Wykład 10
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 114
Jeżeli funkcja ciagła f : [a, b] - R jest różniczkowalna w przedziale
(a, b) i nierosnaca ( niemalejaca ) w przedziale (a, b) to "x " (a, b)
f (x) d" 0 ( f (x) e" 0. )
DOWÓD:
Niech f będzie funkcją niemalejącą wówczas dla x > x0 f(x) e" f(x0).
f(x) - f(x0) f(x) - f(x0)
Zatem e" 0 skÄ…d lim e" 0.
x - x0 x - x0
xx+
0
Z istnienia pochodnej f (x0) e" 0.
Dowód dla funkcji nierosnącej jest analogiczny.
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 115 ( Cauchy ego )
Jeżeli funkcje ciagłe f, g : [a, b] - R sa różniczkowalne w przedziale
f(b) - f(a) f (c)
(a, b) i "x " (a, b) g (x) = 0 to "c " (a, b) taki, że = .

g(b) - g(a) g (c)
DOWÓD:
Rozważmy funkcję pomocniczą
f(b) - f(a)
h(x) = f(x) - f(a) - (g(x) - g(a))
g(b) - g(a)
Spełnia ona założenia Twierdzenia Rolle a zatem "c " (a, b) takie, że
g (c) = 0.
f(b) - f(a) f (c)
StÄ…d = .
g(b) - g(a) g (c)
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
TWIERDZENIE 116
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i w tym jego sasiedztwie g(x) = 0, niech lim f(x) = lim g(x) = 0

