Wykład 05
Witold Obłoza
20 stycznia 2011
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 41 (KRYTERIUM d Alemberta)
"
Niech bedzie dany szereg an taki, że "n an > 0 i niech istnieje
n=1
"
an+1
granica lim = g. Jeżeli g < 1 to szereg an jest zbieżny,
an
n"
n=1
" "
a gdy g > 1 to szereg an jest rozbieżny. Jeżeli g = 1 to szereg an
n=1 n=1
może być zbieżny lub rozbiezny.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
DOWÓD:
1+g
Niech g > 1 wówczas "n0 takie, że "n > n0 an+1 > > 1.
an 2
n-n0-1
1+g
Zatem "n > n0 an e" · an +1,
0
2
"
Szereg an ma minorantę rozbieżną
n=1
zatem jest rozbieżny.
Dowód dla g < 1 jest analogiczny.
"
an+1
1
Dla szergu zbieżnego lim = 1,
n2 n"
an
n=1
"
an+1
1
ale i dla szeregu rozbieżnego lim = 1.
n
n"
an
n=1
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
UWAGA 42
Następujące szeregi są zbieżne:
" "
nk an " n!
dla k " R i a > 1, , .
an n! nn
n=1 n=1 n=1
Wynika stąd, że
nk an n!
lim = 0, lim = 0, lim = 0.
n" n" n"
an n! nn
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
" "
Niech bedzie dany szereg an taki, że szereg |an| jest zbieżny
n=1 n=1
"
wtedy szereg an jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
n n
Niech Sn = ak, Tn = |ak| wtedy dla m > n mamy
k=1 k=1
|Sm - Sn| d" Tm - Tn.
Jeśli Tn spełnia warunek Cauchyego to Sn również.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
" "
Niech bedzie dany szereg an taki, że szereg |an| jest zbieżny
n=1 n=1
"
wtedy szereg an jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
n n
Niech Sn = ak, Tn = |ak| wtedy dla m > n mamy
k=1 k=1
|Sm - Sn| d" Tm - Tn.
Jeśli Tn spełnia warunek Cauchyego to Sn również.
KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW LICZBOWYCH
TWIERDZENIE 43
" "
Niech bedzie dany szereg an taki, że szereg |an| jest zbieżny
n=1 n=1
"
wtedy szereg an jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
n n
Niech Sn = ak, Tn = |ak| wtedy dla m > n mamy
k=1 k=1
|Sm - Sn| d" Tm - Tn.
Jeśli Tn spełnia warunek Cauchyego to Sn również.
ZBIEZNOŚĆ BEZWZGL
DNA I WARUNKOWA
DEFINICJA 44
" "
Niech bedzie dany szereg an jeżeli szereg |an| jest zbieżny to
n=1 n=1
"
mówimy, że szereg an jest zbieżny bezwzglednie. Jeżeli szereg
n=1
" "
|an| jest rozbieżny, a szereg an jest zbieżny to mówimy, że szereg
n=1 n=1
"
an jest zbieżny warunkowo.
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
TWIERDZENIE 45
"
Jeżeli ciag sum cześciowych szeregu an jest ograniczony a ciag {bn}
n=1
"
jest nierosnacy i zbieżny do zera to anbn jest zbieżny.
n=1
DOWÓD:
k
Niech Ak = an i "k " N |Ak| d" M.
n=1
Dla q > p > 1 mamy
q q q q
anbn = (An - An-1)bn = Anbn - An-1bn =
n=p+1 n=p+1 n=p+1 n=p+1
q q-1 q-1
Anbn - Anbn+1 = An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1.
n=p+1 n=p n=p+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
q q-1
|Sq - Sp| = | anbn| = | An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1| d"
n=p+1 n=p+1
q-1
|M| |bn - bn+1| + |bq| + |bp+1| = 2Mbp+1.
n=p+1
µ
Z drugiej strony "µ > 0 "n0 "q > p > n0 bp+1 < ,
2M
a co za tym idzie |Sq - Sp| < µ.
Zatem {Sn} jest ciągiem Cauchy ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
q q-1
|Sq - Sp| = | anbn| = | An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1| d"
n=p+1 n=p+1
q-1
|M| |bn - bn+1| + |bq| + |bp+1| = 2Mbp+1.
n=p+1
µ
Z drugiej strony "µ > 0 "n0 "q > p > n0 bp+1 < ,
2M
a co za tym idzie |Sq - Sp| < µ.
