ÿþD y n a m i k a , c d .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
C i |a r c i a Ba a j e g o m a s a
nð
P o n i e w a | a = F / m , t o i m w i k s z a m a s a c i a Ba , t y m w i k s z e j
m u s i m y u |y s i By , a b y p r z y s p i e s z e n i e c i a Ba p o z o s t a Bo b e z
z m i a n y m a s a j e s t w i c m i a r b e z w Ba d n o [c i c i a Ba .
nð
T o w Ba [n i e d l a t e g o k o n s t r u k t o r z y s a m o c h o d ó w s t a r a j s i
z m n i e j s z a i c h m a s , b y u z y s k a w i k s z e p r z y s p i e s z e n i a
p r z y t e j s a m e j m o c y s i l n i k a , t o d l a t e g o o t w a r c i e
m a s y w n y c h w r ó t w y m a g a w i k s z e j s i By , n i | o t w a r c i e
z w y k By c h d r z w i .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
C i |a r
S i B c i |k o [c i
S i B c i |k o [c i
w y r a |a m y w n i u t o n a c h
w y r a |a m y w n i u t o n a c h
J a k i j e s t c i |a r c i a Ba o m a s i e 7 0 k g ?
[ N ] .
[ N ] .
M a s w y r a |a m y w
M a s w y r a |a m y w
C i |a r c i a Ba o m a s i e 7 0 k g w y n o s i w p r z y b l i |e n i u :
k i l o g r a m a c h k g .
k i l o g r a m a c h k g .
D l a c i a B u m i e s z c z o n y c h
D l a c i a B u m i e s z c z o n y c h
w p o b l i |u p o w i e r z c h n i
w p o b l i |u p o w i e r z c h n i
Z i e m i c i |a r ( l i c z b o w o )
Z i e m i c i |a r ( l i c z b o w o )
j e s t o k . 1 0 r a z y
j e s t o k . 1 0 r a z y
w i k s z y o d i c h m a s .
w i k s z y o d i c h m a s .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
C i |a r
S i Ba , z j a k Z i e m i a p r z y c i g a k a |d e c i a Bo j e s t o d w r o t n i e p r o p o r c j o n a l n a d o
k w a d r a t u o d l e g Bo [c i c i a Ba o d j e j [r o d k a .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
S i Ba n o r m a l n a
nð
G d y c i a Bo n a c i s k a n a p o w i e r z c h n i , u l e g a
o n a d e f o r m a c j i i d z i a Ba n a c i a Bo s i B
n o r m a l n N p r o s t o p a d B d o p o w i e r z c h n i .
nð
A n a l i z a d i a g r a m u s i B:
I I z a s a d a d y n a m i k i : F w y p , y = m a y
N F g = m a y
N = m g + m a y = m ( g + a y )
J e [l i s t ó B i k l o c e k n i e p o r u s z a j s i r u c h e m
p r z y s p i e s z o n y m w z g l d e m Z i e m i ,
a y = 0 = > N = m g
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
T a r c i e
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
T a r c i e
T a r c i e j e s t s i B, k t ó r a p r z e c i w s t a w i a s i r u c h o w i
o b i e k t ó w . S i Ba t a j e s t z a w s z e s k i e r o w a n a p r z e c i w n i e
d o p r d k o [c i .
a ) . K l o c e k s p o c z y w a s i Ba c i |k o [c i F g
r ó w n o w a |o n a p r z e z s i B n a c i s k u N .
b ) . K i e d y d z i a Ba m y n a c i a Bo s i B F , p o j a w i a j c a s i
s i Ba t a r c i a f s s k i e r o w a n a w p r z e c i w n s t r o n , k t ó r a
p r z e c i w d z i a Ba r u c h o w i . W r e z u l t a c i e c i a Bo
p o z o s t a j e w s p o c z y n k u . S i Ba t a r c i a m a j e d n a k
p e w n w a r t o [ g r a n i c z n , z w a n s i B t a r c i a
s t a t y c z n e g o . W a r u n e k p o z o s t a w a n i a c i a Ba w
s p o c z y n k u m o |e m y w i c z a p i s a w p o s t a c i 0 < F < f s
c i d ) . G d y z w i k s z a s i w a r t o [ p r z y k Ba d a n e j s i By ,
w a r t o [ s i By f s t a k |e w z r a s t a , a g d y o s i g a w a r t o [
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
g r a n i c z n &
T a r c i e
e ) . J e |e l i s i Ba F b d z i e w i k s z a o d f s c i a Bo
z a c z n i e s i p o r u s z a r u c h e m j e d n o s t a j n i e
p r z y s p i e s z o n y m , a l e p r z y s p i e s z e n i e b d z i e
j e d n a k m n i e j s z e n i | w p r z y p a d k u d z i a Ba n i a
t y l k o s i By F , b o w i e m s i Ba t a r c i a , z w a n a s i B
t a r c i a k i n e t y c z n e g o f k b d z i e
p r z e c i w d z i a Ba r u c h o w i . Z a l e |n o [c i t e
m o |e m y z a p i s a n a s t p u j c o :
m a = F f k
f i w y k r e s ) . A b y c i a Bo p o r u s z a Bo s i r u c h e m
j e d n o s t a j n y m , z a z w y c z a j k o n i e c z n e j e s t
z m n i e j s z e n i e p r z y k Ba d a n e j s i By
T a r c i e s t a t y c z n e > T a r c i e k i n e t y c z n e
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
M e c h a n i z m t a r c i a
nð
yr ó d Be m t a r c i a s t a t y c z n e g o s
p u n k t o w e o d d z i a By w a n i a
a t o m o w e .
