ÿþF a l e b i e g n c e i s t o j c e
u z u p e Bn i e n i e
T a d e u s z P a s z k i e w i c z
K a t e d r a F i z y k i
W y d z i a B M a t e m a t y k i i F i z y k i S t o s o w a n e j
P o l i t e c h n i k i R z e s z o w s k i e j
K l a s y f i k a c j a f a l w z g l d e m k i e r u n k u
p r z e m i e s z c z e n i a e l e m e n t ó w o [r o d k a
F a l e p o d Bu \n e e l e m e n t y p r z e m i e s z c z a j s i
r ó w n o l e g l e d o k i e r u n k u p r o p a g a c j i f a l i .
F a l e p o p r z e c z n e e l e m e n t y p r z e m i e s z c z a j
s i p r o s t o p a d l e d o k i e r u n k u p r o p a g a c j i f a l i .
W z b u d z a n i e r u c h u f a l o w e g o
R o d z a j e f a l f a l a p Ba s k a
h t t p : / / p a w s . k e t t e r i n g . e d u / ~ d r u s s e l l /
D e m o s / w a v e s / w a v e m o t i o n . h t m l
F a l a k u l i s t a
W z b u d z a n i e r u c h u f a l o w e g o
C r e s t g r a D
T r o u g h d o Be k
P r o p a g a c j a f a l i
P i z d j m i g a w k o w y c h f a l i
b i e g n c e j w l i n i e w d o d a t n i m
k i e r u n k u o s i x . Z a z n a c z o n o a m p l i t u d
y m o r a z d Bu g o [ f a l i m i e r z o n
w z g l d e m w y b r a n e g o p u n k t u x .
S t r z a Bk a p o k a z u j e r u c h f a l i i w s k a z u j e
j e j n a j w y \s z y p u n k t . W k a \d y m
p u n k c i e o s i x l i n a p o r u s z a s i j e d y n i e
w z d Bu \ o s i y . Z i e l o n y o d c i n e k
p o k a z u j e k o l e j n e f a z y r u c h u
w y b r a n e g o o d c i n k a l i n y .
R H W
K s z t a Bt f a l i
F u n k c j a , k t ó r a w k a \d y m p u n k c i e p r o s t e j x
( p Ba s z c z y z n y , p r z e s t r z e n i ) i w k a \d y m m o m e n c i e
c z a s u t o k r e [l a p r z e m i e s z c z e n i e y o [r o d k a z a d a j e
k s z t a Bt f a l i :
y = h ( x , t ) .
P r z y k Ba d : f a l a h a r m o n i c z n a
y ( x , t ) = y m c o s ( k x - Ét ) = y m s i n k x - Ét ± À / 2 ,
( )
k , É, y m s l i c z b a m i r z e c z y w i s t y m i . M o \n a o g r a n i c z y
s i d o r o z p a t r z e n i a t y l k o f a l i k o s i n u s o i d a l n e j .
W i e l k o [c i c h a r a k t e r y z u j c e
f a l h a r m o n i c z n
f a z a
p o l o \e n i e
c z a s
y ( x , t ) = y m c o s ( k x - É t )
É
É
É
l i c z b a f a l o w a
c z s t o s k o l o w a
p r z e m i e s z c z e n i e
a m p l i t u d a
c z y n n i k o s c y l a c y j n y
D Bu g o [ f a l i i l i c z b a f a l o w a
D l a t = 0 :
y ( x , t = 0 ) = y m c o s ( k x )
P r z e m i e s z c z e n i e y m u s i b y t a k i e s a m e n a o b u
k o Dc a c h o d c i n k a o s i x o d p o w i a d a j c e g o d Bu g o [c i
f a l i , c z y l i w p u n k t a c h x = x 1 o r a z x / = x 1 + ».
y m c o s ( k x 1 ) = y m c o s k ( x 1 + ») = y m c o s ( k x 1 + k ») .
[ ]
2
2
À
À
2
2
À
À
k
k
=
=
k
k
=
=
»
»
»
»
k » = 2 À Ò! .
W u k Ba d z i e S I j e d n o s t k l i c z b y f a l o w e j j e s t
r a d i a n / m e t r .
O k r e s f a l i i c z s t o [
O k r e s f a l i j e s t i n t e r w a Be m c z a s o w y m , w c i g u k t ó r e g o
d o w o l n y e l e m e n t l i n y w y k o n a j e d n o p e Bn e d r g a n i e .
y x = 0 , t 1 = y m c o s ( Ét 1 ) = y m c o s É( t 1 + T ) =
( ) [ ]
2
2
À
À
2
2
À
À
= y m c o s ( Ét 1 + ÉT )
É
É
=
=
É
É
=
=
T
T
T
T
ÉT = 2 À Ò! .