Zatem {Sn} jest ciągiem Cauchy ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
q q-1
|Sq - Sp| = | anbn| = | An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1| d"
n=p+1 n=p+1
q-1
|M| |bn - bn+1| + |bq| + |bp+1| = 2Mbp+1.
n=p+1
µ
Z drugiej strony "µ > 0 "n0 "q > p > n0 bp+1 < ,
2M
a co za tym idzie |Sq - Sp| < µ.
Zatem {Sn} jest ciągiem Cauchy ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
q q-1
|Sq - Sp| = | anbn| = | An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1| d"
n=p+1 n=p+1
q-1
|M| |bn - bn+1| + |bq| + |bp+1| = 2Mbp+1.
n=p+1
µ
Z drugiej strony "µ > 0 "n0 "q > p > n0 bp+1 < ,
2M
a co za tym idzie |Sq - Sp| < µ.
Zatem {Sn} jest ciągiem Cauchy ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Zauważmy jeszcze, że
q q-1
|Sq - Sp| = | anbn| = | An(bn - bn+1) + Aqbq - Apbp+1| d"
n=p+1 n=p+1
q-1
|M| |bn - bn+1| + |bq| + |bp+1| = 2Mbp+1.
n=p+1
µ
Z drugiej strony "µ > 0 "n0 "q > p > n0 bp+1 < ,
2M
a co za tym idzie |Sq - Sp| < µ.
Zatem {Sn} jest ciągiem Cauchy ego i jako taki jest zbieżny do granicy
właściwej.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKA
AD 46
"
cos nx
Dla x = 2kĄ i p > 0 szereg jest zbieżny.

np
n=1
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
1 + cosnx - cos(n + 1)x - cosx
cos kx = - 1.
2(1 - cosx)
k=1
"
Wynika stad, że ciag sum cześciowych szeregu coskx jest ograniczony,
k=1
1
a { }" jest malejacy i ma granice zero przy n zmierzajacym do
np n=1
nieskończoności.
"
cos nx
Na mocy Twierdzenia 44 szereg jest zbieżny.
np
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKA
AD 46
"
cos nx
Dla x = 2kĄ i p > 0 szereg jest zbieżny.

np
n=1
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
1 + cosnx - cos(n + 1)x - cosx
cos kx = - 1.
2(1 - cosx)
k=1
"
Wynika stad, że ciag sum cześciowych szeregu coskx jest ograniczony,
k=1
1
a { }" jest malejacy i ma granice zero przy n zmierzajacym do
np n=1
nieskończoności.
"
cos nx
Na mocy Twierdzenia 44 szereg jest zbieżny.
np
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKA
AD 46
"
cos nx
Dla x = 2kĄ i p > 0 szereg jest zbieżny.

np
n=1
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
1 + cosnx - cos(n + 1)x - cosx
cos kx = - 1.
2(1 - cosx)
k=1
"
Wynika stad, że ciag sum cześciowych szeregu coskx jest ograniczony,
k=1
1
a { }" jest malejacy i ma granice zero przy n zmierzajacym do
np n=1
nieskończoności.
"
cos nx
Na mocy Twierdzenia 44 szereg jest zbieżny.
np
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKA
AD 46
"
cos nx
Dla x = 2kĄ i p > 0 szereg jest zbieżny.

np
n=1
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
1 + cosnx - cos(n + 1)x - cosx
cos kx = - 1.
2(1 - cosx)
k=1
"
Wynika stad, że ciag sum cześciowych szeregu coskx jest ograniczony,
k=1
1
a { }" jest malejacy i ma granice zero przy n zmierzajacym do
np n=1
nieskończoności.
"
cos nx
Na mocy Twierdzenia 44 szereg jest zbieżny.
np
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
PRZYKA
AD 46
"
cos nx
Dla x = 2kĄ i p > 0 szereg jest zbieżny.

np
n=1
Rzeczywiście zachodzi wzór
n
1 + cosnx - cos(n + 1)x - cosx
cos kx = - 1.
2(1 - cosx)
k=1
"
Wynika stad, że ciag sum cześciowych szeregu coskx jest ograniczony,
k=1
1
a { }" jest malejacy i ma granice zero przy n zmierzajacym do
np n=1
nieskończoności.