nð
E f e k t y d zw i k o w e
s t o w a r z y s z o n e z t a r c i e m ( n p .
p r z y o s t r y m h a m o w a n i u
s a m o c h o d u , o t w i e r a n i u d r z w i z
z a r d z e w i a By m i z a w i a s a m i ) s
z w i z a n e z e s k o k o w y m
c h a r a k t e r e m r u c h u [l i z g o w e g o .
nð
T a r c i u z a w d z i c z a m y d zw i k i
s k r z y p i e c .
3 - w y m i a r o w y o b r a z ( z m i k r o s k o p u s i B a t o m o w y c h )
w y p o l e r o w a n e j ( l u s t r z a n e j ) p o w i e r z c h n i z e s t a l i
( w y m i a r o b r a z u w k i e r u n k u X i Y : 3 µ m , Z : 4 0 n m
c z y l i 3 . o 1 0 - 3 m m × 3 . o 1 0 - 3 m m × 4 . o 1 0 - 5 m m )
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
W Ba [c i w o [c i s i By t a r c i a
nð
J e [l i c i a Bo s i n i e p o r u s z a , t o s i Ba t a r c i a s t a t y c z n e g o f s o r a z s k Ba d o w a s i By
F r ó w n o l e g Ba d o p o w i e r z c h n i , r ó w n o w a | s i . S i By m a j j e d n a k o w
w a r t o [, a f s j e s t p r z e c i w n i e s k i e r o w a n a d o s k Ba d o w e j r ó w n o l e g Be j s i By F .
nð
M a k s y m a l n a w a r t o [ s i By f s o z n a c z m y j f s , m a x , d a n a j e s t w z o r e m :
f s , m a x = µ s N ,
g d z i e µ s j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m t a r c i a s t a t y c z n e g o , N t o w a r t o [ s i By n o r m a l n e j
( d z i a Ba j c e j z e s t r o n y p o w i e r z c h n i ) .
nð
J e [l i c i a Bo [l i z g a s i p o p o w i e r z c h n i , w a r t o [ t a r c i a m a l e j e d o w a r t o [c i :
f k = µ k N , g d z i e µ k j e s t w s p ó Bc z y n n i k i e m t a r c i a k i n e t y c z n e g o .
µ k i µ s s b e z w y m i a r o w e , z a l e | o d w Ba [c i w o [c i c i a Ba .
µ k i µ s s b e z w y m i a r o w e , z a l e | o d w Ba [c i w o [c i c i a Ba .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
S I AY T A R C I A
Øð
S i Ba t a r c i a Ò! d z i a Ba z a w s z e w k i e r u n k u p r z e c i w n y m d o k i e r u n k u r u c h u .
S i Ba t a r c i a Ò! j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o s i By n a c i s k u : F t a r c i a " N
Øð
Øð
S i Ba t a r c i a Ò! z a l e |n o [ o d m a t e r i a Bu o b u p o w i e r z c h n i o d z w i e r c i e d l a s i w w i e l k o [c i
w s p ó Bc z y n n i k a t a r c i a µ
Øð
T a r c i e s t a t y c z n e : f s d" µ s N , µ s Ô! w s p ó Bc z y n n i k t a r c i a s t a t y c z n e g o .
J a k w y z n a c z y µ s ?