C z s t o [ k o Bo w a :
C z s t o [ l i n i o w a ½:
1 É
½ = = .
T 2 À
P r d k o [ p r o p a g a c j i f a l i p r d k o [ f a z o w a
R o z p a t r u j e m y r u c h u s t a l o n e g o w y c h y l e n i a ( f a z y
w y c h y l e n i a ) l i n y . T o o z n a c z a , \e t a k \e f a z a f a l i
z o s t a Ba u s t a l o n a , n p . e l e m e n t l i n y m a k s y m a l n i e
w y c h y l o n y . N a p r z y k Ba d o b s e r w u j e m y r u c h
m a k s y m a l n e g o w y c h y l e n i a :
y m = y ( x , t ) = y m c o s k x - Ét Ò!
( )
k x - Ét = 0 = c o n s t .
C z a s p By n i e , c z y l i Ét r o [n i e . A b y ( k x - Ét ) = c o n s t
p o Bo \e n i e x m a k s y m a l n i e w y c h y l o n e g o e l e m e n t u
m u s i z a l e \e o d c z a s u i m u s i r o s n : x = x ( t ) .
O g ó l n y w a r u n e k s t a Bo [c i f a z y
[ k x ( t ) - Ét ] = c o n s t .
d d d x ( t )
îøk x t - Ét ùø = c o n s t = 0 Ò! k = É.
( ) ( )
ðø ûø
d t d t d t
k v = É Ò! v = É/ k .
R ó w n a n i e f a l i b i e g n c e j
y x , t = h ( k x " Ét ) .
( )
h ( u ) j e s t d o w o l n f u n k c j u .
P o w y \s z a f a l a p o r u s z a s i z p r d k o [c i f a z o w
v = ± É/ k .
Z n a k o w i + o d p o w i a d a r u c h z g o d n i e z
k i e r u n k i e m o s i x .
Z n a k o w i - o d p o w i a d a r u c h w k i e r u n k u
p r z e c i w n y m .
t = 1 s t = 5 s t = 1 0 s
6
6
6
4
2
0
0
0
- 2
- 4
- 6
- 6
- 6
0 1 0
0 2 4 6 8 1 0
0 1 0
x
F a l a b i e g n c a
y = 4 s i n ( 2 x - 1 0 )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 )
P o w i e r z c h n i a s t a Be j f a z y f a l i p Ba s k i e j
W y b i e r z e m y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h x , y , z i p Ba s z c z y z n
¥" d o w e k t o r a f a l o w e g o . N i e c h b d w e k t o r a m i
¥" r 0 , r
¥" k
¥"
w o d z c y m i d w ó c h p u n k t ó w p Ba s z c z y z n y .
r 0 - r
( )
W e k t o r l e \y w
p Ba s z c z y zn i e ,
z
j e s t p r o s t o p a d By d o
w e k t o r a .
k
=
y
x
F a l a p Ba s k a
W a r u n e k p r o s t o p a d Bo [c i :
k r - r 0 = k ( r - r 0 ) c o s Æ = 0 ,
( )
b o Æ = "" k , r - r 0 = À/ 2 . Ò!
( )
( )
z
k r - r 0 = 0 Ò! k r = k r 0 Ò!
( )
d l a w s z y s t k i c h p u n k t ó w , s t d
= /
k r - Ét = k r 0 - Ét =
( ) ( )
( k r - Ét ) . . . . .
y
P o n i e w a \ d l a w s z y s t k i c h p u n k t ó w p Ba s z c z y z n y f a z a f a l i
j e s t j e d n a k o w a , m ó w i m y o f a l i p Ba s k i e j .
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i f a l
Z a z w y c z a j o b s e r w u j e m y j e d n o c z e [n i e k i l k a f a l w t y m
s a m y m o b s z a r z e p r z e s t r z e n i .
Z Bo \y m y d w i e f a l e y 1 ( x , t ) , y 2 ( x , t ) , k t ó r e m a j
j e d n a k o w e a m p l i t u d y , l i c z b y f a l o w e i c z s t o [c i , l e c z
s p r z e s u n i t e w f a z i e o k t Õ:
y 1 ( x , t ) = y m c o s k x - Ét , y 2 ( x , t ) = y m c o s k x - Ét + Æ .
( ) ( )
N i e c h y / ( x , t ) b d z i e f u n k c j o p i s u j c w y n i k i c h
z Bo \e n i a :
y / ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) = y m îøc o s k x - Ét + c o s k x - Ét + Æ ùø =
( ) ( ) ûø
ðø
= 2 y m c o s k x - Ét + Æ/ 2 c o s Æ/ 2 .
