Wykład 21
Witold Obłoza
3 marca 2011
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane beda prosta i płaszczyzna równaniami
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
k : y = b + vt Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
ôÅ‚
ółz = c + wt
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny Ą wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadÅ‚a do
płaszczyzny Ą.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leża w jednej płaszczyz
nie i
pokrywaja sie badz
nie maja punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaja sie wtw gdy maja dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PA
ASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
sa równoległe jeżeli wektory [u1, v1, w1] oraz [u2, v2, w2] sa równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste sa skośne wtw gdy nie maja punktów wspólnych
i nie leża w jednej płaszczyz
nie.
PROSTA I PA
ASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
sa równoległe jeżeli wektory [u1, v1, w1] oraz [u2, v2, w2] sa równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste sa skośne wtw gdy nie maja punktów wspólnych
i nie leża w jednej płaszczyz
nie.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
|v × P P0|
i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
|v|
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
do wektora nl. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
|v × P P0|
i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
|v|
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
do wektora nl. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
|v × P P0|
i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
|v|
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
do wektora nl. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
ODLEGA
OÅšCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża sie wzorem
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P, Ä„) = " .
A2 + B2 + C2
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od prostej l przechodzacej przez punkt P
|v × P P0|
i równoległej do wektora v wyraża sie wzorem d(P, l) = .
|v|
UWAGA 310
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i równoległa
do wektora nl. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawierajacej prosta l.
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i
-
.
równoległa do wektora nl Odległość prostych k i l wyraża sie wzorem
-
, -
-
[-k, nl KL]
n
d(k, l) =
| .
-
|-k × nl
n
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t przecinają się to kąt ą między
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
|[u1, v1, w1] ć% [u2, v2, w2]|
nimi spełnia równanie cos ą =
|[u1, v1, w1]| · |[u2, v2, w2]|
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i
-
.
równoległa do wektora nl Odległość prostych k i l wyraża sie wzorem
-
, -
-
[-k, nl KL]
n
d(k, l) =
| .
-
|-k × nl
n
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t przecinają się to kąt ą między
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
|[u1, v1, w1] ć% [u2, v2, w2]|
nimi spełnia równanie cos ą =
|[u1, v1, w1]| · |[u2, v2, w2]|
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 311
Niech beda dane proste skośne k przechodzaca przez punkt K i
-

równoległa do wektora nk oraz l przechodzaca przez punkt L i
-
.
równoległa do wektora nl Odległość prostych k i l wyraża sie wzorem
-
, -
-
[-k, nl KL]
n
d(k, l) =
| .
-
|-k × nl
n
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a1 + u1t ôÅ‚ = a2 + u2t
òÅ‚x
k : y = b1 + v1t l : y = b2 + v2t przecinają się to kąt ą między
ôÅ‚
ółz = c1 + w1t ôÅ‚ = c2 + w2t
ółz
|[u1, v1, w1] ć% [u2, v2, w2]|
nimi spełnia równanie cos ą =
|[u1, v1, w1]| · |[u2, v2, w2]|
PROSTE I PA
ASZCZYZNY
TWIERDZENIE 313
Å„Å‚
ôÅ‚
òÅ‚x = a + ut
Jeżeli prosta k : y = b + vt przebija płaszczyznę
ôÅ‚
ółz = c + wt
Ä„ : Ax + By + Cz + D = 0
|[u, v, w] ć% [A, B, C]|
to kąt ą między nimi spełnia równanie sin ą = .
|[u, v, w| · |A, B, C]|
NORMA
DEFINICJA 314
Norma w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcje
· : V v - v " R speÅ‚niajaca warunki
1) "v " V v = 0 Ò! v = 0,
2) " " K "v " V v = || v ,
3) "v, w " V v + w d" v + w .
NORMA
DEFINICJA 314
Norma w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcje
· : V v - v " R speÅ‚niajaca warunki
1) "v " V v = 0 Ò! v = 0,
2) " " K "v " V v = || v ,
3) "v, w " V v + w d" v + w .
NORMA
DEFINICJA 314
Norma w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcje
· : V v - v " R speÅ‚niajaca warunki
1) "v " V v = 0 Ò! v = 0,
2) " " K "v " V v = || v ,
3) "v, w " V v + w d" v + w .
NORMA
DEFINICJA 314
Norma w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcje
· : V v - v " R speÅ‚niajaca warunki
1) "v " V v = 0 Ò! v = 0,
2) " " K "v " V v = || v ,
3) "v, w " V v + w d" v + w .
NORMA
DEFINICJA 314
Norma w przestrzeni wektorowej V nad ciałem K, gdzie K = R lub
K = C nazywamy funkcje
· : V v - v " R speÅ‚niajaca warunki
1) "v " V v = 0 Ò! v = 0,
2) " " K "v " V v = || v ,
3) "v, w " V v + w d" v + w .
NORMA
PRZYKA
AD 315
Niech v = (v1, v2, . . . vn) " Rn. Funkcje określone następującymi
wzorami sa normami w Rn
n
2
"
v = vk,
·
k=1
n
v = |vk|,
k=1
v = max |vk|.
max
k"{1,2,...,n}
NORMA
PRZYKA
AD 315
Niech v = (v1, v2, . . . vn) " Rn. Funkcje określone następującymi
wzorami sa normami w Rn
n
2
"
v = vk,
·
k=1
n
v = |vk|,
k=1
v = max |vk|.
max
k"{1,2,...,n}
NORMA
PRZYKA
AD 315
Niech v = (v1, v2, . . . vn) " Rn. Funkcje określone następującymi
wzorami sa normami w Rn
n
2
"
v = vk,
·
k=1
n
v = |vk|,
k=1
v = max |vk|.
max
k"{1,2,...,n}
NORMA
PRZYKA
AD 315
Niech v = (v1, v2, . . . vn) " Rn. Funkcje określone następującymi
wzorami sa normami w Rn
n
2
"
v = vk,
·
k=1
n
v = |vk|,
k=1
v = max |vk|.
max
k"{1,2,...,n}
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryka w zbiorze X nazywamy funkcje
: X × X (x, y) - (x, y) " R speÅ‚niajaca warunki
1) (x, y) = 0 Ô! x = y,
2) (x, y) = (y, x)
3) (x, z) d" (x, y) + (y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja określona wzorem
(x, y) = x - y jest metryka.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryka w zbiorze X nazywamy funkcje
: X × X (x, y) - (x, y) " R speÅ‚niajaca warunki
1) (x, y) = 0 Ô! x = y,
2) (x, y) = (y, x)
3) (x, z) d" (x, y) + (y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja określona wzorem
(x, y) = x - y jest metryka.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryka w zbiorze X nazywamy funkcje
: X × X (x, y) - (x, y) " R speÅ‚niajaca warunki
1) (x, y) = 0 Ô! x = y,
2) (x, y) = (y, x)
3) (x, z) d" (x, y) + (y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja określona wzorem
(x, y) = x - y jest metryka.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryka w zbiorze X nazywamy funkcje
: X × X (x, y) - (x, y) " R speÅ‚niajaca warunki
1) (x, y) = 0 Ô! x = y,
2) (x, y) = (y, x)
3) (x, z) d" (x, y) + (y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja określona wzorem
(x, y) = x - y jest metryka.
METRYKA
DEFINICJA 316
Metryka w zbiorze X nazywamy funkcje
: X × X (x, y) - (x, y) " R speÅ‚niajaca warunki
1) (x, y) = 0 Ô! x = y,
2) (x, y) = (y, x)
3) (x, z) d" (x, y) + (y, z).
TWIERDZENIE 317
W przestrzeni unormowanej funkcja określona wzorem
(x, y) = x - y jest metryka.
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech bedzie dany ciag {xk}k"N w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a " X jest granica ciagu {xk)}k"N w przestrzeni metrycznej
(X, ) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim (xk, a) = 0.
k"
Zapisujemy lim xk = a.
k-"
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech bedzie dany ciag {xk}k"N w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a " X jest granica ciagu {xk)}k"N w przestrzeni metrycznej
(X, ) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim (xk, a) = 0.
k"
Zapisujemy lim xk = a.
k-"
GRANICA
DEFINICJA 318
Niech bedzie dany ciag {xk}k"N w przestrzeni metrycznej X.
Mówimy, że a " X jest granica ciagu {xk)}k"N w przestrzeni metrycznej
(X, ) przy k zmierzającym do nieskończoności wtedy i tylko wtedy gdy
lim (xk, a) = 0.
k"
Zapisujemy lim xk = a.
k-"
KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, ) kula otwarta o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x " X : (x, a) < r}.
Kula domkniętą o środku a i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x " X : (x, a) d" r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, )
punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(w, r) ‚" D,
punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(z, r) ‚" X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(b, r) )" D = " oraz K(b, r) )" (X \ D) = ".

KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, ) kula otwarta o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x " X : (x, a) < r}.
Kula domkniętą o środku a i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x " X : (x, a) d" r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, )
punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(w, r) ‚" D,
punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(z, r) ‚" X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(b, r) )" D = " oraz K(b, r) )" (X \ D) = ".

KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, ) kula otwarta o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x " X : (x, a) < r}.
Kula domkniętą o środku a i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x " X : (x, a) d" r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, )
punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(w, r) ‚" D,
punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(z, r) ‚" X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(b, r) )" D = " oraz K(b, r) )" (X \ D) = ".

KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, ) kula otwarta o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x " X : (x, a) < r}.
Kula domkniętą o środku a i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x " X : (x, a) d" r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, )
punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(w, r) ‚" D,
punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(z, r) ‚" X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(b, r) )" D = " oraz K(b, r) )" (X \ D) = ".

KULE
DEFINICJA 319 W przestrzeni metrycznej (X, ) kula otwarta o środku a
i promieniu r > 0 nazywamy zbiór K(a, r) = {x " X : (x, a) < r}.
Kula domkniętą o środku a i promieniu r e" 0 nazywamy zbiór
K(a, r) = {x " X : (x, a) d" r}.
DEFINICJA 320
W przestrzeni metrycznej (X, )
punkt w nazywamy punktem wewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(w, r) ‚" D,
punkt z nazywamy punktem zewnetrznym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(z, r) ‚" X \ D,
punkt b nazywamy punktem brzegowym zbioru D ‚" X jeżeli
"r > 0 : K(b, r) )" D = " oraz K(b, r) )" (X \ D) = ".

ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1
ZBIORY OTWARTE
DEFINICJA 321
Wnetrzem zbIoru D nazywamy zbiór int D złożony z jego punktów
wewnetrznych.
Zbiór D nazywamy zbiorem otwartym jeśli D = int D.
Zbiór F nazywamy zbiorem domknietym jeśli X \ F jest zbiorem
otwartym.
TWIERDZENIE 322
Własności zbiorów otwartych w przestrzeni metrycznej (X, ).
1) X oraz " sÄ… zbiorami otwartymi.
2) Jeżeli dla każdego a " A zbiór Ua jest zbiorem otwartym to
Ua = {x " X : "a " A, x " Ua} jest zbiorem otwartym.
a"A
Zn={1,2,...,n}
3) Jeżeli dla k " Zn Uk jest otwarty to
n
Uk = {x " X : "k " Zn, x " Uk} jest otwarty.
k=1