W m o m e n c i e k i e d y c i a Bo w Ba [n i e z a c z y n a r u s z a z m i e j s c a p o d w p By w e m z e w n t r z n e j s i By
( n i e m a j e s z c z e p r z y s p i e s z e n i a w i c s i By s i r ó w n o w a |) , w t e d y f s = µ s N
Øð
T a r c i e k i n e t y c z n e : f k = µ k N µ s Ô! w s p ó Bc z y n n i k t a r c i a k i n e t y c z n e g o
J a k w y z n a c z y µ k ?
T o r ó w n a n i e j e s t s p e Bn i o n e k i e d y c i a Bo p r z y s p i e s z a s i Ba w y p a d k o w a j e s t r ó |n a o d z e r a , l u b
p o r u s z a s i z e s t a B p r d k o [c i - s i By s i r ó w n o w a |.
Z w y k l e µ k < µ s
N a u k a o t a r c i u Ò! T r y b o l o g i a
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
T a r c i e
nð
J a k b e z u |y c i a n a r z d z i w y c i a g n
w b i t y c z [c i o w o w d e s k g w o zd z?
W w y c i g a n y m g w o zd z i u s i By t a r c i a
p r z e c i w d z i a Ba j j e g o w y c i g n i c i u . J e [l i
z a g n i e m y g w ó zd z, z a g i t a c z [ u m o |l i w i
o b r a c a n i e w o b r a c a n y m g w o zd z i u s i By
t a r c i a s k i e r o w a n e s w z d Bu | k i e r u n k u r u c h u
c z y l i o b w o d o w o , a w i c p r z y c z y n e k o d
k i e r u n k u w z d Bu | g w o zd z i a b d z i e n i e w i e l k i .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d : T a r c i e
C i a Bo o m a s i e m n a r ó w n i p o c h y Be j o k c i e
p o c h y l e n i a ¸. W s p ó Bc z y n n i k t a r c i a w y n o s i µ º = µ .
S u m a r z u t ó w s i B n a k i e r u n e k I I
F D - f = m a
f
S u m a r z u t ó w s i B n a k i e r u n e k ¥" r ó w n a j e s t 0 : N - m g = 0
a
F D = Q s i n ¸ = m g s i n ¸
N
F D = Q s i n ¸
f = µ N = µ m g c o s ¸
a = g ( s i n ¸ - µ c o s ¸)
¸
¸
Q c o s ¸
Q
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
T a r c i e
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d : R u c h z e s t a By m p r z y s p i e s z e n i e m
nð
W y p a d k o w a s i Ba d z i a Ba j c a n a o b i e k t j e s t n i e z e r o w a :
"F = m a
i
i
T y l k o d l a s k Ba d o w e j y
a
T - m 1 g = m 1 a
ñø
T T
òø
óøT - m 2 g = m 2 ( - a )
m 2 - m 1
a = g
Q 1
m 1 + m 2
y
a m 1 m 2
Q 2
T = 2 g
m 1 + m 2
x
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a , e n e r g i a i z a s a d y
z a c h o w a n i a
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P l a n
nð
E n e r g i a , p r a c a i m o c
nð
Z a s a d y z a c h o w a n i a
nð
U k Ba d y p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
nð
Z d e r z e n i a
nð
B r y Ba s z t y w n a
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
E n e r g i a
nð
E n e r g i a k i n e t y c z n a
nð
E n e r g i a p o t e n c j a l n a
nð
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
E n e r g i a k i n e t y c z n a
nð
J e s t t o e n e r g i a z w i z a n a z e s t a n e m r u c h u
c i a Ba .
nð
E n e r g i a k i n e t y c z n a c i a Ba o m a s i e m
i p r d k o [c i v :
1
E k = m v 2
2
nð
J e d n o s t k e n e r g i i j e s t d |u l ( J ) .
1 d |u l = 1 J = 1 k g m 2 / s 2
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
P r a c a j e s t j e d n z f o r m e n e r g i i .
nð
P o d w p By w e m d z i a Ba n i a s i By z w y k l e
z a c h o d z i p r z e m i e s z c z e n i e c i a Ba .
M ó w i m y w ó w c z a s , |e s i Ba w y k o n u j e
p r a c .
nð
P r a c a w y k o n y w a n a j e s t
nð
J e |e l i s i Ba m a s t a B w a r t o [, t o c i a Bo
j e d y n i e p r z e z s k Ba d o w s i By
p r z e m i e s z c z a s i p o t o r z e
r ó w n o l e g B d o k i e r u n k u
p r o s t o l i n i o w y m .
r u c h u . S k Ba d o w a p r o s t o p a d Ba
nð
J e |e l i n a c i a Bo d z i a Ba w i e l e s i B, t o
|a d n e j p r a c y n i e w y k o n u j e .
c a Bk o w i t a p r a c a n a d c i a Be m b d z i e
P a m i t a j m y o t y m p r z y
s u m p r a c w y k o n a n y c h p r z e z
p r z e s u w a n i u c i |k i c h
p o s z c z e g ó l n e s i By .
p r z e d m i o t ó w !