( )
O b l i c z e n i a
c o s k x - Ét + c o s k x - Ét + Æ =
( ) ( )
±
²
²
±
îø ùø
ïø
k x - Ét + k x - Ét + Æ
( ) ( ) úø ×
ïø úø
= 2 c o s
2
ïø úø
ïø úø
ðø ûø
îø k x - Ét - k x - Ét + Æ ùø
( ) ( )
× c o s =
ïø úø
2
ðø ûø
= 2 y m c o s k x - Ét + Æ/ 2 c o s Æ/ 2 .
( ) ( )
W y n i k z Bo \e n i a d w ó c h f a l o
j e d n a k o w y c h a m p l i t u d a c h , k i É
N i e c h y / ( x , t ) b d z i e f u n k c j o p i s u j c w y n i k :
y / ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) =
= y m îøc o s k x - Ét + c o s k x - Ét + Æ ùø =
( ) ( ) ûø
ðø
= 2 y m c o s k x - Ét + Æ/ 2 c o s Æ/ 2 .
( )
W o g ó l n y m p r z y p a d k u w w y n i k u z Bo \e n i a o t r z y m a m y
f a l b i e g n c , p r o p a g u j c w t y m s a m y m k i e r u n k u ,
o t e j s a m e j l i c z b i e f a l o w e j i c z s t o [c i . J e \e l i Õ= 0 ,
o t r z y m a m y f a l o d w u k r o t n i e w i k s z e j a m p l i t u d z i e .
J e \e l i Æ= À, t o y / ( x , t ) = 0 f a l e s i w y g a s z a j .
I n t e r f e r e n c j a d w ó c h f a l ( y m , k , É j e d n a k o w e )
D u d n i e n i a
É1 H" É2 H" É
S k Ba d a m y d w i e f a l e o b l i s k i c h c z s t o [c i a c h :
y = y 1 + y 2 = y m s i n k x - É1 t + y m s i n k x - É2 t =
( ) ( )
k x - É1 t + k x - É2 t k x - É1 t - k x + É2 t
ëø öø ëø öø
= 2 y m s i n c o s =
ìø ÷ø ìø ÷ø
2 2
íø øø íø øø
ëø öø
É2 - É1 É1 + É2
ìø
ëø öøs i n k x - ÷ø.
= 2 y m c o s t t
ìø ÷ø
ìø ÷ø
2 2
íø øø
ìø ÷ø
íø H"É øø
a m p l i t u d a
F a l a b i e g n c a
F u n k c j a m o d u l u j c a
z a l e \n a o d c z a s u y m ( t )
D u d n i e n i a
îø É2 - É1 ùø
( )
y = y 1 + y 2 = 2 y m c o s t úø s i n k x - És r t .
( )
ïø
2
ðø ûø
y m t
( )
C z s t o [ d u d n i e n i a :
"É = É2 - É1 = 2 Ém .
( )
O k r e s d u d n i e n i a :
2 À
T d = .
"É
N a s t p n e s l a j d y
O b r a z y d r g a D w u s t a l o n y m p u n k c i e o s i x ,
n p . x = 0 .
O b w i e d n i a f u n k c j i y m ( t )
O b w i e d n i a f u n k c j i y m ( t ) z m i e n i a s i z c z s t o [c i
2 Ém r ó w n r ó \n i c y c z s t o [c i s k Ba d a n y c h d r g a D.
o b w i e d n i a f u n k c j i y m ( t )
2 Ém
W y k r e s s u m y f u n k c j i s i n ( t ) i s i n ( 0 , 9 5 t ) , z z a z n a c z o n
( k o l o r c z a r n y ) o b w i e d n i o p o s t a c i 2 c o s ( 0 , 0 2 5 t )
D u d n i e n i a
x = 0
y ( x = 0 , t ) = 5 s i n ( 1 4 t ) + 5 s i n ( 1 5 t )
1 5
1 0
5
0
- 5
- 1 0
- 1 5
0 5 1 0 1 5
c z a s t
2 À 2 À t
"É = 1 ’! T d = = = 6 . 2 8
"É 1
1 5 - 1 4
2 À 2 À
"É = Å" 2 = 1
É = 1 4 . 5 ’! T = = H" 0 . 4
2
É 1 4 . 5
A m p l i t u d a f a l i
5 s i n 1 4 t + 5 s i n 1 5 t
P a c z k a f a l o w a g r u p a f a l
Z Bo \y m y d w i e f a l e o r ó \n y c h w e k t o r a c h
f a l o w y c h i r ó \n y c h c z s t o [c i a c h
y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t =
( ) ( ) ( )
= y m s i n k 1 x - É1 t + y m s i n k 2 x - É2 t .