xx0 xx0
lub lim f(x) = Ä…" oraz lim g(x) = Ä…".
xx0 xx0
f (x) f(x)
Jeżeli istnieje granica lim to istnieje granica lim
xx0 xx0
g (x) g(x)
f(x) f (x)
i lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
DOWÓD:
0
Dla   . Możemy przyjać, że f(x0) = g(x0) = 0.
0
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
f(x) f(x) - f(x0) f (c)
Wtedy z Twierdzenia Cauchy ego mamy = = ,
g(x) g(x) - g(x0) g (c)
gdzie c " (x, x0) lub c " (x0, x).
f(x) f (x)
Jeżeli x - x0 to c - x0 zatem lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
UWAGA 117
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = ", lim g(x) = 0 wówczas
xx0 xx0
f(x)
lim f(x)g(x) = lim .
1
xx0 xx0
g(x)
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 0, lim g(x) = 0 wtedy
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Jeżeli funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = 1, lim g(x) = " to
xx0 xx0
lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
Niech funkcje f, g : (a, b) - R sa różniczkowalne w sasiedztwie punktu
x0 i niech lim f(x) = " lim g(x) = 0
xx0 xx0
wówczas lim f(x)g(x) = lim eg(x)ln f(x).
xx0 xx0
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
PRZYKA
AD 118
1
lnx
x
lim x · ln x = lim = lim = lim (-x) = 0.
-1
x0 x0 x0 x0
x
x2
lim x·ln x
x0
lim xx = lim ex·ln x = e = e0 = 1.
x0 x0
lntg x
cos x
lim lim
cos 2x 2x·2(-sin
1 lntg x Ä„ Ä„ sin x·cos 2x)
x x
4 4
cos 2x cos 2x
lim tg x = lim e = e = e =
Ä„ Ä„
x x
4 4
1
lim
sin x·cos x·2(-sin 2x)
Ä„ 1
x
4
= e = e-1 = .
e
lntg x
lim cos x·lntg x lim
1
Ä„ Ä„
x x
cos x
2 2
lim (tg x)cos x = lim ecos x·ln tg x = e = e =
Ä„ Ä„
x x
2 2
1
ctg x·
2x
cos cos x
lim lim
Ä„ -sin x 2x
Ä„ -sin
x
2x x 2
2 cos
= e = e = e0 = 1.
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
TWIERDZENIE 119 ( Taylora z resztÄ… Lagrange a )
Niech funkcja f : [a, b] - R jest klasy Cn-1 w przedziale [a, b] i
"x " (a, b) "fn(x) wtedy "c " (a, b) taki, że
f (a) f(n-1)(a)
f(b) = f(a)+f (a)(b-a)+ (b-a)2+· · ·+ (b-a)n-1+Rn,
2! (n - 1)!
f(n)(c)
gdzie Rn = (b - a)n.
n!
DOWÓD:
Rozważmy funkcję daną wzorem
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
n-1
f(k)(x)
h(x) = f(b) - f(x) - (b - x)k.
k!
k=1
n-1 n-1
f(k)(x) f(k+1)(x)
h (x) = -f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k =
(k - 1)! k!
k=1 k=1
n-1 n-2
f(k)(x) f(k+1)(x)
= -f (x) + f (x) + (b - x)k-1 - (b - x)k -
(k - 1)! k!
k=2 k=1
f(n)(x)
(b - x)n-1 =
(n - 1)!
n-2 n-2
f(k+1)(x) f(k+1)(x) f(n)(x)
(b - x)k - (b - x)k - (b - x)n-1 =
(k)! k! (n - 1)!
k=1 k=1
f(n)(x)
= - (b - x)n-1.
(n - 1)!
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
h(a)
Niech H(x) = h(x) - (b - x)n.
(b - a)n
Funkcja H spełnia w [a, b] założenia twierdzenia Rolle a.
Istnieje zatem c " (a, b) taki, że H (c) = 0.
h(a)
Ale H (x) = h (x) + n (b - x)n-1.
(b - a)n
h(a)
Mamy więc 0 = H (c) = h (c) + n (b - c)n-1 =
(b - a)n
f(n)(c) h(a)
= - (b - c)n + n (b - c)n-1.
n! (b - a)n
f(n)(x) h(a)
StÄ…d (b - c)n-1 = n (b - c)n-1.
(n - 1)! (b - a)n
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
f(n)(c)
h(a) = (b - a)n,
(n)!
oraz
n-1
f(k)(a)
h(a) = f(b) - f(a) - (b - a)k.
k!
k=1
Co daje nam
n-1
f(k)(a) f(n)(c)
f(b) = (b - a)k + (b - a)n.
k! (n)!
k=0
Co kończy dowód Twierdzenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
TWIERDZENIE 120 ( Maclourin a )
Jeżeli w powyższym twierdzeniu b = x i a = 0 to otrzymujemy wzór
f (0) f(n-1)(0)
f(x) = f(0) + f (0)x + x2 + · · · + xn-1 + Rn, gdzie
2! (n - 1)!
f(n)(c)
Rn = xn, c " (0, x).
(n)!
TWIERDZENIE 121 ( Taylora z resztÄ… Peano )
Niech funkcja f : (a, b) - R jest klasy Cn-1 w otoczeniu x0 " (a, b) i
"f(n)(x0) wtedy
f (x0) f(n)(x0)
f(x0 +h) = f(x0)+f (x0)h+ h2 +· · ·+ hn +É(x0, h)hn,
2! n!
gdzie É(x0, h) - 0, gdy h - 0 i x0 + h należy do rozważanego
otoczenia.
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DOWÓD:
Rozważmy granicę przy h zmierzającym do zera funkcji
n
f(k)(x0)
f(x0 + h) - hk
k!
k=0
.
hn
0
Mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym
0
Stosując n-krotnie Regułę de L Hospitala otrzymamy
lim É(x0, h) = 0.
h0
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
DEFINICJA 122
Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 " R minimum ( maksimum )
jeżeli "S sąsiedztwo punktu x0 takie, że "x " S f(x) > f(x0)
(f(x) < f(x0)). Jeżeli funkcja ma minimum lub maksimum to mówimy,
że ma ekstremum.
TWIERDZENIE 123
Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej f w
punkcie x0 jest to aby f (x) = 0.
DOWÓD:
Rozważając funkcję w otoczeniu, w którym funkcja przyjmuje wartość
największą lub najmniejszą z Twierdzenia 110 mamy natychmiast
Twierdzenie 123.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.
POCHODNE
TWIERDZENIE 124
Warunkiem wystarczajacym istnienia ekstremum w punkcie x0 funkcji f
różniczkowalnej w otoczeniu punktu x0 jest to aby f (x0) = 0 i aby
pochodna zmieniała znak w punkcie x0.
DOWÓD:
Jeżeli f (x0) = 0 oraz f (x) > 0 dla x < x0 zaś dla x > x0 mamy
f (x) < 0 to na mocy Twierdzenia 113 mamy
f(x) < f(x0) dla x leżących w sąsiedztwie x0.
TWIERDZENIE 125
Jeżeli f jest klasy C1 w otoczeniu punktu x0 i istnieje f (x0) = 0 to f

ma w punkcie x0 ekstremum minimum gdy f (x0) > 0, maksimum gdy
f (x0) < 0.