Przykład 1: Stany stacjonarne cz stki swobodnej
Mamy rozwi zania
V(x)=0
x
r-nia Schrödingera .
Przypomnie
szczegóły? Odpowiadaj one warto ciom energii .
S to stany stacjonarne  ewoluuj zgodnie z
czyli
Je li przyj oznaczenie , to
Oto, jak w mechanice kwantowej
realizuje si hipoteza de Broglie a  cz stce przypisana jest fala.
Przykład 1: Stany stacjonarne cz stki swobodnej
Funkcja jest równie funkcj własn p du do warto ci .
Sprawd my:
Zatem, funkcja falowa opisuje cz stk
o okre lonej energii i p dzie ( E=0 i p=0 ).
Poło enia cz stki nie da si okre li (zmierzy jednoznacznie)  nie da si
nawet okre li warto ci redniej. Rozrzut mo liwych warto ci x ( rednie
odchylenie kwadratowe) x jest niesko czenie wielki.
Jest to zgodne z zasad nieoznaczono ci Heisenberga
Przykład 2: Stan o nieokre lonej energii
V
dla cz stki w niesko czonej studni potencjału
x
a
0
Przypominamy: Cz stka w takim potencjale ma tylko stany zwi zane.
W ród nich  stany o okre lonej energii:
Te s stacjonarne.
Przykład 2: Stan o nieokre lonej energii
V
dla cz stki w niesko czonej studni potencjału
Mamy stan (przykład)
x
a
0
Jak zmienia si ten stan w czasie?
=?
Znajdujemy rozwini cie
Odpowied :
Ten stan
nie jest stacjonarny  g sto prawdopodobie stwa zale y od czasu.
Przykład 3: Cz stka swobodna
Stan o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
gaussowska paczka falowa; unormowana funkcja dla swobodnej cz stki
Jak zmienia si ten stan w czasie?
=?
Stany cz stki swobodnej o okre lonej energii,
ewoluuj według wzoru
Znaj c rozwini cie w bazie ,
Problem!
mo na zło y nieznan
Jak znale
ze znanych .
to rozwini cie?
Przykład 3: Cz stka swobodna
Stan o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Rozwijamy funkcj w bazie funkcji
unormowanych do delty Diraca :
Funkcj rozkładu znajdujemy według
Otrzymujemy: , gdzie
.
Przykład 3: Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Stany ewoluuj według ich energii :
Składamy z nich
gdzie:
Przykład 3: Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Zamiast analizowa sam funkcj ,
rozwa my g sto prawdopodobie stwa:
Warto oczekiwana poło enia cz stki
ro nie z szybko ci .
Wzrasta równie nieokre lono
poło enia mierzona wariancj
Ma ona kształt przemieszczaj cej si 
krzywej Gaussa o rosn cej szeroko ci 
Pr dko przemieszczania si paczki gaussowskiej  rednia pr dko przemieszczania si
cz stki jest okre lona przez warto redni p du, któr otrzymamy na nast pnej stronie.
Przykład 3: Cz stka swobodna
Ewolucja stanu o nieokre lonej energii
V(x)=0
x
Znajomo rozkładu pozwala okre li g sto prawdopodobie stwa
wyst powania ró nych warto ci k , a wi c ró nych warto ci p du .
Poniewa , wi c warto oczekiwana p du
Wariancja dla p du .