( ) ( )
"É= É2 - É1
"k = k 2 - k 1
P a c z k a f a l o w a g r u p a f a l
y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t =
( ) ( ) ( )
= y m s i n k 1 x - É1 t + y m s i n k 2 x - É2 t =
( ) ( )
îø k 1 x - É1 t + k 1 + "k x - É1 + "É t ùø
( ) ( )
= 2 y m s i n ×
ïø úø
2
ðø ûø
îø k 1 x - É1 t - k 1 + "k x + É1 + "É t ùø
( ) ( )
× c o s =
ïø úø
2
ðø ûø
îø ùø
ïøëø úø
"k "É
öø ëøÉ + öø
ïøìø úø
îø ùø
= 2 y m c o s "k Å" x - "ÉÅ" t / 2 ûø s i n k 1 + x - t
( )
ìø 1 ÷ø
ðø
2 ÷ø 2 øø úø
ïøíø øø íø
a m p l i t u d a
ïø úø
H"q 1
H"&!1
ðø ûø
F u n k c j a k s z t a Bt u f a l i p a c z k i f a l o w e j
A m p l i t u d a z a l e \n a o d p o Bo \e n i a n a o s i x i c z a s u
îø ùø
y x , t = 2 y m c o s "k Å" x - "ÉÅ" t / 2 ûø ×
( ) ( )
ðø
a m p l i t u d a
îø ùø
ïøëø úø
"k "É
öø ëø öø
× s i n k 1 + x - k 1 + t .
ïøìø úø
÷ø ìø
2 øø 2 ÷ø úø
íø øø
ïøíø
ïø úø
q
&!
ðø ûø
F a l a b i e g n c a o w e k t o r z e f a l o w y m q i c z s t o [c i &!
&!.
&!
&!
M a k s i m u m i n t e r f e r e n c y j n e
- "k Å" x + "ÉÅ" t
öøs i n k 1 x - É1 t
y = 2 y m c o s ëø
( )
ìø ÷ø
2
íø øø
a m p l i t u d a
- "k Å" x + "ÉÅ" t
öø
c o s ëø = 1 Ò! "ÉÅ" t - "k Å" x = 0
( )
ìø ÷ø
2
íø øø
x "É
"k Å" x = "ÉÅ" t Ò! = v g =
t "k
P r d k o [ g r u p o w a p r d k o [ z j a k p o r u s z a
s i m a k s i m u m f a l i :
"É d É
v g = l i m = .
"k ’!0
"k d k
C a s e A d i s p l a y s r i g h t m o v i n g w a v e s w i t h t h e s a m e
p h a s e v e l o c i t y . N o t e t h a t t h e w a v e p a c k e t m o v e s a t
t h e s a m e s p e e d a s t h e r e d a n d b l u e w a v e s . T h e w a v e
p a c k e t d o e s n o t c h a n g e s h a p e w i t h t i m e . T h e s e
w a v e s a r e n o n d i s p e r s i v e .
C a s e C d i s p l a y s r i g h t m o v i n g w a v e s f o r w h i c h t h e
l o n g w a v e l e n g t h r e d w a v e t r a v e l s s l o w e r t h a n t h e b l u e
w a v e . T h e s e w a v e s a r e d i s p e r s i v e . T h e w a v e e n v e l o p e
t r a v e l s m o r e s l o w l y t h a n t h e c a r r i e r w a v e .
C a s e E s h o w s t h e r e d a n d b l u e w a v e s p r o p a g a t i n g t o
t h e l e f t w h i l e t h e w a v e e n v e l o p e m o v e s t o t h e r i g h t .
C a s e F s h o w s l e f t m o v i n g w a v e s w h o s e w a v e e n v e l o p e
i s s t a t i o n a r y .
S o f a r w e h a v e o n l y c o n s i d e r e d w a v e s o f e q u a l
a m p l i t u d e . C a s e G r e p e a t s c a s e A b u t f o r t h e l o n g w a v e
h a v i n g h a l f t h e a m p l i t u d e o f t h e b l u e w a v e .
W y n i k z Bo \e n i a d w ó c h j e d n a k o w y c h f a l
p o r u s z a j c y c h s i w p r z e c i w n y c h k i e r u n k a c h
f a l e s t o j c e
y 1 ( x , t ) = y m c o s k x - Ét , y 2 ( x , t ) = y m c o s k x + Ét
( ) ( )
y / ( x , t ) = y 1 ( x , t ) + y 2 ( x , t ) =
= y m îøc o s k x - Ét + c o s k x + Ét ùø =
( ) ( ) ûø
ðø
= 2 y m c o s k x c o s ( Ét ) .
