Egzamin z Matematyki 1, 1 II 2006
1. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać równanie:
z6 + z4 + 16z2 + 16 = 0
RozwiÄ…zanie:
(z4 + 16)(z2 + 1) = 0
z4 + 16 = 0 lub z2 + 1 = 0
z4 + 16 = 0
"
4
z = -16
-16 = 16(cos Ä„ + i sin Ä„)
Ą + 2kĄ Ą + 2kĄ
zk = 2(cos + i sin ) , k = 0, 1, 2, 3
4 4
" "
z0 = 2 + i 2
" "
z1 = - 2 + i 2
" "
z2 = - 2 - i 2
" "
z3 = - 2 - i 2
z2 + 1 = 0
"
z = -1
z4 = i
z5 = -i
2. Czy proste l1 i l2 sa współpłaszczyznowe? Jeżeli tak, wyznaczyć równanie płaszczyzny
zawierajÄ…cej te proste.

x + z = 0
l1 =
2x - y + 1 = 0
x - 1 y - 3 z + 1
l2 : = =
1 1 2
RozwiÄ…zanie:
Proste są współpłaszczyznowe jeśli się przecinają lub są równoległe. Szukamy punktu
przecięcia:
x = t + 1
y = t + 3
z = 2t - 1

t + 1 + 2t - 1 = 0
2(t + 1) - (t + 3) + 1 = 0

3t = 0
t = 0
Układ ma jedno rozwiązanie t = 0 więc proste przecinają się w jednym punkcie:
A(1, 3, -1) , a więc są współpłaszczyznowe.
Równanie płaszczyzny Ą zawierającej te proste:
PÅ‚aszczyzna zawierajÄ…ca prostÄ… l1 ma równanie: Ä…(x + z) + ²(2x - y + 1) = 0
Do tego równania podstawiamy dowolny punkt prostej l2 (różny op punktu przecięcia)
np. B(2, 4, 1)
3Ä… + ² = 0
RozwiÄ…zaniem tego równanie jest np. para: Ä… = 1 , ² = -3
Równaniem szukanej płaszczyzny jest więc:
Ä„ : (x + z) - 3(2x - y + 1) = 0
Ä„ : -5x + 3y + z - 3 = 0
3. Dla jakiego k funkcja f(x) określona na przedziale x "< 0, Ą > wzorem
Å„Å‚
ôÅ‚ sin3 x - 1 Ä„
ôÅ‚
òÅ‚
dla x =

| sin x - 1| 2
f(x) =
ôÅ‚ Ä„
ôÅ‚
ół
k dla x =
2
Ä„
jest ciągła w punkcie x0 =
2
RozwiÄ…zanie:
Ä„
Funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0 = wtedy i tylko wtedy, gdy lim f(x) = k
Ä„
x
2
2
sin3 x - 1 sin3 x - 1 (sin x - 1)(sin2 x + sin x + 1)
k = lim f(x) = lim = lim - = lim - =
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
x x x x
| sin x - 1| sin x - 1 sin x - 1
2 2 2 2
lim -(sin2 x + sin x + 1) = -3
Ä„
x
2
(mianownik jest ujemny)
4. Zbadać przebieg funkcji f(x) = x + 2 arc tg x
RozwiÄ…zanie:
Dziedzina D = (-", ")
Funkcja jest nieparzysta: f(-x) = -f(x) a więc wystarczy zbadać funkcję na połowie
dziedziny: D1 =< 0, ") ; na drugiej czści dziedziny przebieg jest symetryczny.
Granice:
Brak asymptot pionowych.
f(0) = 0
lim (x + 2 arc tg x) = "
x"
Szukamy asymptoty ukośnej y = ax + b w +" .

f(x) 2 arc tg x
a = lim = lim 1 + = 1
x x
x" x"
b = lim (f(x) - ax) = lim 2 arc tg x = Ä„
x" x"
Funcja ma asyptotę ukośną w +" : y = x + Ą
2
f (x) = 1 +
1 + x2
f (x) > 0 na całej dziedzinie (funkcja rosnąca)
4x
f (x) = -
(1 + x2)2
f (x) < 0 dla x " (0, ") , f (0) = 0
f(x) jest wklęsła na przedziale (0, "). Na (-", 0) f(x) jest wypukła, w x = 0 ma
punkt przegięcia
x -" ... 0 ... "
f (x) + + +
f (x) + 0 -
f(x) -" 0 "
5. Obliczyć dwie całki:
Ä„
"
4 1
tg x dx
cos2 x
0
e
ln2 x dx
1
RozwiÄ…zanie:
Ä„
"
4 1
tg x dx
0 cos2 x
1
Podstawienie t = tg x , dt = dx
cos2 x
Ä„ 1
1
"
"
4 1 2 3 2
2
tg x dx = t dt = t =
0 cos2 x 0 3 3
0

e
ln2 x dx
1
Całkujemy przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln2 x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = 2 ln x g(x) = x
x

e
e e e
ln2 x dx = x ln2 x - 2 ln xdx = e - 2 ln x dx
1
1 1 1
Całkujemy jeszcze raz przez części:
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ f(x) = ln x g (x) = 1 żł
1
ół þÅ‚
f (x) = g(x) = x
x

e e
ln x dx = [x ln x]e - dx = e - [x]e = 1
1 1
1 1

e
ln2 x dx = e - 2
1