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
P o n i e w a | t y l k o s k Ba d o w a s i By | | d o k i e r u n k u r u c h u s
w y k o n u j e p r a c :
F t = F c o s ±
t o p r a c m o |n a w y r a z i w z o r e m :
W = F s c o s ±
l u b k o r z y s t a j c z d e f i n i c j i i l o c z y n u s k a l a r n e g o :
W = F Å" s
nð
W y m i a r e m p r a c y j e s t [ W ] = J = N Å"m = k g Å" m 2 / s 2 .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
W = F s c o s ±
nð
Z a l e |n i e o d w a r t o [c i k t a m i d z y k i e r u n k i e m
d z i a Ba n i a s i By F a k i e r u n k i e m p r z e s u n i c i a c i a Ba s ,
p r a c a m o |e m i e z n a k d o d a t n i , u j e m n y l u b b y r ó w n a
z e r u :
qð
p r a c a d o d a t n i a p r z e m i e s z c z e n i e z g o d n e z
k i e r u n k i e m s i By ,
qð
p r a c a u j e m n a p r z e m i e s z c z e n i e p r z e c i w n e d o
k i e r u n k u s i By ,
qð
p r a c a r ó w n a z e r o g d y k t m i d z y F i s j e s t r ó w n y
À/ 2 , a w i c s i Ba n i e m a s k Ba d o w e j w k i e r u n k u
p r z e m i e s z c z e n i a .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
N a p u d e Bk o [l i z g a j c e
s i b e z t a r c i a w p r a w
s t r o n d z i a Ba s i Ba F
j a k a p r a c a z o s t a n i e
w y k o n a n a , g d y s i Ba t a
b d z i e m i a Ba
p o k a z a n e n a r y s u n k u
k i e r u n k i ?
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a w r u c h u p o t o r z e k r z y w o l i n i o w y m
nð
A b y o b l i c z y p r a c , d z i e l i m y d r o g
n a w i e l e m a By c h o d c i n k ó w ”s i
( i = 1 , 2 , & n ) .
nð
N a k a |d y m z o d c i n k ó w d z i a Ba j c
s i B F i m o |n a u w a |a z a s t a B.
nð
P r a c a ”W i , w y k o n a n a n a
p o j e d y n c z y m o d c i n k u , w y n o s i :
nð
P r a c a c a Bk o w i t a :
"W i H" F i Å" "s i
n n
W H"
""W = "F Å" "s i
i i
i = 1 i = 1
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
G r a n i c t e j s u m y n a z y w a m y c a Bk
k r z y w o l i n i o w z s i By F p o d a n e j d r o d z e :
s 2
n
W =
l i m
"F Å" "s i = F Å" d s
i
+"
n ’! "
i = 1
s 1
M o |n a z a p i s a t e n w z ó r t y l k o d l a s k Ba d o w e j F t s t y c z n e j d o t o r u c i a Ba :
s 2
W = F t d s
+"
s 1
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
Z g o d n i e z g e o m e t r y c z n
i n t e r p r e t a c j c a Bk i o z n a c z o n e j ,
p r a c a n a d r o d z e ( s 2 - s 1 )
o d p o w i a d a p o l u p o w i e r z c h n i
p o d k r z y w F t ( s ) ,
o g r a n i c z o n y m p i o n o w y m i
p r o s t y m i o o d c i t y c h s 1 i s 2 .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a
nð
J e [l i p r z e d s t a w i m y F = F x i + F y j + F z k ,
a d s = d x i + d y j + d z k .