"
cos nx
Na mocy Twierdzenia 44 szereg jest zbieżny.
np
n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
"
Mówimy że szereg (-1)nan jest szeregiem naprzemiennym
n=1
jeżeli "n " N an e" an+1 > 0 i lim an = 0.
n"
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
"
Mówimy że szereg (-1)nan jest szeregiem naprzemiennym
n=1
jeżeli "n " N an e" an+1 > 0 i lim an = 0.
n"
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
"
Mówimy że szereg (-1)nan jest szeregiem naprzemiennym
n=1
jeżeli "n " N an e" an+1 > 0 i lim an = 0.
n"
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 47
"
Mówimy że szereg (-1)nan jest szeregiem naprzemiennym
n=1
jeżeli "n " N an e" an+1 > 0 i lim an = 0.
n"
TWIERDZENIE 48
Każdy szereg naprzemienny jest szeregiem zbieżnym.
DOWÓD:
Jest to prosty wniosek z Twierdzenia 44.
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
" "
Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy szereg
n=1 n=1
" n
cn, gdzie cn = akbn+1-k.
n=1 k=1
TWIERDZENIE 50
" "
Jeżeli szereg an jest bezwzglednie zbieżny, a szereg bn jest
n=1 n=1
"
zbieżny to zbieżny jest cn iloczyn Cauchy ego tych szeregów.
n=1
" " "
Ponadto, jeżeli an = A oraz bn = B to cn = AB.
n=1 n=1 n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
" "
Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy szereg
n=1 n=1
" n
cn, gdzie cn = akbn+1-k.
n=1 k=1
TWIERDZENIE 50
" "
Jeżeli szereg an jest bezwzglednie zbieżny, a szereg bn jest
n=1 n=1
"
zbieżny to zbieżny jest cn iloczyn Cauchy ego tych szeregów.
n=1
" " "
Ponadto, jeżeli an = A oraz bn = B to cn = AB.
n=1 n=1 n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
" "
Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy szereg
n=1 n=1
" n
cn, gdzie cn = akbn+1-k.
n=1 k=1
TWIERDZENIE 50
" "
Jeżeli szereg an jest bezwzglednie zbieżny, a szereg bn jest
n=1 n=1
"
zbieżny to zbieżny jest cn iloczyn Cauchy ego tych szeregów.
n=1
" " "
Ponadto, jeżeli an = A oraz bn = B to cn = AB.
n=1 n=1 n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
" "
Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy szereg
n=1 n=1
" n
cn, gdzie cn = akbn+1-k.
n=1 k=1
TWIERDZENIE 50
" "
Jeżeli szereg an jest bezwzglednie zbieżny, a szereg bn jest
n=1 n=1
"
zbieżny to zbieżny jest cn iloczyn Cauchy ego tych szeregów.
n=1
" " "
Ponadto, jeżeli an = A oraz bn = B to cn = AB.
n=1 n=1 n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DEFINICJA 49
" "
Iloczynem Cauchy ego szeregów an, bn nazywamy szereg
n=1 n=1
" n
cn, gdzie cn = akbn+1-k.
n=1 k=1
TWIERDZENIE 50
" "
Jeżeli szereg an jest bezwzglednie zbieżny, a szereg bn jest
n=1 n=1
"
zbieżny to zbieżny jest cn iloczyn Cauchy ego tych szeregów.
n=1
" " "
Ponadto, jeżeli an = A oraz bn = B to cn = AB.
n=1 n=1 n=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
DOWÓD:
" n n
Dla n e" 1 oznaczmy An = ak Bn = bk Cn = ck
k=1 k=1 k=1
"
²n = B - Bn Ä… = |ak|. Mamy
k=1
n k n n n
Cn = ambk+1-m = ambk+1-m = amBn+1-m =
k=1 m=1 m=1 k=m m=1
n n n
amB + am(Bn+1-m - B) = AnB - am²n+1-m
m=1 m=1 m=1
n
Niech Å‚n = am²n+1-m. Wystarczy pokazać, że lim Å‚n = 0.
n"
m=1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim ²n = 0 możemy wybrać n0 tak duże aby "n e" n0
n"
µ
|²n| < .
2Ä…
Wybierajac n1 tak duże aby "n e" n1 zachodziła nierówność
µ
|an| < otrzymujemy dla n > n0 + n1
2n0max{|²q| : q " N}
n-n0 n
µ µ
|Å‚n| d" | am²n+1-m| + | am²n+1-m| < + = µ.
2 2
m=1 m=n-n0+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim ²n = 0 możemy wybrać n0 tak duże aby "n e" n0
n"
µ
|²n| < .
2Ä…
Wybierajac n1 tak duże aby "n e" n1 zachodziła nierówność
µ
|an| < otrzymujemy dla n > n0 + n1
2n0max{|²q| : q " N}
n-n0 n
µ µ
|Å‚n| d" | am²n+1-m| + | am²n+1-m| < + = µ.
