3. Obliczyć całkę iterowaną 4
ëÅ‚ öÅ‚

x2
2
x2
ìÅ‚
íÅ‚ 3 + 3 dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
y2
x
1
RozwiÄ…zanie:
ëÅ‚ öÅ‚

x2
2 2 2
x2
x2 x2
ìÅ‚
íÅ‚ 3 + 3 dy÷Å‚ dx = 3y - 3 dx = (3x2 - 3 - (3x - 3x)) dx =
Å‚Å‚
x
y2 y
x
1 1 1
2
x3 - 3x = 2 - (-2) = 4
1

8
1.4 Obliczyć całkę krzywoliniową skierowaną y dx + 2x dy ;
5
C
C : x = t2 , y = t3 od t = 0 do t = 1
RozwiÄ…zanie:
1 1
1
8 8
y dx + 2x dy = t3 · 2t dt + 2t2 · 3t2 dt = 8t4 dt = t5 =
0
5 5
C 0 0
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Õ 2Ä„
òÅ‚
5. Zapisać zbiór A we współrzędnych walcowych w postaci normalnej: 0 r 2
"
ôÅ‚
ół
A : z x2 + y2 , z 2 r z 2
RozwiÄ…zanie:
"
z x2 + y2 =Ò! z r stożek
z 2 =Ò! r 2
1
2. Znalez
ć ekstrema lokalne funkcji uwikłanej y(x) określonej równaniem:
1
2xy3 - x2y - = 0
y
RozwiÄ…zanie
1
Oznaczamy f(x, y) = 2xy3 - x2y - . Dziedzina funkcji D = {(x, y) : y = 0} jest

y
zbiorem otwartym, a funkcja jest klasy C2 .
"f
Aby skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej, musi być spełniony warunek: = 0

"y
czyli:
1
6xy2 - x2 + = 0

y2
Szukamy punktów stacjonarnych funkcji uwikłanej:
y = 0
"f
"f
"x
y = - = 0 Ð!Ò! = 0
"f
"x
"y
Rozwiązujemy układ równań:
Å„Å‚

"f
òÅ‚
2y3 - 2xy = 0
= 0
=Ò!
"x 1
ół 2xy3 - x2y - = 0
y
f = 0
Z pierwszego równania:
2y3 - 2xy = 0 =Ò! 2y(y2 - x) = 0 =Ò! y = 0 lub x = y2
y = 0 nie należy do D
Dla x = y2 z drugiego równania mamy:
1
y5 - = 0 =Ò! y6 = 1 =Ò! y = Ä…1
y
Punkty stacjonarne: P1(1, -1) , P2(1, 1) .
"f "f
Sprawdzamy: (1, -1) = 6 = 0 , (1, 1) = 6 = 0

"y "y
Obliczamy drugÄ… pochodnÄ…:
"2f
"x2
y = -
"f
"y
"2f
= -2y
"x2
2
y (P1) = - < 0 =Ò! w P1(1, -1) jest maksimum lokalne funkcji uwikÅ‚anej
6
-2
y (P2) = - > 0 =Ò! w P2(1, 1) jest minimum lokalne funkcji uwikÅ‚anej
6
2
3. Znalez
ć ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji
f(x, y) = x2 - x2y + 4y2 + 8y
RozwiÄ…zanie
Dziedzina funkcji D : R2
Rozwiązujemy układ równań :
Å„Å‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
"x
ôÅ‚
ôÅ‚
"f
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
= 0
ół
"y
Obliczamy pochodne czÄ…stkowe:
"f
= 2x - 2xy
"x
"f
= -x2 + 8y + 8
"y
StÄ…d:

2x - 2xy = 0
-x2 + 8y + 8 = 0
Z pierwszego równania:
2x(1 - y) = 0
Czyli x = 0 lub y = 1
Dla x = 0 z drugiego równania y = -1
Dla y = 1 z drugiego równania x = ą4
Mamy więc trzy punkty stacjonarne:
P1(0, -1) , P2(-4, 1) , P3(4, 1)
Obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
"2f "2f "2f
= 2 - 2y ; = 8 ; = -2x
"x2 "y2 "x"y
Badamy macierz drugich pochodnych:

4 0
f (P1) = W1 = 4 > 0 , W2 = 32 > 0 =Ò! w P1 jest minimum lokalne.
0 8

0 8
f (P2) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P2 nie ma ekstremum.
8 8

0 -8
f (P3) = W1 = 0 , W2 = -64 < 0 =Ò! w P3 nie ma ekstremum.
-8 8
3

4. Obliczyć (x2 +y) dx dy , gdzie obszar D jest ograniczony parabolami y = x2 , y2 = x
D
.
RozwiÄ…zanie:
Zbiór D jest obszarem normalnym:

0 x 1
"
D :
x2 y x
ëÅ‚ öÅ‚
"
x
1

ìÅ‚
I = íÅ‚ x2 + y dy÷Å‚ dx
Å‚Å‚
0
x2
Obliczamy całki:
"
"x
x " "
1 1 1 1 3
(x2 + y) dy = x2y + y2 = x2 x + x - x4 - x4 = x2 x + x - x4
2 2 2 2 2
x2
x2
1
1
"
7
1 3 2 1 3 2 1 3 40+35-42 33
2
I = x2 x + x - x4 dx = x + x2 - x5 = + - = =
2 2 7 4 10 7 4 10 140 140
0
0
Odpowiedz
:
33
I =
140
4
5. Znalez
ć moment bezwładności względem osi Oz bryły &! ograniczonej powierzchniami:
x2 + y2 + z2 = 4
x2 + y2 = z2
jeżeli gÄ™stość Á(x, y, z) = 1, a punkt P (1, 1, 0) " &!
RozwiÄ…zanie:

Iz = Á(x2 + y2) dx dy dz
&!
Pierwsza powierzchnia to sfera, druga to stożek.
Wprowadzamy współrzędne sferyczne:

Iz = r2 sin2 ¸ · r2 sin ¸ dr d¸ dĆ = r4 sin3 ¸ dr d¸ dĆ
&!" &!"
Obszar &!" we współrzędnych sferycznych:
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 Ć 2Ä„
òÅ‚
Ä„ 3Ä„
&!" : ¸
4 4
ôÅ‚
ół
0 r 2
Obszar całkowania jest prostopadłościanem, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funk-
cji jednej zmiennej, więc zamiast całki iterowanej możemy obliczyć iloczyn całek poje-
dynczych
ëÅ‚ öÅ‚ "
3Ä„ 2
ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
-
2Ä„
4
2
2 2
ìÅ‚ ÷Å‚
1
íÅ‚ ìÅ‚ íÅ‚
r4 sin3 ¸ dr d¸ dĆ = dĆÅ‚Å‚ · sin3 ¸ d¸÷Å‚ · r4 drÅ‚Å‚ = [Ć]2Ä„ · r5 -(1 -
íÅ‚ Å‚Å‚ 0
5
0
"
Ä„
&!" 0 0 2
4
2
"
" " " "
- 2
2
64 1 64 2 2 2 2 32Ä„
t2) dt = Ä„ -t + t3 = Ä„( - + - ) =
"
2
5 3 5 2 12 2 12 3
2
Stosujemy podstawienie:
Å„Å‚
ôÅ‚ t = cos ¸
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
dt = - sin ¸ d¸
"
2 Ä„
ôÅ‚
t = dla ¸ =
ôÅ‚
2 4
ôÅ‚ "
ôÅ‚
ół
2 3Ä„
t = - dla ¸ =
2 4
5
"
6. Obliczyć moment bezwładności jednorodnej półsfery z = 1 - x2 - y2 względem osi
Oz.
RozwiÄ…zanie:
Szukany moment bezwładności jest równy:

2 2



"z "z
Iz = Á(x2 + y2) dS = Á (x2 + y2) 1 + + dx dy
"x "y
S D
gdzie D jest rzutem powierzchni na płaszczyznę XY czyli kołem x2 + y2 1
Obliczamy pochodne
"z -x
"
=
"x 1 - x2 - y2
"z -y
"
=
"y 1 - x2 - y2
A więc


2 2


"z "z x2 y2 1

"
1 + + = 1 + + =
"x "y 1 - x2 - y2 1 - x2 - y2 1 - x2 - y2

x2 + y2
"
Iz = Á dx dy
1 - x2 - y2
D
Stosujemy współrzędne biegunowe:
2Ä„
1
r2 r3 r3
" " "
Iz = Á ·r dr dÕ = Á dr dÕ = Á dÕ· dr = Á [Õ]2Ä„ ·
0
1 - r2 1 - r2 1 - r2
D" D" 0 0
0 0
" "
1 - t -1 1 2" 0 4Ä„Á
"
( ) dt = Ä„Á -"
+ t dt = Ä„Á -2 t + t3 =
2 3 3
t t 1
1 1
Stosujemy zmianÄ™ zmiennej: t = 1 - r2 ; dt = -2r dr ; t(0) = 1 ; t(1) = 0
Uwaga: W zadaniu tym obliczamy całkę niewłaściwą, która jest zbieżna.
6