W ó w c z a s :
x 2 y 2 z 2
W = F x d x + F y d y + F z d z
+" +" +"
x 1 y 1 z 1
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r a c a j a k o z m i a n a e n e r g i i k i n e t y c z n e j
d v d s
d W = F t d s = m a d s = m d s = m d v = m v d v
d t d t
s 2 v 2
1 1
2 2
W = F t d s = m v d v = m v 2 - m v 1 = E k , 2 - E k , 1 = "E k
+" +"
2 2
s 1 v 1
P r a c a w y k o n a n a n a d c i a Be m j e s t r ó w n a z m i a n i e e n e r g i i k i n e t y c z n e j t e g o
c i a Ba .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d y
K o r z y s t a j c z p o z n a n e g o
w z o r u d l a r u c h u z
p r z y s p i e s z e n i e m o r a z I I
z a s a d y d y n a m i k i N e w t o n a :
Z m i a n a e n e r g i i k i n e t y c z n e j
u k Ba d u = c a Bk o w i t e j p r a c y
w y k o n a n e j n a d u k Ba d e m
( s Bu s z n e d l a p r a c y
d o d a t n i e j i u j e m n e j ) .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d y
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d y p r a c a w y k o n a n a p r z e z s i B
c i |k o [c i
nð
S i Ba c i |k o [c i w y k o n u j e d o d a t n i p r a c p r z y s p a d k u
c i a Ba ( z w i k s z a j e g o e n e r g i k i n e t y c z n ) .
nð
S i Ba c i |k o [c i w y k o n u j e u j e m n p r a c p r z y
w z n o s z e n i u c i a Ba ( z m n i e j s z a e n e r g i k i n e t y c z n ) .
nð
S i Ba c i |k o [c i n i e w y k o n u j e p r a c y , g d y c i a Bo
p r z e m i e s z c z a s i w k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o n i e j .
W g = m g d c o s 1 8 0 o = m g d ( - 1 ) = - m g d
W g = m g d c o s 0 0 = m g d ( + 1 ) = + m g d
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d y p r a c a s i B
s p r |y s t o [c i
nð
S i Ba , z j a k d z i a Ba s p r |y n a j e s t p r o p o r c j o n a l n a d o
p r z e m i e s z c z e n i a j e j s w o b o d n e g o k o Dc a .
nð
S i Ba s p r |y s t o [c i :
F = - k d
( p r a w o H o o k a ) , k s t a Ba s p r |y s t o [c i ; m i a r a s z t y w n o [c i s p r |y n y
( w y m i a r : N / m ) , d p r z e m i e s z c z e n i e .
x e n d x 2 x 2
1
2 2
W s = F d x = ( x d x = ( - k ) ( x 2 - x 1 )
+" +"- k x ) d x = - k +"
2
x p o c z x 1 x 1
nð
J e [l i x 1 = 0 , a x 2 = x , p r a c a s i By s p r |y s t o [c i :
1
W s = - k x 2
2
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
M o c
nð
W f i z y c e , t a k j a k w |y c i u , w a |n y j e s t c z a s , w j a k i m
z o s t a Ba w y k o n a n a p r a c a .
nð
Zr e d n i a m o c P Zr j e s t r ó w n a s t o s u n k o w i p r a c y d o c z a s u ,
w k t ó r y m z o s t a Ba o n a w y k o n a n a :
W
P Zr =
t
nð
J e d n o s t k m o c y j e s t w a t ( W ) , a w y m i a r m o c y t o W = J / s
( 1 K M = 7 3 5 . 5 W ) .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
M o c
nð
J e [l i p r a c a z m i e n i a s i c z a s i e = > m o c c h w i l o w a :
d W
P =
d t
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
M o c - p r z y k Ba d y
= 9 5 K M
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
M o c - p r z y k Ba d
nð
W s p ó Bc z y n n i k t a r c i a o p o n s a m o c h o d o w y c h o n a w i e r z c h n i j e z d n i
w y n o s i o k . 0 . 5 , m a s a s a m o c h o d u 1 0 0 0 k g . J a k m o c p o w i n i e n
m i e s i l n i k ? J a k i e p r z y s p i e s z e n i e m a t e n s a m o c h ó d ?
f s = µ m g = > w p r z e l i c z e n i u n a p a r k ó B : f s / 2 = µ m g / 2
b e z p o [l i z g u : F = m a = µ m g / 2 = > a = g / 4
C z a s o s i g n i c i a 9 0 k m / g o d z . o d c h w i l i s t a r t u : t = v / a = 1 0 . 2 s
F = µ m g / 2 = 0 . 2 5 * 1 0 0 0 * 9 , 8 = 2 4 5 0 N
M o c : P a" d E / d t
G d y c i a Bo p o r u s z a s i z p r d k o [c i v p o d w p By w e m s i By F :
"E = F "s = > d E = F d s d E / d t = F d s / d t = > P = F v ( F i v
w s p ó Bl i n i o w e )
P m a x = F * 9 0 k m / g o d z = 6 1 2 5 0 W H" 8 3 K M
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
E n e r g i a p o t e n c j a l n a
nð
E n e r g i a p o t e n c j a l n a j e s t s t o w a r z y s z o n a z c i a Ba m i
o b d a r z o n y m i m a s i z w i z a n a z i c h p o Bo |e n i e m , n p .
