Filtracja
Oddzielanie cząstek ciała stałego od cieczy (lub gazu) należy do procesów separacji
faz. Jednym ze sposobów oddzielania cząstek stałych od płynu jest filtracja. Proces ten
zachodzi dzięki temu, że po jednej stronie przegrody filtracyjnej panuje inne ciśnienie niż po
drugiej. W czasie filtracji, na przegrodzie filtracyjnej osadzają się cząstki stałe, a klarowna
ciecz przechodzi na drugą stronę przegrody. Warstwa filtrująca stawia opór podczas
przepływu, zatem proces ten jest wykorzystywany tylko wtedy, gdy na przykład niemożliwe
jest oddzielenie cząstek stałych w procesie sedymentacji.
W zastosowaniach przemysłowych celem procesu filtracji może być oczyszczenie
cieczy z niepożądanych cząstek stałych, wówczas mamy do czynienia z tak zwaną filtracją
oczyszczającą (oczyszczanie soków czy wina). W innym przypadku, gdy produktem ma być
ciało stałe mówimy o filtracji rozdzielającej (wytwarzanie pigmentów, kryształów czy
drożdży).
Jak wspomniano najistotniejszym elementem urządzenia do filtracji jest przegroda
filtracyjna.
1
Filtracja wgłębna
W procesach filtracji zawiesin o niewielkim stężeniu ciała stałego wykorzystuje się
przegrody filtracyjne, które gromadzą cząstki stałe w swoim wnętrzu, jest to tak zwana
filtracja wgłębna. Przegrodę filtrującą stanowi wówczas warstwa zbudowana z porowatego
materiału, na przykład gruba tkanina czy warstwa dużych cząstek stałych. W trakcie procesu
na wewnętrznej powierzchni przegrody (w porach tkaniny, na powierzchni cząstek stałych)
osadzają się drobiny zawiesiny, które z czasem zamykają drogę przepływu oczyszczonej
cieczy (czy gazu). Zatem przegrody filtracyjne muszą być okresowo oczyszczane. Najbardziej
popularnym procesem filtracji wgłębnej jest oczyszczanie wody z osadów powstających w
czasie natleniania surowej wody w komunalnych zakładach produkcji wody pitnej. Przegrodę
filtracyjną stanowi wówczas warstwa usypanych żwirów o różnej granulacji.
Można przyjąć, że czas pracy warstwy o dostatecznie wielkiej objętości jest na tyle
długi, że jej właściwości, a szczególnie opory przepływu są stałe. Schemat takiego procesu
przedstawia rysunek.
Zawiesina
p1
1
2
pA
Filtrat
Jeśli proces filtracji zachodzi pod wpływem sił grawitacji, to ciśnienie nad zawiesiną i
pod podporą warstwy filtrującej jest jednakowe (atmosferyczne). Wówczas siłą napędowa
procesu jest tylko różnica ciśnień wywołana przez słup cieczy. Jeśli zawiesina podawana jest
okresowo, to wysokość warstwy filtrującej maleje w sposób ciągły, natomiast jeśli strumień
dopływu zawiesiny równy jest strumieniowi odbioru filtratu, to wysokość warstwy cieczy nad
warstwą filtrującą jest stała i wynosi H. W tym ostatnim przypadku równanie Bernoulliego
dla przekrojów 1 i 2 ma postać:
p1 +� (�H +� L)�r� g =� pA +� D�pf
gdzie: D�pf spadek ciśnienia związany z oporami filtracji.
Wprowadz
my następujące oznaczenie:
p1 -� pA =� D�pn
Wówczas:
D�pn +� (�H +� L)�r� g =� D�pf
Opory przepływu filtratu przez warstwę usypanego złoża w warunkach przepływu
laminarnego można opisać za pomocą równania Mc Leva:
2
200 (�1-� e�os)� y�2 h� L
D�pf =� w .