( )
W y n i k z Bo \e n i a n i e j e s t f a l b i e g n c , g d y \ y / n i e
z a l e \y o d r ó \n i c y ( k x - Ét ) !
y / ( x , t ) = 2 y m c o s k x c o s ( Ét ) .
( )
p r z e m i e s z c z e n i e c z y n n i k
a m p l i t u d a w
o s c y l a c y j n y
p u n k c i e x
F a l e s t o j c e
Z Bo \y l i [m y d w i e f a l e y 1 ( x , t ) , y 2 ( x , t ) , k t ó r e m a j
j e d n a k o w e a m p l i t u d y , l i c z b y f a l o w e i c z s t o [c i , l e c z
s p r z e s u n i t e w f a z i e o k t Æ.
W y n i k z Bo \e n i a n i e j e s t f a l b i e g n c , g d y \ y / n i e
z a l e \y o d r ó \n i c y ( k x - Ét ) !
y / ( x , t ) = 2 y m c o s k x c o s ( Ét ) .
( )
p r z e m i e s z c z e n i e
c z y n n i k
a m p l i t u d a w
o s c y l a c y j n y
p u n k c i e x
F a l a s t o j c a z a l e \n o [
a m p l i t u d y o d p o Bo \e n i a x
A m p l i t u d a f a l i s t o j c e j z a l e \y o d p o Bo \e n i a x p u n k t u
n a p r o s t e j :
y ( x ) = 2 y m c o s ( k x ) .
D l a k x = n À/ 2 ( n = ± 1 , ± 3 , ± 5 & )
y ( x ) = 2 y m c o s ( n À/ 2 ) = 0 .
P u n k t y o s i x , k t ó r y c h w s p ó Br z d n e s p e Bn i a j t a k i
w a r u n e k n a z y w a m y w z Ba m i f a l i s t o j c e j .
F a l a s t o j c a z a l e \n o [
a m p l i t u d y o d p o Bo \e n i a x
A m p l i t u d a f a l i s t o j c e j z a l e \y o d p o Bo \e n i a x p u n k t u
n a p r o s t e j :
y ( x ) = 2 y m c o s ( k x ) .
D l a k x = n À ( n = 0 , ± 1 , ± 2 & ) , y ( x ) = ± 2 y m .
P u n k t y o s i x , w d l a k t ó r y c h | y ( x ) | = 2 y m n a z y w a m y
s t r z a Bk a m i f a l i s t o j c e j .
O d l e g Bo [ p o m i d z y
s s i e d n i m i w z Ba m i
2 n + 1 À
2 À ( )
x ( w ) = n = 0 , ± 1 , ± 3 , & .
( )
n
» 2
2 n + 1
( )
x ( w ) = »
n
4
îø2 n + 1 + 1 ùø
( ) 2 n + 1
( ) »
ðø ûø
x ( w ) - x ( w ) = » - » = .
n + 1 n
4 4 2
O d l e g Bo [ p o m i d z y
s s i e d n i m i s t r z a Bk a m i
2 À
x ( s ) = n À n = 0 , ± 1 , ± 2 , & Ò! x ( w ) = n »/ 2 .
( )
n n
»
n + 1 »
( )
n »
x ( s ) - x ( s ) = - = »/ 2 .
n + 1 n
2 2
F a l a s t o j c a
»/ 2
»
»
»
»/ 2
»
»
»
R o z k Ba d a m p l i t u d f a l i s t o j c e j . O d l e g Bo [ p o m i d z y
s s i e d n i m i s t r z a Bk a m i ( S ) i w z Ba m i ( W ) j e s t r ó w n a
p o Bo w i e d Bu g o [c i f a l i ».
t ( 0 , 2 0 0 s )
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
- 4
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
0 1 0
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
y = 2 s i n ( 2 x - 2 t ) + 2 s i n ( 2 x + 2 t )
O d b i c i e o d
g r a n i c y
H a l l i d a y , R e s n i c k , W a l k e r
P o d s t a w y f i z y k i t . 2
I n t e r f e r e n c j a d l a d w ó c h zr ó d e B
( P . G . H e w i t t , F i z y k a w o k ó B n a s ,
P W N W a r s z a w a , 2 0 0 3 )
O b r a z y i n t e r f e r e n c y j n e w y t w a r z a n e p r z e z d w a zr ó d Ba
f a l k o l i s t y c h . O b r a z i n t e r f e r e n c j i z a l e \y o d d Bu g o [c i
f a l i i o d l e g Bo [c i zr ó d e B o d s i e b i e .