m a s a w p o l u g r a w i t a c y j n y m , n a c i g n i t a s p r |y n a ,
Ba d u n e k e l e k t r y c z n y w p o l u e l e k t r o s t a t y c z n y m . J e s t t o
e n e r g i a z m a g a z y n o w a n a w c i e l e ( k t ó r e m o |e b y
n i e r u c h o m e ) d o p o t e n c j a l n e g o w y k o r z y s t a n i a , t z n . d o
w y k o n a n i a p r a c y w p r z y s z Bo [c i .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
S i By z a c h o w a w c z e i n i e z a c h o w a w c z e
nð
S i By z a c h o w a w c z e s t a k i m i f u n k c j a m i F ( s ) , |e p r a c
m o |n a w y r a z i p r z e z r ó |n i c w i e l k o [c i E p ( s ) n a p o c z t k u
i n a k o Dc u d r o g i :
B
B
W = F = E p , A - E p , B = - ( E p , B - E p , A ) = - d E p
+"d s +"
A A
J e |e l i d r o g a z a m k n i t a :
W = F = 0
+"d s
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
S i By z a c h o w a w c z e i n i e z a c h o w a w c z e
J e [l i p r a c a n i e z a l e |y o d w y b o r u d r o g i m i d z y d w o m a
p u n k t a m i , a j e d y n i e o d t y c h p u n k t ó w , t o s i B, k t ó r a p r a c
w y k o n a Ba , n a z y w a m y z a c h o w a w c z .
J e [l i p r a c a z a l e |y o d d r o g i m i d z y p u n k t a m i , s i Ba j e s t
n i e z a c h o w a w c z a .
J e [l i c i a Bo , n a k t ó r e d z i a Ba j e d n a s i Ba l u b w i c e j s i B p o w r a c a d o
p o Bo |e n i a p o c z t k o w e g o i m a t a k s a m e n e r g i k i n e t y c z n j a k
n a p o c z t k u , t o s i Ba j e s t z a c h o w a w c z a ; j e [l i j e g o e n e r g i a
k i n e t y c z n a j e s t i n n a n i | n a p o c z t k u , t o z d o l n o [ t e g o c i a Ba d o
w y k o n a n i a p r a c y n i e z o s t a Ba z a c h o w a n a w t a k i m p r z y p a d k u
p r z y n a j m n i e j j e d n a z d z i a Ba j c y c h n a c i a Bo s i B m u s i b y
n i e z a c h o w a w c z a .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P r z y k Ba d : p r a c a s i By z a c h o w a w c z e j
C i a Bo o m a s i e m = 2 k g p r z e m i e s z c z a s i p o t o r z e p o d
w p By w e m s i By c i |k o [c i F g . O b l i c z y p r a c n a d r o d z e ( a , b ) .
nð
W i e m y , |e p r a c a s i By z a c h o w a w c z e j n i e z a l e |y o d d r o g i m i d z y t y m i
p u n k t a m i : W a b , 1 = W a b , 2 D o o b l i c z e n i a p r a c y W g w y k o n a n e j p r z e z F g n i e
m o |n a z a s t o s o w a w z o r u W g = m g d c o s ±, p o n i e w a | k t ± m i d z y
k i e r u n k a m i p r z e m i e s z c z e n i a d i s i By F g z m i e n i a s i w s p o s ó b , k t ó r e g o n i e
z n a m y .
nð
F g j e s t s i B z a c h o w a w c z , w i c m o |e m y p r z e m i e s z c z e n i e p r z e d s t a w i j a k o
z Bo |e n i e o d c i n k a p o z i o m e g o i p i o n o w e g o :
W x = m g d c o s 9 0 o = 0
W y = m g d c o s 0 o = 1 5 . 7 J
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
W y z n a c z a n i e e n e r g i i p o t e n c j a l n e j
nð
G r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a : p u n k t m a t e r i a l n y p r z e m i e s z c z a
s i o d p u n k t u y p o c z d o p u n k t u y k o n c , s i Ba F g w y k o n u j e n a d n i m p r a c .
y 2 y 2
"E p = - ( d y = m g "y
+"- m g ) d y = m g +"
y 1 y 1
nð
J e [l i y 1 = 0 , a y 2 = h = >
E p = m g h
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
G r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a
E p = m g h
nð
G r a w i t a c y j n a e n e r g i a p o t e n c j a l n a z a l e |y o d
p o Bo |e n i a c i a Ba w p i o n i e , l i c z o n e g o w z g l d e m
p u n k t u o d n i e s i e n i a .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
B
W = F d s = E p , A - E p , B = - ( E p , B - E p , A ) = - "E p
+"
A
v B
B
1 1
2 2
W = F d s = m v d v = m v B - m v A = E k , B - E k , A = "E k
+" +"
2 2
A v A
E m e c h = E k + E p
”E k = W
”E p = - W
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
E k 2 E k 1 = - ( E p 2 E p 1 )
g d z i e 1 , 2 o d n o s z s i d o r ó |n y c h c h w i l .