e�3 d2
os z
2
dh
H
L
h
Prędkość występująca w tym wzorze obliczana jest ze strumienia objętości filtratu Vf . Jeśli
wysokość warstwy zmienia się, to także zmienia się strumień objętości, zatem w ogólnym
przypadku:
1 dVf
w =�
A dt�
Wobec tego strumień objętości filtratu (objętościowa szybkość filtracji, m3/s) można obliczać
ze wzoru:
dVf d2 A e�3
z os
=� (�D�pn +� (�H +� L)�r� g)�
2
dt� L 200 (�1-� e�os)� y�2 h�
Wprowadz
my oznaczenie:
�� ł�
d2 e�3 kg
z os
kf =� , ,
2 ę�m s2 ś�
200 (�1-� e�os)� y�2 h�
�� ��
w którym wszystkie wielkości opisują warstwę filtrującą i lepkość filtratu, zatem:
dVf A
=� kf [�D�pn +� (�H +� L)�r� g]�
dt� L
Jeśli grawitacja zachodzi tylko pod działaniem sił grawitacji D�p =� 0 , to wzór uprości się do
postaci:
dVf A
=� kf (�H +� L)�r� g
dt� L
Oba powyższe wzory są prawdziwe dla stałej wysokości cieczy nad warstwą filtrującą,
jeśli jednak ta warstwa maleje, to szybkość filtracji, która jest proporcjonalna do wysokości
warstwy cieczy będzie malała. Równanie opisujące szybkość filtracji należy zatem zapisać
dla pewnego przedziału czasu dt� . W tym różniczkowym czasie wysokość warstwy obniży się
o -� dh , czyli nad filtrem zniknie objętość:
dVf =� -�A dh
Uwzględniając powyższe można napisać:
-� A dh A
=� kf (�D�pn +� (�h +� L)�r� g)�
dt� L
-� dh
dt� =�
kf
(�D�pn +� (�h +� L)�r� g)�
L
Całkowanie powyższego równania w granicach t� =� 0 �� t� =� t� oraz h =� Hp �� h =� Hk
prowadzi do zależności, za pomocą której można określić czas opadania lustra zawiesiny od
stanu początkowego do zadanej wysokości:
D�pn +�(�Hp +� L)�r� g
L
t� =� ln
kf r� g D�pn +� (�Hk +� L)�r� g
Jeżeli filtracja zachodzi pod działaniem tylko sił grawitacji, to czas obniżania się lustra
zawiesiny wynosi:
Hp +� L
L
t� =� ln
kf r� g Hk +� L

i wówczas czas opadania lustra zawiesiny do poziomu warstwy filtrującej wyraża się wzorem:
Hp
L ć� ��
�� ��
t� =� ln��1+�
��
kf r� g L
Ł� ł� .
3
Filtracja plackowa (powierzchniowa)
Innym, ze względów obliczeniowych, jest proces filtracji zawiesin zawierających dużo
cząstek stałych. W takim procesie filtracji na warstwie filtrującej lub bezpośrednio na
podporze filtracyjnej powstaje placek osadu złożony z osadzonych cząstek zawiesiny. Taki
proces filtracji nazywa się filtracją plackową.
Schemat filtracji plackowej przedstawia poniższy schemat.
pA p1
Filtrat Zawiesina
L
W danym momencie filtracji grubość osadu wynosi L, a pole powierzchni osadu wynosi A.
Przyjmijmy, że porowatość osadu to e�os , średnica cząstek wynosi dz , a współczynnik
kształtu cząsteky� . Dla pionowej przegrody filtracyjnej różnica wysokości przed i za
przegrodą wynosi zero, więc ciśnienia można opisać zależnością:
p1 =� pA +� D�pR +� D�pt ,
czyli
p1 -� pA =� D�p =� D�pR +� D�pt ,
gdzie: D�pR - opór powstający podczas przepływu cieczy przez warstwę osadu,
D�pt - opór powstający podczas przepływu przez podporę filtracyjną (często jest to
tkanina filtracyjna).
Wielkość D�pR oblicza się z wielokrotnie cytowanego równania Mc Levy, w którym
jednym symbolem można zastąpić wszystkie parametry opisujące właściwości osadu, tak
zwany opór właściwy osadu:
2
200 (�1-� e�os)� y�2
ros =� , [�m-�2]�
d2 e�3
z os
wówczas równanie określające opory jakie musi pokonać ciecz przepływając przez warstwę
osadu przybiera postać:
L dVf
D�pR =� ros h� ,
A dt�
z której widać, że opór ten jest proporcjonalny do strumienia filtratu i grubości osadu. Przez
analogię to tej zależności można opisać opór stawiany przez tkaninę filtracyjną (podporę
osadu):
1 dVf
D�pt =� rt h�
A dt�
Opór ten jest także proporcjonalny do strumienia filtratu, a wielkość rt ,[�m-�1]� jest cechą
charakterystyczną tkaniny filtracyjnej i często zwana jest oporem właściwym tkaniny.
Jeśli uwzględni się dwa ostatnie równania w opisie całkowitego spadku na filtrze, to
można napisać:
4
L dVf 1 dVf L 1 dVf dVf
ć� ��
D�p =� ros h� +� rt h� =� ros h� +� rt h� =� R
�� ��
A dt� A dt� A A dt� dt�
Ł� ł�
skąd:
dVf D�p
=�
dt� R
gdzie całkowity opór składa się z oporu placka filtracyjnego oraz z oporu tkaniny filtracyjnej.