I n t e r f e r e n c j a
( P . G . H e w i t t , F i z y k a w o k ó B n a s , P W N W a r s z a w a , 2 0 0 3 )
Zw i a t Bo
p r z y c h o d z c e z
M
p u n k t u O
p r z e c h o d z i p r z e z
s z c z e l i n y M i N ,
p o c z y m n a N
e k r a n i e S t w o r z y
S
o b r a z
p r \e k c i e m n y
i n t e r f e r e n c y j n y .
p r \e k j a s n y
J a s n e p r \k i p o w s t a j t a m , g d z i e f a l e
z o b u s z c z e l i n m a j z g o d n e f a z y .
P r \k i c i e m n e s w y n i k i e m
n a k Ba d a n i a f a l o f a z a c h p r z e c i w n y c h .
O b s z a r
O b s z a r
c i e m n y
j a s n y
U g i c i e n a s z c z e l i n i e I I
( P . G . H e w i t t , F i z y k a w o k ó B n a s ,
P W N W a r s z a w a , 2 0 0 3 )
P r z e c h o d z e n i e f a l p Ba s k i c h p r z e z o t w o r y r ó \n e j
s z e r o k o [c i . N a m n i e j s z y c h o t w o r a c h u g i c i e f a l i n a
b r z e g u j e s t w i k s z e .
I n t e r f e r e n c j a
( P . G . H e w i t t , F i z y k a w o k ó B n a s , P W N W a r s z a w a , 2 0 0 3 )
C i e D [r u b y w [w i e t l e
l a s e r o w y m m a l i c z n e
o b w ó d k i , p o w s t a Be w
w y n i k u i n t e r f e r e n c y j n e g o
w y g a s z a n i a s i f a l
u g i t y c h . P r z y d Bu \s z y m
n a [w i e t l a n i u p o w s t a j
p r \k i , b d c e s k u t k i e m
i n t e r f e r e n c y j n e g o
w z m a c n i a n i a s i i
w y g a s z a n i a f a l .
G s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z n a l e z i e n i a
e l e k t r o n u n a p o w i e r z c h n i k r y s z t a Bu
G s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
d l a e l e k t r o n ó w z n a j d u j c y c h
s i n a p o w i e r z c h n i k r y s z t a Bu :
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o
z a o b s e r w o w a n i a e l e k t r o n u
j e s t w z a s a d z i e j e d n a k o w e
d l a k a \d e g o k t a .
yr ó d Bo : C u r t S u p l e e , F i z y k a X X w i e k u , W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N ,
W a r s z a w a , 2 0 0 1
G s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a z n a l e z i e n i a
e l e k t r o n u n a p o w i e r z c h n i k r y s z t a Bu
G s t o [ p r a w d o p o d o b i e Ds t w a
d l a e l e k t r o n ó w z n a j d u j c y c h
s i n a p o w i e r z c h n i i n n e g o
k r y s z t a Bu :
P r a w d o p o d o b i e Ds t w o
z n a l e z i e n i a e l e k t r o n ó w w
n i e k t ó r y c h o b s z a r a c h j e s t
z n a c z n i e w i k s z e n i \ w i n n y c h .
C u r t S u p l e e , F i z y k a X X w i e k u , W y d a w n i c t w o N a u k o w e P W N , W a r s z a w a 2 0 0 1
E n e r g i a f a l i p o p r z e c z n e j
W y t w a r z a n i e f a l i w
n a p r \o n e j l i n i e
w y m a g a
d o s t a r c z e n i a e n e r g i i
n i e z b d n e j d o
r u c h u l i n y .
E n e r g i i w p o s t a c i
e n e r g i i k i n e t y c z n e j
i e n e r g i i s p r \y s t e j .
P r d k o [ r u c h u p o p r z e c z n e g o u .
E n e r g i a p o p r z e c z n e j f a l i s i n u s o i d a l n e j
F a l a s i n u s o i d a l n a
r o z c h o d z c a s i w
n a p r \o n e j p r o s t e j
l i n i e , m u s i n i e k t ó r e j e j
e l e m e n t y r o z c i g a .
u
F r a g m e n t l i n y o
d Bu g o [c i d x w y k o n u j e
d r g a n i a p o r z e c z n e , j e g o
d Bu g o [ o k r e s o w o r o [n i e i m a l e j e d o p a s o w u j c s i d o
s i n u s o i d a l n e g o k s z t a Bt u f a l i . Z w i z a n a z t y m j e s t
c y k l i c z n a z m i a n a e n e r g i i s p r \y s t e j f r a g m e n t u l i n y .
E l e m e n t d x l i n y o s i g a
m a k s y m a l n e w y c h y l e n i e
W p o Bo \e n i u a m a By
t = 0
f r a g m e n t l i n y n i e j e s t
n a p r \o n y , m a d Bu g o [
d x . J e g o e n e r g i a
p o t e n c j a l n a ( s p r \y s t a )
j e s t n a j m n i e j s z a
r ó w n a 0 .