E k 2 + E p 2 = E k 1 + E p 1
G d y u k Ba d j e s t i z o l o w a n y , a n a j e g o s k Ba d n i k i d z i a Ba j t y l k o
s i By z a c h o w a w c z e , s u m a e n e r g i i k i n e t y c z n e j i p o t e n c j a l n e j
d l a d o w o l n e g o s t a n u u k Ba d u j e s t r ó w n a s u m i e e n e r g i i d l a
k a |d e g o i n n e g o s t a n u .
E n e r g i a c a Bk o w i t a u k Ba d u i z o l o w a n e g o e n e r g i a
m e c h a n i c z n a n i e m o |e u l e g a z m i a n i e .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
p r z y k Ba d
nð
W c z a s i e d r g a D w a h a d Ba e n e r g i a u k Ba d u
w a h a d Bo - z i e m i a z a m i e n i a s i o k r e s o w o z
E k n a E p i o d w r o t n i e , a l e s u m a E k + E p =
c o n s t .
nð
D a n e : E p , m a x = 2 0 J
nð
S z u k a n e : E k , m i n = ?
nð
W n a j n i |s z y m p u n k c i e t o r u E p = 0
nð
W n a j w y |s z y m p u n k c i e t o r u E k = 0
nð
E k , m i n + 0 = 0 + 2 0 J
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
p r z y k Ba d
nð
W o d a u g ó r y w o d o s p a d u m a
g r a w i t a c y j n e n e r g i
p o t e n c j a l n , k t ó r a w c z a s i e
s p a d a n i a z m i e n i a s i w e n e r g i
k i n e t y c z n . M a s a M w o d y t r a c i
e n e r g i p o t e n c j a l n M g "h , a
z y s k u j e e n e r g i k i n e t y c z n
½ * M ( v 2 2 - v 1 2 ) .
nð
Z g o d n i e z z a s a d z a c h o w a n i a
e n e r g i i m e c h a n i c z n e j :
½ * M ( v 2 2 - v 1 2 ) = M g "h
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i m e c h a n i c z n e j
nð
C a Bk o w i t a e n e r g i a m e c h a n i c z n a o d o s o b n i o n e g o
( i z o l o w a n e g o ) u k Ba d u c i a B, o d d z i a Bu j c y c h z e s o b
s i Ba m i z a c h o w a w c z y m i , p o z o s t a j e s t a Ba .
A L E
nð
W p r z y p a d k u s i B n i e z a c h o w a w c z y c h , t a k i c h j a k
t a r c i e l u b o p ó r o [r o d k a , c a Bk o w i t a e n e r g i a
m e c h a n i c z n a c i a Ba b d z u k Ba d u c i a B m a l e j e w
c z a s i e . Z a c h o d z i w ó w c z a s p r z e m i a n a e n e r g i i
m e c h a n i c z n e j w i n n p o s t a e n e r g i i w e n e r g i
c i e p l n .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Z a s a d a z a c h o w a n i a e n e r g i i c a Bk o w i t e j
Z m i a n a c a Bk o w i t e j e n e r g i i u k Ba d u j e s t r ó w n a e n e r g i i d o s t a r c z o n e j d o u k Ba d u
l u b o d n i e g o o d e b r a n e j .
W = "E = "E m e c h + "E t e r m + "E w e w n
E n e r g i a c a Bk o w i t a u k Ba d u i z o l o w a n e g o n i e m o |e s i z m i e n i .
"E m e c h + "E t e r m + "E w e w n = 0
C o m o |e m y t o z a p i s a :
E m e c h , 2 = E m e c h , 1 - "E t e r m - "E w e w n
T a p o s t a p o z w a l a n a m a n a l i z o w a w p By w
s i B n i e z a c h w a w c z y c h
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
U k Ba d y p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
U k Ba d y p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h [r o d e k m a s y
nð
Zr o d e k m a s y c i a Ba l u b u k Ba d u c i a B t o p u n k t , k t ó r y p o r u s z a s i t a k ,
j a k b y s k u p i o n a w n i m b y Ba c a Ba m a s a u k Ba d u , a s i By z e w n t r z n e b y By
p r z y Bo |o n e w t y m p u n k c i e .
nð
Zr o d e k m a s y u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h z a l e |y t y l k o o d m a s t y c h
p u n k t ó w i o d w z a j e m n e g o i c h r o z m i e s z c z e n i a ( n i e z a l e |y o d w y b o r u
u k Ba d u o d n i e s i e n i a ) .
