Wykład 02
Witold Obłoza
24 listopada 2010
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 18 ( o trzech ciÄ…gach )
Jeżeli "n0 "n > n0 an e" bn e" cn oraz istnieją granice
lim an = lim cn = a to istnieje lim bn oraz lim bn = a.
n" n" n" n"
DOWÓD: Z definicji granicy "µ > 0 "n1 "n > n1 a + µ > an
oraz
"µ > 0 "n2 "n > n2 a - µ < cn.
Wówczas dla n > n3 = max{n0, n1, n2}
a - µ < cn d" bn d" an d" a + µ.
StÄ…d istnieje lim bn oraz lim bn = a.
n" n"
TWIERDZENIA O GRANICACH
TWIERDZENIE 19
Jeżeli istnieją granice lim an = a oraz lim bn = b to istnieją granice
n" n"
lim (an + bn),
n"
lim (an - bn),
n"
lim (an · bn).
n"
Ponadto lim (an + bn) = a + b,
n"
lim (an - bn) = a - b,
n"
lim (an · bn) = a · b.
n"
Jeżeli b = 0 i "n " N bn = 0 istnieje też

an an a
lim oraz lim = .
n" n"
bn bn b
GRANICE SPECJALNE
TWIERDZENIE 20 Zachodza nastepujace równości
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚" gdy Ä… > 0,
1) lim nÄ… = 1 gdy Ä… = 0,
n" ôÅ‚
ół0 gdy ą < 0
"
n
2) lim A = 1, gdzie A > 0.
n"
"
n
3) lim n = 1.
n"
Å„Å‚
gdy q > 1,
ôÅ‚
ôÅ‚+"
ôÅ‚
òÅ‚1
gdy q = 1,
4) lim qn =
n" ôÅ‚0
gdy |q| < 1,
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
nie istnieje gdy |q| d" -1.
1
5) Istnieje granica lim (1 + )n = e.
n"
n
GRANICE SPECJALNE
Ponadto
6) jeżeli ciag {an}" wyrazach dodatnich jest ograniczony przez liczby
o
n
dodatnie to lim an = 1,
n"
"
n
w szczególności, jeżeli lim an = g " (0, "), to lim an = 1,
n" n"
7) jeżeli "n an = 0 i lim |an| = " to

n"
1
n
lim (1 + )a = e.
n"
an
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
1) Było na zajęciach wyrównawczych.
"
n
2) Załóżmy najpierw, że A e" 1. Wtedy A = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0.
Mamy A = (1 + ´n)n e" 1 + n´n (z nierównoÅ›ci Bernoulliego).
A-1
Stad e" ´n e" 0 i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0. Zatem
n
n"
"
n
lim A = lim (1 + ´n) = 1.
n" n"
1
Jeżeli teraz A " (0, 1) to > 1 i stad
A
"
1 1
n
lim A = lim = = 1
n" n"
n 1 n 1
lim
A A
n"
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:"
n
3) Niech n = 1 + ´n, gdzie ´n e" 0.
Mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
n
n n(n-1)
k 2
n = (1 + ´n)n = 1n-k´n e" 1 + ´n.
k 2
k=0
n-1 2 1
"
Stad e" ´n e" 0, a zatem e" ´n e" 0
n(n-1) n
i z twierdzenia o trzech ciagach lim ´n = 0.
n"
"
n
Mamy wiec lim n = lim (1 + ´n) = 1.
n" n"
4) Było na zajęciach wyrównawczych.
GRANICE SPECJALNE
1
5) Pokażemy, że ciag o wyrazach an = (1 + )n jest rosnacy i
n
ograniczony z góry.
1 1
Z nierówności Bernoulliego mamy (1 - )n e" 1 - , a stad
n2 n
1 1 1
(1 + )n(1 - )n e" 1 - .
n n n
A
atwo stad widać, że
1 1 1
an = (1 + )n e" (1 - )1-n = (1 + )n-1 = an-1.
n n n - 1
GRANICE SPECJALNE
Teraz wykażemy, że "n an d" 3.
Dla n e" 2 mamy ze wzoru dwumianowego Newtona:
n
1 1
n
an = (1 + )n = 1 + 1 + 1n-k =
k
n nk
k=2
n
n(n - 1) . . . (n + 1 - k)
2 + =
k!nk
k=2
n n
1 (n - 1) (n - 1) (n - 2) (n + 1 - k) 1
2 + . . . d" 2 + d"
k! n n n n k!
k=2 k=2
1
n
1
1 1 - ( )n-1
2
2 + d" 2 + d" 3.
1
2k-1 2 -
1
k=2
2
1
Ciag (1 + )n ma wiec granice oznaczamy ja litera e.
n
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
" "
"
n n
n
6) Jeżeli 0 <" d" an d" K L d" an d" K.
L
"to
n n
Mamy lim L = lim K = 1 z twierdzenia o trzech ciagach
n" n"
"
n
lim an = 1.
GRANICE SPECJALNE
DOWÓD:
7) Założymy najpierw, że lim an = ".
n"
Określamy ciag liczb naturalnych pn < an d" pn + 1.
Oczywiście lim pn = ".
n"
1 1 1
n n n
Mamy nierówności (1 + )p d" (1 + )a d" (1 + )p +1.
pn + 1 an pn
1 1 1
n n
Z uwagi na równości (1 + )p = (1 + )p +1 oraz
1
pn + 1 pn + 1
1 +
pn + 1
1 1 1
n n
(1 + )p +1 = (1 + )p (1 + )1 skrajne ciagi maja granice równa e.
pn pn pn
GRANICE SPECJALNE
Z twierdzenia o trzech ciagach granica środkowego też jest e.
1 1 1
n n
Jeżeli teraz an < 0 to (1 + )a = (1 + )|a |-1(1 + )
an |an| - 1 |an| - 1
A
atwo widać, że granica prawej strony przy |an| zmierzającym do
nieskończoności w powyższej równości jest równa e.
SYMBOLE OZNACZONE
DEFINICJA 22
Mówimy, że ciag {an}" zmierza do 0 po wartościach dodatnich
n=1
( ujemnych ) wtw, gdy "n0"n > n0 an > 0 ( odpowiednio "n0"n > n0
an < 0 ) oraz lim an = 0. Zapisujemy lim an = 0+ ( odpowiednio
n" n"
lim an = 0- ).
n"
TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim an = 0+, lim bn = 0- lim cn = c > 0, lim dn = d < 0
n" n" n" n"
lim pn = +", lim qn = -" to
n" n"
cn cn dn dn
lim = ", lim = -", lim = -", lim = ",
n" n" n" n"
an bn an bn
pn pn qn qn
lim = ", lim = -", lim = -", lim = ",
n" n" n" n"
an bn an bn
lim pn · cn = ", lim pn · dn = -", lim qn · cn = -",
n" n" n"
lim qn · dn = ".
n"
SYMBOLE OZNACZONE
TWIERDZENIE 23
Jeżeli lim cn = c e" 0, lim pn = +", lim qn = -" i c < 1 to
n" n" n"
n n
lim cp = 0, lim cq = ",
n n
n" n"
gdy c > 1 to
n n
lim cq = 0, lim cp = ".
n n
n" n"
UWAGA 24 Na mocy powyższego twierdzenia symbole
a a Ä…" Ä…"
, , , , Ä…" · a oraz cÄ…" dla c = 1 sa symbolami

0+ 0- 0+ 0-
oznaczonymi.
SYMBOLE NIEOZNACZONE
TWIERDZENIE 25
Symbolami nieoznaczonymi sa
0 "
0 · (Ä…"), , , " - ", 00, "0, 1Ä…".
0 "