P o n i e w a \ w t e j f a z i e
r u c h u e l e m e n t
z a t r z y m u j e s i , j e g o
e n e r g i a k i n e t y c z n a t a k \e r ó w n a j e s t 0 .
E l e m e n t d x l i n y n i e j e s t w y c h y l o n y
t = 0
W p o Bo \e n i u b o d c i n e k d x
l i n y j e s t m a k s y m a l n i e
r o z c i g n i t y i m a
n a j w i k s z p r d k o [.
S i Ba s p r \y s t o [c i w s p o s ó b
c i g By w y k o n u j e p r a c ,
d z i k i c z e m u e n e r g i a j e s t
p r z e k a z y w a n a z o b s z a r ó w ,
G d y o d c i n e k d x p o r u s z a
w k t ó r y c h e n e r g i a j e s t
s i w g ó r j e g o e n e r g i a
d u \a d o o b s z a r ó w , w
k i n e t y c z n a i p o t e n c j a l n a
k t ó r y c h e n e r g i i j e s t m a Bo .
m a l e j e .
P r z e n o s z e n i e e n e r g i i f a l i p o p r z e c z n e j
W n a p r \o n e j l i n i e w z d Bu \ o s i x w y t w o r z o n a z o s t a Ba
f a l a h a r m o n i c z n a o r ó w n a n i u
y x , t = y m c o s k x - Ét .
( ) ( )
L i n a j e s t c y k l i c z n i e z a b u r z a n a p r z e z s t a Be w p r a w i a n i e
j e j k o Dc a w r u c h . W t e n s p o s ó b s t a l e d o s t a r c z a n a j e s t
e n e r g i a n i e z b d n a d l a o k r e s o w e g o r o z c i g a n i a l i n y
i w p r a w i a n i a j e j w r u c h . G d y f a l a d o c i e r a d o
n i e r u c h o m e g o , n i e z d e f o r m o w a n e g o f r a g m e n t u l i n y
p o w i k s z a j e g o e n e r g i .
F a l a p r z e n o s i e n e r g i .
P r z e n o s z e n i e e n e r g i i
W m o m e n c i e c z a s u t = 0
o d c i n e k a m a n a j m n i e j s z
e n e r g i . W m o m e n c i e "t
f r a g m e n t s s i a d u j c y z
p r a w e j s t r o n y z
t = 0
f r a g m e n t e m a m a
n a j m n i e j s z e n e r g i .
t = "
"t
"
"
W m o m e n c i e c z a s u t = 0 o d c i n e k b m a n a j w i k s z e n e r g i .
W m o m e n c i e "t f r a g m e n t s s i a d u j c y z p r a w e j s t r o n y z
f r a g m e n t e m b m a n a j w i k s z e n e r g i .
S z y b k o [ p r z e n o s z e n i a
e n e r g i i k i n e t y c z n e j
E n e r g i a k i n e t y c z n a d E k e l e m e n t u l i n y o m a s i e d m :
1
d E k = d m u 2 .
2
"y x , t
( )
u x , t = = y m És i n k x - Ét .
( ) ( )
"t
1
2
d E k = Ád x Éy m s i n 2 k x - Ét .
( ) ( ) ( )
2
d E k 1 d x 2 1
ëøÁ öø
= Éy m s i n 2 k x - Ét = Áv É2 y 2 s i n 2 k x - Ét .
( ) ( ) ( )
ìø ÷ø m
d t 2 d t 2
íø øø
U [r e d n i a m y p o c a Bk o w i t e j
l i c z b i e o k r e s ó w
n T
1
2
îø
( ) ûø ( )
+"
ðøs i n k x - Ét ùøs r = n T 0 s i n 2 k x - Ét d t =
1 1
îøn T s i n 2 k x - Ét d Ét =
=
( ) ( ) ùø
+"
ïø 0 úø
ðø ûø
T É n
T É
1
= s i n 2 k x - s d s =
( )
+"
0
T 2 À / T
( )
2 À
1
= s i n 2 k x - s d s .
( )
+"
0
2 À
Zr e d n i a s z y b k o [ p r z e n o s z e n i a
e n e r g i i k i n e t y c z n e j
d E k 1
ëø öø
îø ùøs r
= Áv É2 y 2 ðøs i n 2 k x - Ét .
