2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)

Wykład 18
Witold Obłoza
3 kwietnia 2011
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
�ł �łjest �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n b1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n b2
�ł �ł
x1 �ł �ł + x2 �ł �ł + � � � + xn �ł �ł =
�ł łł �ł łł �ł łł �ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
�ł �łjest �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n b1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n b2
�ł �ł
x1 �ł �ł + x2 �ł �ł + � � � + xn �ł �ł =
�ł łł �ł łł �ł łł �ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 266
Dwa układy równań nazywamy równoważnymi wtw gdy mają te same
zbory rozwiązań.
TWIERDZENIE 267
Układ równań ( ) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy
tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej.
DOWÓD:
Układ ( ) równoważny równaniu macierzowemu
�ł �łjest �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n b1
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n b2
�ł �ł
x1 �ł �ł + x2 �ł �ł + � � � + xn �ł �ł =
�ł łł �ł łł �ł łł �ł. . .łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn bm
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
�ł �ł
b1
�ł �ł
b2
�ł �ł
�ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
�łbm �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
, , . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
�ł �ł
b1
�ł �ł
b2
�ł �ł
�ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
�łbm �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
, , . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
�ł �ł
b1
�ł �ł
b2
�ł �ł
�ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
�łbm �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
, , . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
�ł �ł
b1
�ł �ł
b2
�ł �ł
�ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
�łbm �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
, , . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
powyższy układ ma rozwiazanie wtw, gdy wektor
�ł �ł
b1
�ł �ł
b2
�ł �ł
�ł. . .łł jest kombinacja liniowa wektorów
�łbm �ł �ł �ł �ł �ł
a11 a12 a1n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
a21 a22 a2n
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
, , . . .
�ł łł �ł łł �ł łł
. . . . . . . . .
am1 am2 amn
czyli, gdy rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Bowiem rząd macierzy układu jest równy maksymalnej ilości kolumn
liniowo niezależnych tej macierzy
zaś rząd macierzy uzupełnionej układu jest równy maksymalnej ilości
kolumn liniowo niezależnych macierzy uzupełnionej.
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + � � � + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
�ł �ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
�ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + � � � + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
�ł �ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
�ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + � � � + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
�ł �ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
�ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + � � � + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
�ł �ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
�ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 268
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
( )
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
an 1x1 + an 2x2 + � � � + an nxn = bn
i niech rzad macierzy tego układu jest równy n.
Wi
Wtedy ma on dokładnie jedno rozwiazanie dane wzorami xi = ,
W
gdzie W = det{a}i j, a
�ł �ł
a11 . . . a1 i-1 b1 a1 i+1 . . . a1n
�ł.
Wi = det . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . .łł
an1 . . . a3 i-1 an a3 i+1 . . . ann
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
�ł �ł �ł �ł
x1 b1
�ł �ł �ł �ł
x2 b2
�ł �ł �ł �ł
układu,X = , B =
�ł. . .łł �ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
�ł �ł �ł �ł
b1 x1
n
�ł �ł �ł �ł
1 Wi
b2 x2
�ł �ł
A-1 �ł �ł = . Czyli xj = bl � Al j = .
�ł. . .łł �ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
�ł �ł �ł �ł
x1 b1
�ł �ł �ł �ł
x2 b2
�ł �ł �ł �ł
układu,X = , B =
�ł. . .łł �ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
�ł �ł �ł �ł
b1 x1
n
�ł �ł �ł �ł
1 Wi
b2 x2
�ł �ł
A-1 �ł �ł = . Czyli xj = bl � Al j = .
�ł. . .łł �ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
�ł �ł �ł �ł
x1 b1
�ł �ł �ł �ł
x2 b2
�ł �ł �ł �ł
układu,X = , B =
�ł. . .łł �ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
�ł �ł �ł �ł
b1 x1
n
�ł �ł �ł �ł
1 Wi
b2 x2
�ł �ł
A-1 �ł �ł = . Czyli xj = bl � Al j = .
�ł. . .łł �ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
�ł �ł �ł �ł
x1 b1
�ł �ł �ł �ł
x2 b2
�ł �ł �ł �ł
układu,X = , B =
�ł. . .łł �ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
�ł �ł �ł �ł
b1 x1
n
�ł �ł �ł �ł
1 Wi
b2 x2
�ł �ł
A-1 �ł �ł = . Czyli xj = bl � Al j = .
�ł. . .łł �ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
DOWÓD:
( ) możemy zapisać w postaci AX = B, gdzie A jest macierzą
�ł �ł �ł �ł
x1 b1
�ł �ł �ł �ł
x2 b2
�ł �ł �ł �ł
układu,X = , B =
�ł. . .łł �ł. . .łł
xm bm
Macierz układu równań jest kwadratowa i nieosobliwa zatem ma macierz
odwrotną A-1.
Mamy zatem
�ł �ł �ł �ł
b1 x1
n
�ł �ł �ł �ł
1 Wi
b2 x2
�ł �ł
A-1 �ł �ł = . Czyli xj = bl � Al j = .
�ł. . .łł �ł. . .łł
detA W
l=1
bm xm
Co kończy dowód.
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 269
ńł
�ł
�łx + 2y + z = 8
Rozwiązać układ równań: x + y + z = 6 .
�ł
ół2x + y + z = 7
1 2 1
W = 1 1 1 = 1
2 1 1
1 2 8 1 0 0 1 8 1
Wz = 1 1 6 = 1 -1 -2 = 3 Wy = 1 6 1 = 2
2 1 7 2 -3 -9 2 7 1
8 2 1
Wy
Wx Wz
Wx = 6 1 1 = 1 x = = 1 x = = 2 x = = 3.
W W W
7 1 1
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + � � � + ai jrxj = bi - ai lxl
�łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
�ł
�ł
�ła xj + ai xj + � � � + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + � � � + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + � � � + ai jrxj = bi - ai lxl
�łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
�ł
�ł
�ła xj + ai xj + � � � + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + � � � + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + � � � + ai jrxj = bi - ai lxl
�łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
�ł
�ł
�ła xj + ai xj + � � � + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + � � � + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
TWIERDZENIE 270
Niech dany bedzie układ równań liniowych
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
(")
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
i niech r rzad macierzy tego układu jest równy rzedowi macierzy
uzupełnionej tego układu.
Niech det {ai jl}k, l"Zr = 0 wtedy układ (*) jest równoważny układowi