L 1
R =� ros h� +� rt h� =� Ros +� Rt
A A
Filtracja osadu ściśliwego
Przy projektowaniu filtrów opór tkaniny filtracyjnej można znalez
ć w odpowiednich
katalogach czy bazach danych, natomiast opór osadu należy obliczyć. Jeśli osad jest warstwą
o niezmiennej porowatości, to powyższy opis jest w pełni uzasadniony, natomiast w
przypadku, gdy porowatość osadu zmienia się wskutek zmian ciśnienia w samym placku, to
mówimy o osadzie ściśliwym i wówczas należy postępować inaczej. Do osadów
nieściśliwych zalicza się osady krystaliczne izometryczne czy sztywne ziarna kuliste,
natomiast osady ściśliwe najczęściej występują w przemyśle spożywczym, gdy mamy do
czynienia z ziarnami o kształtach wyraz
nie różniących się od kuli.
Na poniższym rysunku przedstawiono przebieg zmian ciśnienia wewnątrz warstwy
osadu i na grubości tkaniny filtracyjnej.
dl
p1
pA p2
L
Na podstawie eksperymentów w skali laboratoryjnej stwierdzono, że warstwa osadu o
różniczkowej grubości dl stawia opór proporcjonalny do tak zwanego zgniotu D�pz zgodnie z
następującą zależnością:
s
(�D�pz)�
ros =�
b
Stała s zwana jest współczynnikiem ściśliwości osadu, a stała b charakteryzuje osad.
Wielkość D�pz oblicza się jako:
D�pz =� p1 -� p
Aby obliczyć opór stawiany przez osad ściśliwy należy napisać równanie w postaci
różniczkowej:
s
(�D�pz)� 1
dRos =� h� dl
b A
5
Jeśli pominąć opór tkaniny filtracyjnej, to strumień filtratu można opisać równaniem, które
można odnosić zarówno do różniczkowej warstewki osadu, jak i do całej grubości tego osadu,
zatem:
dVf dp p1 -� p2 D�pos
=� =� =�
dt� dRos Ros Ros
A
ącząc dwa ostatnie równania otrzymuje się zależność:
s
Ros (�D�pz)� 1
dp =� h� dl
D�pos b A
Jeśli pamięta się, że:
dp =� -�d(�D�pz)�,
to można napisać:
d(�D�pz)� D�pos h�
-� =� dl
s
(�D�pz)� Ros b A
Ostatnie różniczkowe równanie o rozdzielonych zmiennych można całkować w odpowiednich
granicach:
0 L
d(�D�pz)� D�pos h�
=� dl
�� ��
s
D�pos (�D�pz )� Ros b A 0
skąd wyznacza się opór osadu dla przypadku, gdy mamy do czynienia z osadem ściśliwym o
współczynniku ściśliwości s >� 0 :
1-� s L
s
Ros =� (�D�pos)� h�
b A
Jeśłi zachodzi potrzeba obliczenia ciśnienia wewnątrz warstwy osadu (rozkład ciśnienia), to
należy skorzystać z równania:
1
l
p =� p1 -� D�pos ć�1-� ��1-�s ,
�� ��
L
Ł� ł�
które dla osadów nieściśliwych ( s =� 0 ) jest zależnością prostoliniową.
Filtracja przy narastającym placku filtracyjnym (przy zmiennej grubości osadu)
W trakcie procesu filtracji plackowej grubość osadu systematycznie rośnie. Jeśli
rozpatrzyć osad o grubości L zgromadzony na przegrodzie filtracyjnej o polu powierzchni A
i porowatości e�os , to objętość i masa zgromadzonego w nim ciała stałego może być wyrażona
zależnościami:
Vs =� L A (�1-� e�os)�
ms =� Vs r�s =� L A (�1-� e�os )�r�s
Aby otrzymać taką masę filtratu, to przez urządzenie filtrujące musi przepłynąć odpowiednia
objętość filtratu:
m L A (�1 -� e� )�r�
s os s
Vf =� =�
c c
m m
gdzie: cm - stężenie ciała stałego w zawiesinie wyrażone w kg ciała stałego / m3 filtratu.