2 2
m=1 m=n-n0+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim ²n = 0 możemy wybrać n0 tak duże aby "n e" n0
n"
µ
|²n| < .
2Ä…
Wybierajac n1 tak duże aby "n e" n1 zachodziła nierówność
µ
|an| < otrzymujemy dla n > n0 + n1
2n0max{|²q| : q " N}
n-n0 n
µ µ
|Å‚n| d" | am²n+1-m| + | am²n+1-m| < + = µ.
2 2
m=1 m=n-n0+1
SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH
Z uwagi na lim ²n = 0 możemy wybrać n0 tak duże aby "n e" n0
n"
µ
|²n| < .
2Ä…
Wybierajac n1 tak duże aby "n e" n1 zachodziła nierówność
µ
|an| < otrzymujemy dla n > n0 + n1
2n0max{|²q| : q " N}
n-n0 n
µ µ
|Å‚n| d" | am²n+1-m| + | am²n+1-m| < + = µ.
2 2
m=1 m=n-n0+1
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
O(x0, µ) := {x " R : |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ).
Otoczeniem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := [x0, x0 + µ).
Otoczeniem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := (x0 - µ, x0].
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
O(x0, µ) := {x " R : |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ).
Otoczeniem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := [x0, x0 + µ).
Otoczeniem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := (x0 - µ, x0].
OTOCZENIA
DEFINICJA 51
Otoczeniem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
O(x0, µ) := {x " R : |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ).
Otoczeniem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := [x0, x0 + µ).
Otoczeniem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór O+(x0, µ) := (x0 - µ, x0].
S
SIEDZTWA
DEFINICJA 52
Sasiedztwem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
S(x0, µ) := {x " R : 0 < |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ) \ {x0}.
Sasiedztwem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0
nazywamy zbiór S+(x0, µ) := (x0, x0 + µ).
Sasiedztwem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór S-(x0, µ) := (x0 - µ, x0).
Sasiedztwem " nazywamy zbiór postaci S(") := (a, ").
Sasiedztwem -" nazywamy zbiór postaci S(-") := (-", a), gdzie
a " R.
S
SIEDZTWA
DEFINICJA 52
Sasiedztwem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
S(x0, µ) := {x " R : 0 < |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ) \ {x0}.
Sasiedztwem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0
nazywamy zbiór S+(x0, µ) := (x0, x0 + µ).
Sasiedztwem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór S-(x0, µ) := (x0 - µ, x0).
Sasiedztwem " nazywamy zbiór postaci S(") := (a, ").
Sasiedztwem -" nazywamy zbiór postaci S(-") := (-", a), gdzie
a " R.
S
SIEDZTWA
DEFINICJA 52
Sasiedztwem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
S(x0, µ) := {x " R : 0 < |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ) \ {x0}.
Sasiedztwem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0
nazywamy zbiór S+(x0, µ) := (x0, x0 + µ).
Sasiedztwem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór S-(x0, µ) := (x0 - µ, x0).
Sasiedztwem " nazywamy zbiór postaci S(") := (a, ").
Sasiedztwem -" nazywamy zbiór postaci S(-") := (-", a), gdzie
a " R.
S
SIEDZTWA
DEFINICJA 52
Sasiedztwem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
S(x0, µ) := {x " R : 0 < |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ) \ {x0}.
Sasiedztwem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0
nazywamy zbiór S+(x0, µ) := (x0, x0 + µ).
Sasiedztwem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór S-(x0, µ) := (x0 - µ, x0).
Sasiedztwem " nazywamy zbiór postaci S(") := (a, ").
Sasiedztwem -" nazywamy zbiór postaci S(-") := (-", a), gdzie
a " R.
S
SIEDZTWA
DEFINICJA 52
Sasiedztwem punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy zbiór
S(x0, µ) := {x " R : 0 < |x - x0| < µ} = (x0 - µ, x0 + µ) \ {x0}.
Sasiedztwem prawostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0
nazywamy zbiór S+(x0, µ) := (x0, x0 + µ).
Sasiedztwem lewostronnym punktu x0 " R o promieniu µ > 0 nazywamy
zbiór S-(x0, µ) := (x0 - µ, x0).
Sasiedztwem " nazywamy zbiór postaci S(") := (a, ").
Sasiedztwem -" nazywamy zbiór postaci S(-") := (-", a), gdzie
a " R.