( ) ûø
m
ìø ÷ø
d t
íø øøs r 2
U [r e d n i e n i e p o o k r e s i e T :
T
1
2
îø
( ) ûø ( )
+"
ðøs i n k x - Ét ùøs r = T 0 s i n 2 k x - Ét d t =
T T É
1 ëø öø 1
= s i n 2 k x - Ét d = s i n 2 k x - s d s =
( ) ( )
ìøÉt ÷ø
+" +"
0 0
T É T 2 À / T
( )
s
íø øø
2 À
1
= s i n 2 k x - s d s .
( )
+"
0
2 À
I
O b l i c z e n i e c a Bk i o z n a c z o n e j I
2 À
I = s i n 2 s - k x d s .
( )
+"
0
T o \s a m o [ t r y g o n o m e t r y c z n a :
s i n 2 x + c o s 2 x - c o s 2 x - s i n 2 x
1 - c o s 2 x ( )
( )
= = s i n 2 x .
2 2
C a Bk a n i e o z n a c z o n a :
1 1 1
J = ùø
+"d u s i n 2 u = 2 +"d u îø c o s ( 2 u ) ûø = 2 u - 4 s i n ( 2 u ) .
ðø1 -
0 6 . 1 2 - 1 0
C a Bk a n i e o z n a c z o n a
x
I x =
( )
+"d x ' f ( x ' )
I ( x ) j e s t f u n k c j g ó r n e j g r a n i c y
Z b a d a m y i l o r a z r ó \n i c o w y
x + "x x
I x + "x - I x
( ) ( )
1
îø
= l i m f x ' d x ' - f x ' d x ' ùø =
( ) ( )
+" +"
ïø úø
"x ’!0
ðø ûø
"x "x
x + "x
f x ' d x '
( )
f x "x
( )
+"
x
= l i m = l i m = f x
( )
"x ’!0 "x ’!0
"x "x
d I x
( )
= f x .
( )
d x
O b l i c z e n i e c a Bk i I
2 À 2 À- k x
1 - c o s 2 u
1 1 [ ] d u
I = s i n 2 s - k x d s - k x =
( ) ( )
+" +"
0 - k x
2 À 2 À 2
u
2 À- k x
1 1
2 À- k x
= u - c o s 2 u =
( )
- k x
- k x
4 À 8 À
îø ùø
1 1
ïøc o s k x - 4 À - c o s k x =
= 2 À - k x + k x -
( ) ( ) ( ) úø
ïø úø
4 À 8 À
ðø c o s k x ûø
1
=
d I u
( )
1 1 1
2
I u = u - c o s 2 u Ò! = 1 - c o s 2 u
( ) ( ) [ ]
4 À 8 À d u 2
Zr e d n i a w a r t o [ p r d k o [c i
p r z e n o s z e n i a e n e r g i i k i n e t y c z n e j
d E k 1
ëø öø
îø ùøs r
= Áv É2 y 2 ðøs i n 2 k x - Ét =
( ) ûø
m
ìø ÷ø
d t
íø øøs r 2
1
= Áv É2 y 2 .
m
4
Zr e d n i a m o c
Zr e d n i a m o c = [r e d n i a s z y b k o [ z j a k s
p r z e n o s z o n e o b y d w a r o d z a j e e n e r g i i
d E s p r
ëø öø
d E k
ëø öø
P o n i e w a \:
P s r = = .
ìø ÷ø
ìø ÷ø
d t
íø øøs r íø d t øøs r
1
P s r = Áv É2 y 2 .
m
2
R e l a c j a s Bu s z n a d l a w s z y s t k i c h r o d z a j ó w f a l .
D r u g a p o c h o d n a w y c h y l e n i a
w z g l d e m c z a s u
y ( x , t ) = y m c o s ( k x - Ét )
"2 y x , t
( )
"2 c o s ( k x - Ét )
= y m = - É2 y m c o s ( k x - Ét ) =
"t 2 "t 2
= - É2 y x , t
( )
D r u g a p o c h o d n a w y c h y l e n i a
w z g l d e m x
"2 y x , t
( )
"2 c o s ( k x - Ét )
= y m = - k 2 y m c o s ( k x - Ét ) =
"x 2 "x 2
2
2 À
öø
= - k 2 y x , t = - ëø y x , t =
( ) ( )
ìø ÷ø
»
íø øø
2
ëø öø
2
ëø öø
2 À 1 2 À
÷ø
= - ìø y x , t = - ìø y x , t =
( ) ( )
÷ø
ìø ÷ø
v f T v f T
íø øø
ìø ÷ø
íø É øø
2
ëø öø
É
- 2 - 2
= - ìø y x , t = - v f É2 y x , t = - v f "2 y / "t 2 .
( ) ( )
v f ÷ø
íø øø
"2 y / "t 2
R ó w n a n i e f a l o w e
"2 y x , t "2 y x , t
( ) ( )
1
= .
2
"x 2 v f "t 2
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