Zatem grubość powstałego placka filtracyjnego można obliczać ze wzoru:
Vf cm
L =�
A (�1-� e�os)�r�s
Tak wyliczoną grubość L wstawia się do wzoru na opór osadu i uzyskuje się:
6
s
1 -� s h� (�D�pos)� cm Vf
Ros =�
b (�1 -� e�os)�r�s A2
oznaczając opór właściwy osadu ściśliwego symbolem a :
1-� s
a =�
b (�1 -� e�os)�r�s
otrzymuje się równanie opisujące opór osadu dla każdego przypadku, tj. dla osadu ściśliwego
i nieściśliwego:
Vf
s
Ros =� a h� (�D�pos)� cm
A2
Podstawmy ostatnią zależność do równania:
dVf D�p
=� ,
dt� R
to otrzymamy
dVf D�p
=�
h� Vf
dt� ć� s
a (�D�pos)� cm +� rt ��
�� ��
A A
Ł� ł�
Spadek ciśnienia na osadzie można zastąpić całkowitym spadkiem ciśnienia na osadzie i
tkaninie filtracyjnej (porównaj rysunek)
D�pos =� p1 -� pz � D�p
Wtedy otrzymuje się tak zwane równanie Rutha-Carmana opisujące szybkość filtracji
plackowej
dVf D�p
=�
Vf
A dt� ć� s
h� a (�D�p)� cm +� rt ��
�� ��
A
Ł� ł�
Filtracja plackowa przy stałej różnicy ciśnień
Jeśli wykonuje się filtrację plackową w urządzeniu, które zapewnia zachowanie stałej
różnicy ciśnień po obu stronach przegrody filtracyjnej, to w równaniu Rutha-Carmana
D�p =� const , zatem rozdzielając zmienne otrzymuje się:
Vf
ć� s
A D�p dt� =� h� a (�D�p)� cm +� rt �� dVf
�� ��
A
Ł� ł�
Po scałkowaniu w granicach: t� =� 0 �� t� =� t� oraz Vf =� 0 �� Vf =� Vf uzyskuje się zależność:
2
h� rt Vf a cm h� Vf
ć� ��
t� =� +�
�� ��
1-�s
D�p A 2 (�D�p)� A
Ł� ł�
Po przekształceniu i wprowadzeniu odpowiednich oznaczeń otrzymuje się:
1-�s 1-�s
2 (�D�p)� A2 2 (�D�p)� A2 h� rt Vf
t� =� +� Vf2
a cm h� a cm h� D�p A
1-�s
2 (�D�p)� A2 rt A
=� K =� C
s
a cm h� a (�D�p)� cm
Vf2 +� 2 C Vf =� K t�
Ostatnia zależność nazywana jest równaniem filtracji przy stałej różnicy ciśnień. Jeśli
przedstawić graficznie powyższe równanie filtracji, to nachylenie krzywej w każdym punkcie
7
opisuje strumień filtratu odbieranego w urządzeniu. Przykładowy przebieg takiej funkcji
pokazano na poniższym rysunku.
0,035
0,030
0,025
dVf
0,020
dt�
0,015
0,010
0,005
0,000
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500
t
Wielkość strumienia filtratu otrzymuje się przez zróżniczkowanie ostatniej zależności po
czasie uzyskując wzór:
dVf K
=�
dt� 2 (�C +� Vf )�
Proces filtracji przed fazą projektowania wymaga badań doświadczalnych. Zatem jeśli
powyższe równania przekształci się do postaci:
dt� 2 2 C
=� Vf +�
dVf K K
D�t� 2 2 C
=� Vf +�
D�Vf K K
i przyrosty różniczkowe zastąpi się przyrostami skończonymi, to rysując wykres funkcji
dt�
=� f(�Vf )� w łatwy sposób wyznaczy się wartości stałych filtracji w równaniu filtracji.