D e f i n i c j a p o Bo |e n i a [r o d k a m a s y :
m 1 x 1 + m 2 x 2
x ZM =
P o Bo |e n i e w z a p i s i e w e k t o r o w y m :
m 1 + m 2
n
1
x ZM =
r i = x i i + y i j + z i k
"m x i
m t o t i = 1 i
r S M = x S M i + y S M j + z S M k
n
1
y ZM =
"m y i
n
1
m t o t i = 1 i
r S M =
"m r i
m t o t i - 1 i
n
1
z ZM =
"m z i
m t o t i = 1 i m t o t c a Bk o w i t a m a s a u k Ba d u
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P o Bo |e n i e [r o d k a m a s y c i a Ba r o z c i g Be
nð
D l a c i a B o s t a Be j g s t o [c i s u m o w a n i e z a s t p u j e m y c a Bk o w a n i e m :
d m m t o t
Á = =
d v V
1
1
x ZM = x d m
x ZM = x d V
+"
+"
m t o t
V
1
1
y ZM =
y ZM =
+"y d m
+"y d V
m t o t
V
1
1
z ZM = z d m
z ZM = z d V
+"
+"
m t o t
V
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
Zr o d e k m a s y
nð
Z n a l e z [r o d e k m a s y u k Ba d u t r z e c h c z s t e k o m a s a c h :
m 1 = 1 k g , m 2 = 2 k g i m 3 = 3 k g , u m i e s z c z o n y c h w r o g a c h r ó w n o b o c z n e g o
t r ó j k t a o b o k u 1 m .
nð
P o n i e w a | w y n i k n i e z a l e |y o d w y b o r u u k Ba d u o d n i e s i e n i a t o m o |e m y
p r z y j u k Ba d t a k j a k n a r y s u n k u .
x [r m = ( m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 ) / M = ( 1 k g · 0 m + 2 k g · 1 m + 3 k g · 0 . 5 m ) / 6 k g = 7 / 1 2 m
3
3
y [r m = ( m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 ) / M = ( 1 k g · 0 m + 2 k g · 0 m + 3 k g · m ) / 6 k g = m
2 4
U w a g a : p o Bo |e n i e [r o d k a m a s y n i e p o k r y w a s i z g e o m e t r y c z n y m [r o d k i e m .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
I I z a s a d a d y n a m i k i d l a u k Ba d u p u n k t ó w
m a t e r i a l n y c h
n
nð
Z e s p ó B n p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h a n a l i z u j e m y
1
r S M =
t y l k o r u c h [r o d k a m a s y :
"m r i
m t o t i - 1 i
m t o t r ZM = m 1 r 1 + m 2 r 2 + . . . + m n r n
R ó |n i c z k u j e m y p o c z a s i e :
P d u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
j e s t r ó w n y i l o c z y n o w i c a Bk o w i t e j
m t o t v ZM = m 1 v 1 + m 2 v 2 + . . . + m n v n
m a s y u k Ba d u m t o t i V ZM
m t o t a ZM = m 1 a 1 + m 2 a 2 + . . . + m n a n
F w y p = m t o t a ZM
m t o t a ZM = F 1 + F 2 + . . . + F 3
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
P d u k Ba d u p u n k t ó w m a t e r i a l n y c h
z a s a d a z a c h o w a n i a p d u
nð
J e [l i n a u k Ba d n i e d z i a Ba j s i By z e w n t r z n e l u b i c h
w y p a d k o w a j e s t r ó w n a z e r u , t o c a Bk o w i t y p d u k Ba d u n i e
u l e g a z m i a n i e : p = c o n s t
d p
F w y p = m t o t a ZM = = 0
d t
nð
J e [l i w y p a d k o w a s i B z e w n t r z n y c h d z i a Ba j c y c h n a u k Ba d
z a m k n i t y m a w z d Bu | p e w n e j o s i s k Ba d o w r ó w n z e r u , t o
s k Ba d o w a p d u u k Ba d u w z d Bu | t e j o s i j e s t s t a Ba .
D o c . d r h a b . n . f i z . M a r i a S o k ó B
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