k
ńł
xj + ai xj + � � � + ai jrxj = bi - ai lxl
�łai1 j1 1 1 j2 2
1 r 1 l"{j1,j2,...jr} 1
/
�ł
�ł
�ła xj + ai xj + � � � + ai xj = bi -
ai lxl
i2 j1 1 2 j2 2 jr
2 r 2 l"{j1,j2,...jr} 2
/
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
ai j1xj + ai j2xj + � � � + ai jr xj = bi - ai lxl
r 1 r 2 r r r l"{j1,j2,...jr} r
/
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 271
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay + 2z = a - 1
ax + y + 2z = 0 .
�ł
ół2x + y + az = 3 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 3, i rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy układu jest niezerowy to układ jest oznaczony.
1 a 2 1 a 2 1 a 2
|A| = a 1 2 = a-2 0 2-a = (a - 2) 1 0 -1 =
2 1 a 2 1 a 2 1 a
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
1 a 2 1 a 3
(a - 2) 1 0 -1 = (a - 2) 1 0 0 =
2 1 a 2 1 2+a
a 3
(2 - a) = (2 - a)(a2 + 2a - 3) = (2 - a)(a - 1)(a + 3).
1 2+a
Zatem dla a " (-", -3) *" (-3, 1) *" (1, 2) *" (2, ") układ jest oznaczony.
Dla a = -3
�łmamy �ł �ł �ł
1 -3 2 1 0 0
�ł łł �ł łł
rz A = rz -3 1 2 = rz -3 -8 8 = 2, zaś
2 1 -3 2 7 -7
�ł �ł �ł �ł
1 -3 2 -4 1 0 0 0
�ł łł �ł łł
rz U = rz -3 1 2 0 = rz -3 -8 8 -12 =
2 1 -3 6 2 7 -7 16
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 0 0
�ł łł
= rz -3 8 -12 = 3.
2 -7 16
Zatem dla a = -3 układ jest sprzeczny.
�ł �ł
1 1 2
�ł łł
Dla a = 1 mamy rz A = rz 1 1 2 = 2
2 1 1
oraz
�ł �ł
1 1 2 0
�ł łł
rz U = rz 1 1 2 0 = 2
2 1 1 2
Zatem dla a = 1 układ jest nieoznaczony rozwiązanie zalezy od jednego
parametru.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
�ł �ł
1 2 2
�ł łł
Dla a = 2 mamy rz A = rz 2 1 2 = 2
2 1 2
oraz
�ł �ł �ł �ł
1 2 2 1 -1 1 0 1
�ł łł �ł łł
rz U = rz 2 1 2 0 = rz 2 1 2 0 = 3
2 1 2 1 0 0 0 1
Zatem dla a = 2 układ jest sprzeczny.
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
PRZYKAAD 272
Przedyskutować rozwiązalność układu równań w zależności od wartości
parametru � a�
ńł
�ł
�łx + ay = a
ax + y = 1 .
�ł
ółx + y = 2 - a
Rząd macierzy układu może być co najwyżej 2, zaś rząd macierzy
uzupełnionej układu może być co najwyżej 3.
Gdy wyznacznik macierzy uzupełnionej układu jest niezerowy to układ
jest sprzeczny.
1 a a 1 a a
|U| = a 1 1 = a-1 1-a 1-a =
1 1 2-a 0 1-a 2(1-a)
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
1 a a 1 a a
= a-1 1-a 1-a = (a - 1)2 1 -1 -1 =
0 1-a 2(1-a) 0 -1 -2
1 a -a
(a - 1)2 1 -1 1 = (a - 1)2(a + 1)
0 -1 0
Zatem dla a " (-", -1) *" (-1, 1) *" (1, ") układ jest sprzeczny.
Dla a = 1 rz A = 1 = rz U więc układ jest nieoznaczony rozwiązanie
zależy od jednego prametru.
Dla a = -1 rz A = 2 = rz U więc układ jest oznaczony czyli ma
dokładnie jedno rozwiązanie.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk �! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk �! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
UKAADY RÓWNAC
DEFINICJA 273
Macierz A = {ai j}i"Z j"Zm nazywamy schodkową wtedy i tylko wtedy,
n
gdy dla i " Zn-1 i k " Zm-1 zachodzi implikacja
ai j = 0 dla j " Zk �! ai+1 j = 0 dla j " Zk+1
TWIERDZENIE 274
Każdy układ równań
ńł
�ł
�ła1 1x1 + a1 2x2 + � � � + a1 nxn = b1
�ł
�ła x1 + a2 x2 + � � � + a2 xn = b2
2 1 2 n
�ł. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
�ł
�ł
ół
am 1x1 + am 2x2 + � � � + am nxn = bm
jest równoważny układowi, którego macierz jest macierza schodkową.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a � : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że �v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania �, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania � odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a � : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że �v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania �, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania � odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a � : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że �v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania �, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania � odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
DEFINICJA 275
Niech V bedzie p.w. a � : V - V odwzorowaniem liniowym.Jeżeli
istnieje skalar i niezerowy wektor v " V takie, że �v = v to skalar
nazywamy wartościa własna odwzorowania �, a niezerowy wektor v
nazywamy waktorem własnym odwzorowania � odpowiadajacym wartości
własnej .
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 276
Niech V bedzie p.w. o bazie v = (v1, v2, . . . , vn) a A : V - V
odwzorowaniem liniowym o macierzy MA = {ai j}i j"Zn w bazie v.
Skalar jest wartościa własna odwzorowania A wtw, gdy
det(MA - I) = 0.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory

v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 277
Niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym, a skalary
1, 2, . . . , r beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi
v1, v2, . . . , vr.Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory

v1, v2, . . . , vr sa liniowo niezależne.
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
�ł �ł
1 0 0 . . . 0
�ł �ł
0 2 0 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
�ł �ł
1 0 0 . . . 0
�ł �ł
0 2 0 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n
WARTOŚCI I WEKTORY WAASNE
TWIERDZENIE 278
Niech dim V = n i niech A : V - V bedzie odwzorowaniem liniowym,
a skalary 1, 2, . . . , n beda wartościami własnymi odwzorowania A z
odpowiadajacymi im odpowiednio wektorami własnymi v1, v2, . . . , vn.
Jeżeli "i, j " Zk i = j implikuje i = j to wektory v1, v2, . . . , vn

stanowia baze p.w. V i macierz odwzorowania A w bazie wektorów
własnych (v1, v2, . . . , vn) ma postać
�ł �ł
1 0 0 . . . 0
�ł �ł
0 2 0 . . . 0
�ł �ł
�ł. . . . . . . . . . . . . . .łł
0 0 0 . . . n

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 523
2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 04 04 WIL Wyklad 26
2011 03 08 WIL Wyklad 24
2011 01 09 WIL Wyklad 17(1)
KUNDUN EVENT LOG 2011 02 21
2011 03 24 WIL Wyklad 25id 526
2011 01 09 WIL Wyklad 17id 521
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2011 01 09 WIL Wyklad 16
2013 02 22 WIL Wyklad 1
C360 12 02 21 19 52 53
2010 11 WIL Wyklad 02

więcej podobnych podstron