dVf
2
tgb� =�
K
D�t�
D�Vf
�b�
2C
K
Vf
D�Vf
Wartości stałych w równaniu filtracji przy stałej różnicy ciśnień zależą od pola
powierzchni filtra oraz od zastosowanej różnicy ciśnień pomiędzy zawiesiną a filtratem. Jeśli
doświadczalnie wyznaczy się wartości stałych dla filtra laboratoryjnego, to projektując filtr o
innych gabarytach, a nawet pracujący przy innej różnicy ciśnień można obliczyć wartości
nowych stałych za pomocą równań:
8
V
f
1-�s s
K2 A2 (�D�p2)� C2 A2 (�D�p1)�
2
=� =�
2
K1 A1 1-�s C1 A1 s
(�D�p1)� (�D�p2)�
Ponadto jeśli nastąpi zmiana lepkości filtratu, to stałą K także należy przeliczyć na nowe
warunki zgodnie z zależnością:
K2 h�1
=�
K1 h�2
Filtracja plackowa przy stałej szybkości odbioru filtratu
Proces filtracji plackowej można wykonywać także w taki sposób, aby strumień
objętości odbieranego filtratu był stały. Taki sposób wymaga ciągłego zwiększania różnicy
ciśnień, gdyż narastający placek filtracyjny stawia coraz większy opór. Równanie Rutha-
Carmana przybierze wówczas następującą postać:
2
s
a (�D�p)� cm h� Vf rt h� Vf
ć� ��
D�p =� t� +�
�� ��
A2 Ł� t� A t�
ł�
Dla osadu nieściśliwego równanie upraszcza się do postaci:
2
a cm h� Vf rt h� Vf
ć� ��
D�p =� t� +�
�� ��
A2 Ł� t� A t�
ł�
W praktyce projektowej często można pominąć, jako mały, opór tkaniny filtracyjnej, wtedy:
1
2
ć�
a cm h� Vf ��1-�s
ć� ��
��
D�p =� t���
�� ��
�� ��
A2 t�
Ł� ł�
Ł� ł�
Jeśli osad jest nieściśliwy i opór przegrody filtracyjnej jest do zaniedbania, to uzyskuje się
równanie:
2
a cm h� Vf
ć� ��
D�p =� t�
�� ��
A2 Ł� t�
ł�
Filtracja plackowa dwustadialna (dwuetapowa)
Jak już wiadomo proces filtracji plackowej można wykonywać na dwa sposoby: albo
przy stałej różnicy ciśnień, albo przy stałym strumieniu filtratu. W pierwszym przypadku, tj.
dla D�p =� const należy pogodzić się z tym, że z czasem uzyskujemy coraz mniejszy strumień
filtratu. Z kolei w drugim, tj. przy dVf dt� =� const , konieczne jest systematyczne zwiększanie
różnicy ciśnień po obu stronach przegrody.
Ze względów technicznych i ekonomicznych korzystnie jest zatem wykorzystać oba
sposoby prowadzenia procesu i na początku odbierać filtrat przy stałym strumieniu
Vf t� =� const zwiększając D�p do wartości możliwej do osiągnięcia w danej aparaturze, a
następnie dalej prowadzić filtrację godząc się na zmniejszający się strumień filtratu. Taki
sposób realizacji procesu nazywa się filtracją dwustadialną.
Graficzna interpretacja procesu filtracji dwustadialnej może być przedstawiona na
wykresie:
9
Vf
Vf t� =� const
�t�całk
W pierwszym okresie filtracji objętość uzyskanego filtratu zależy od czasu trwania tego
okresu zgodnie z zależnością:
Vf
ć� ��
Vf I =� t�I
�� ��
t�
Ł� ł�I
W drugim okresie filtracji szybkość odbioru filtratu oblicza się z cytowanego wcześniej
równania:
dVf K
=�
dt� 2 (�C +� Vf )�
Zależność ta może być scałkowana w odpowiednich granicach, tj. t� =� t�I �� t� =� t�calk oraz
Vf =� Vf I �� Vf =� Vf calk , skąd:
Vf2 -� Vf2 +� 2 C (�Vf calk -� Vf I)�=� K (�t�calk -� t�I )�
calk I
W punkcie wykresu, gdzie kończy się etap pierwszy, a zaczyna etap drugi filtracji
obowiązuje zależność wynikająca z równości szybkości odbioru filtratu w tym jednym
momencie:
Vf K
ć� ��
=�
�� ��
t� (�C )�
Ł� ł�I 2 +� Vf I
Po przekształceniu tej zależności można otrzymać wzór pozwalający obliczyć objętość filtratu
uzyskiwaną w pierwszym stadium filtracji dwustadialnej:
K
Vf I =� -� C
Vf
ć� ��
2
�� ��
t�
Ł� ł�I
Z kolei czas trwania pierwszego stadium filtracji oblicza się ze wzoru:
Vf I
t�I =�
Vf
ć� ��
�� ��
t�
Ł� ł�I
10
f II
V
f całk
V
f I
V
Ciekawostka:
HEPA (ang. High Efficiency Particulate Air filter) - wysokosprawny filtr powietrza służący
do dezynfekcji powietrza. Filtry HEPA stosowane są w lożach, boksach, skrzynkach lub
pomieszczeniach do pracy w środowisku jałowym. Są wykonane ze szkła spiekanego,
zapewniają filtrację powietrza przez pory wielkości 0,3�m. Zatrzymują większość (co
najmniej 99.97%) zanieczyszczeń mechanicznych, większych niż 0,3�m, a także: komórki
grzybów, pierwotniaków i bakterii oraz większość wirusów. Filtry tego typu wykorzystywane
są m.in. w odkurzaczach.
11