Wykład 07
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0. Funkcja
jest ciagła w punkcie x0 wtw, gdy jest jednocześnie ciagła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0, ciagła w
punkcie x0 i niech f(x0) > 0 wtedy "O1(x0) ‚" O(x0) otoczenie punktu
x0 takie,że "x " O1(x0) f(x) > 0.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 81
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0. Funkcja
jest ciagła w punkcie x0 wtw, gdy jest jednocześnie ciagła lewostronnie i
prawostronnie.
TWIERDZENIE 82
Niech funkcja f bedzie określona w O(x0) otoczeniu punktu x0, ciagła w
punkcie x0 i niech f(x0) > 0 wtedy "O1(x0) ‚" O(x0) otoczenie punktu
x0 takie,że "x " O1(x0) f(x) > 0.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 83
Złożenie funkcji ciagłych jest ciagłe.
DOWOD:
Z ciągłości f i g
dla xn - x0 mamy f(xn) - f(x0)
więc g(f(xn)) - g(f(x0)).
Jeżeli xn - x0 to (g ć% f)(xn) - (g ć% f)(x0).
TWIERDZENIA O CI
GA
OÅšCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g beda określone w O(x0) otoczeniu punktu x0 i ciagłe
w punkcie x0 wtedy,f Ä… g, f · g sa ciagÅ‚e w punkcie x0. Jeżeli ponadto
f
g(x0) = 0 to jest ciagła w punkcie x0.

g
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
TWIERDZENIA O CI
GA
OÅšCI
TWIERDZENIE 84
Niech funkcje f, g beda określone w O(x0) otoczeniu punktu x0 i ciagłe
w punkcie x0 wtedy,f Ä… g, f · g sa ciagÅ‚e w punkcie x0. Jeżeli ponadto
f
g(x0) = 0 to jest ciagła w punkcie x0.

g
DOWÓD:
Wynika natychmiast z twierdzenia o granicach sumy, różnicy, iloczynu
i ilorazu dla ciągów.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 85
Funkcja ciagła na przedziale domknietym osiaga swoje kresy.
DOWÓD:
Niech f : [a, b] - R bÄ™dzie ciÄ…gÅ‚a i niech {xn}" ‚" [a, b] taki, że
n=1
f(xn) - M = sup{f(x) : x " [a, b]}.
Ciąg {xn}" ma podciąg zbieżny {xn } do x0 " [a, b].
n=1 k
Wówczas f(x0) = lim f(xn ) = M
k
n"
TWIERDZENIE 86
Funkcja ciagła na przedziale ma własność przyjmowania wartości
pośrednich.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < 0 < f(b).
Niech Å‚ = sup{x " [a, b] : f([a, x]) ‚" (-", 0]} d" b.
Wówczas f(ł) = 0.
Gdyby f(ł) = 0 to w pewnym otoczeniu ł funkcja f nie przyjmowałaby

wartośxi 0 i otrzymalibyśmy sprzeczność z określeniem ł.
Niech a < b, f[a, b] - R jest ciągła i f(a) < c < f(b).
Wówczas dla g(x) = f(x) - c g(a) < 0 < g(b) więc istnieje ł " (a, b)
takie, że g(ł) = 0, czyli f(ł) = c.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
TWIERDZENIE 87
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f jest funkcją slnie
monotonicznÄ….
DOWÓD:
Przypuśćmy, że istnieją x1, x2, x3 " [a, b] takie, że x1 < x2 < x3 i
f(x1) < f(x2) > f(x3).
Wówczas dla c " (max{f(x1), f(x3)}, f(x2) istnieją u1 " (x1, x2)
oraz u2 " (x2, x3) takie, że f(u1) = c = f(u2).
Sprzeczność z injektywnością dowodzi silnej monotoniczności.
TWIERDZENIE 88
Jeżeli f : [a, b] - [c, d] jest ciągłą bijekcją to f-1 jest funkcją silnie
monotoniczną i ciągłą.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI
DOWÓD:
-
Niech f będzie rosnąca i niech f(xn) = yn - y0 = f(x0).
Przypuśćmy, że c = sup{xn : n " N} < x0.
-
Wówczas "n yn d" f(c) < y0 sprzeczne z yn - y0 = f(x0).
Zatem "µ > 0 "n0 takie, że "n > n0 f(x0 - µ) < yn < y0.
Dla n > n0 mamy x-µ < xn < x0.
Czyli f-1 jest ciągła lewostronnie, a prawostronną ciągłość pokazujemy
analogicznie.
Dowód dla funkcji f malejacej jest podobny.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
TWIERDZENIE 89
Funkcje x - sin x x - cos x x - ax x - xÄ…
x - loga x x - tg x x - ctg x x - arctg x
x - arcctg x x - arcsin x x - arccos x
są ciągłe w swojej dziedzinie.
DOWÓD:
Z uwagi na
x-x0 x+x0
sin x - sin x0 = 2 · sin cos
2 2
i ograniczoność funkcji kosinus wystarczy wykazać ciągłość funkcji
sinus w zerze.
Z uwagi na nieparzystość funkcji sinus wystarczy wykazać jej ciągłość
prawostronnÄ… w zerze.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Dla x > 0 mamy 0 < sin x < x i z twierdzenia o granicy trzech funkcji
mamy lim sin x = 0.
x0+
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
CI
GA
OŚĆ FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wzór
x+x0 x-x0
cos x - cos x0 = -2 · sin · sin
2 2
implikuje ciągłość funkcji kosinus.
Z ciągłości sinusa i kosinusa wynika ciąglość tangensa i kotangensa.
Ciągłość funkcji trygonometrycznych daje nam na mocy Twierdzenia 87
ciągłość funkcji cyklometrycznych.
Ciągłość funkcji potęgowej i wykładniczej wynika z Twierdzenia 24 i
definicji Heine go ciągłości funkcji w punkcie.
Funkcja logarytmiczna jest funkcja odwrotną do funkcji wykładniczej i na
mocy Twierdzenia 87 mamy z ciągłości funkcji wykładniczej ciągłośc
funkcji logarytmicznej.
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))Ä…-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)