M A C I E R Z O W Y Z A P I S R {N I C Z K I
1 . N i e c h U T o p R n ,
f : U R
o r a z n i e c h f D (x 0 ) d l a x 0 R n .
d x f : R n R
P o n i e w a | r |n i c z k a j e s t o d w z o r o w a n i e m l i n i o w y m , z a t e m w b a z i e
0
k a n o n i c z n e j m a c i e r z r |n i c z k i m o |n a z a p i s a w p o s t a c i
e 1 , . . . , e n
f f
[d x f ]=[d x f (e )424444)]= (x 0 ) . . . (x 0 ) =:
. . . d x f (e n x g r a d f
x 0
0 0 0
1 3 1441 4 3
2
x n
1
m a c i e r z w a r t o [c i r |n i c z k i n a w e k t o r a c h
r |n i c z k i b a z o w y c h r w n e k o l e j n y m
p o c h o d n y m c z s t k o w y m
M a c i e r z r |n i c z k i n a z y w a m y g r a d i e n t e m f u n k c j i f i o z n a c z a m y g r a d x f .
0
2 . P r z y p a d e k o g l n y
N i e c h
U T o p K n ,
p
( )
f = f 1 . . . f : U K ,
p
f i : U K d l a i =1 , . . . , p ,
g d z i e k a |d e z o d w z o r o w a D f n a z y w a m y s k Ba d o w o d w z o r o w a n i a f .
i
f (x 1 , x 2 , x 3 )= (x 1 x 2 , x 1 + x 2 )
N p . f u n k c j a m a 2 s k Ba d o w e f i f :
1 2
f 1 (x 1 , x 2 , x 3 )= x 1 x 2
f 2 (x 1 , x 2 , x 3 )= x 1 + x 2
M a c i e r z r |n i c z k i d x f :
0
f 1 f 1 f 1
(x 0 ) (x 0 ) (x 0 )
x x 2 L x n
f 1 f 2
f 2
2
(x 0 ) (x 0 ) L (x 0 )
x 1 x 2 x n
[d x f ]=
0
M M L M
f f f
p p p
(x 0 ) (x 0 ) L (x 0 )
x 1 x 2 x n
n a z y w a m y m a c i e r z J a c o b i e g o o d w z o r o w a n i a f w p u n k c i e x ( j - t a k o l u m n a m a c i e r z y
0
J a c o b i e g o j e s t k o l u m n p o c h o d n y c h c z s t k o w y c h o d w z o r o w a n i a f w z g l d e m z m i e n n e j x ) .
j
J e [l i n = p ( m a c i e r z j e s t k w a d r a t o w a ) , t o o k r e [l o n y j e s t w y z n a c z n i k t e j m a c i e r z y , k t r y
n a z y w a m y j a k o b i a n e m ,
d e t [d x f ]= J j a k o b i a n
x 0
0
1
Z A S T O S O W A N I E M A C I E R Z Y : W Z R N A P O C H O D N E C Z S T K O W E
Z AO {E N I A O D W Z O R O W A C
N i e c h
U T o p K n ,
p
V T o p K , f g
U V K s
f : U V ,
n
K p K
K
g : V K s .
R o z p a t r z m y z Bo |e n i e h = g o f , t z n . o d w z o r o w a n i e h ( x ) = g ( f ( x ) ) .
N i e c h x 0 U ,
y 0 = f (x 0 )V ,
f , g D (x 0 ).
W t e d y i s t n i e j e r |n i c z k a z Bo |e n i a i j e s t r w n a z Bo |e n i u r |n i c z e k ,
h
678
$d x (g o f )= d y g o d x f .
0 0 0
P o n i e w a | s k Ba d a n i e o d w z o r o w a D l i n i o w y c h o d p o w i a d a m n o |e n i u r e p r e z e n t u j c y c h j e
m a c i e r z y
g n
h 1 h 1 f 1
(y 0 ) L (y 0 ) f 1
(x 0 ) L (x 0 ) g 1 (x 0 ) L (x 0 )
y p x 1
x 1 x n y 1 x n
= M M M M M M
h M M h s M
g s f p f
s p
(x 0 ) L (x 0 ) g s (y 0 ) L (y 0 )
(x 0 ) L (x 0 )
x 1 x n y 1 y p x 1
x n
[ d y g ] [ d x f ]
z a t e m m n o |c k - t y w i e r s z m a c i e r z y p r z e z j - t k o l u m n m a c i e r z y o t r z y m u j e m y
0 0
W Z R N A P O C H O D N E C Z S T K O W E Z AO {E N I A O D W Z O R O W A C
p
h k g k f i
(x 0 )= (y 0 ) (x 0 ) d l a j = 1 , . . . , n ; k =1 , . . . , s .
x y i x j
i =1
j
2
P r z y k Ba d
N i e c h V T o p R 2 ( V - z b i r o t w a r t y w R 2 ) ,
g : V R ,
g D (V ).
W y z n a c z y p o c h o d n f u n k c j i g w e w s p Br z d n y c h b i e g u n o w y c h .
T w o r z y m y f u n k c j f , k t r a w p r o w a d z a w s p Br z d n e b i e g u n o w e
(r , j)
f : [ 0 , +) [ 0 , 2 p ) ' (r , j)a f (r , j)= (r c o s j, r s i n j) R 2
N i e c h { T o p ([ 0 , +) [ 0 , 2 p ) ): f [U ] V .
U
p o d z b i r
o t w a r t y
W t e d y h = g o f : U R . P o n a d t o h D (U ).
A b y w y z n a c z y m a c i e r z z Bo |e n i a h , w y z n a c z m y m a c i e r z e r |n i c z e k o d w z r o w a D f i g :
g
g
[d (x , y )g ]= (x , y ) (x , y )
x y
(r c o s j) (r c o s j)
c o s j - r s i n j
r j
[d (r , j ) f ]=
(r s i n j) (r s i n j) = s i n j r c o s j
r j
W y z n a c z a m y m a c i e r z r |n i c z k i o d w z o r o w a n i a h
c o s j - r s i n j
g
g
[d (r , j )h ]= [d (x , y )g ] [d (r , j ) f ]= (x , y ) (x , y ) =
s i n j r c o s j
x =r c o s j
x y
y =r s i n j x =r c o s j
y =r s i n j
g g g g
= (x , y )+ s i n j (x , y ) - r s i n j (x , y )+ r c o s j (x , y )
c o s j x
y x y
o p r a c o w a B J a c e k Z a Dk o
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
11 Macierzowy i operatorowy zapis różniczekWzory na pochodne (1)Równania różniczkowe z chemii na politechnice10 Pochodne cząstkowe wyższych rzędówSpinrad Jeździec na pochodniwykład 06 macierzeWZÓR NA REFERATYWzor na Łamana czestosci ! dane2AM23 w07 Pochodne cząstkowe zastosowania337 Zrealizowane róznice kursowe na rozrachunkach ujęcie w księgach handlowychpochodne czastkowe wyzszych rzedowInny wzor na to KAtarzynywięcej podobnych podstron