MACIERZOWY ZAPIS RÓŻNICZEK
Niech
U �� TopRn,
f :U �� R,
x0 ��U
2
oraz załóżmy, że $� dx f .
0
Wtedy
n
ś�2 f
2
dx f (h1, h2) =� (x0)hi1h2
�� j
0
ś�xiś�xj
i, j=�1
2
i na podstawie własności odwzorowań wieloliniowych drugiej różniczce odpowiada macierz
dx f
0
��
ś�2 f ś�2 f
(�x0)� K� (�x0)�ł�
ę�
2
ś�x1 ś�xnś�x1 ś�
ę� ś�
ś�2 f ś�2 f
ę�
(�x0)� (�x0)�ś�.
2
ę�ś�x ś�x2 K� ś�xnś�x2 ś�
[�dx f ]�:=�
1
0
ę� ś�
ę� M� M� ś�
ę� ś�
ś�2 f ś�2 f
(�x0)� K� (�x0)�
ę� ś�
ś�xn ś�xnś�xn ��
ę� ś�
��ś�x1
Niech teraz
f �� Dk(�U )� oraz niech x0 ��U.
W celu uproszczenia zapisu wzorów określających związek między k-tą różniczką, a k-tymi
k �� N
pochodnymi cząstkowymi dla , pomijamy indeksy wektorów h1,...,hk , ponieważ
są to dowolne (zmienne) wektory z przestrzeni X i wprowadzamy oznaczenia:
k k
dx f (�h)�:=� dx f (�h4�2�4� gdzie h�� X .
h
0 0
1�, h,...,3�)�,
k razy
Wtedy
n
ś�f
dx f (h) =� (x0)hj
��
0
ś�x
j =�1
j
n
ś�2 f
2
dx f (�h)�=� (x0 )hihj
��
0
ś�xiś�x
i, j=�1
j
M�
n
ś�k f
k
dx f (h) =� (�x0)�hi ...hi
��
0 1 k
ś�xi ...ś�xi
i1,i2 ,...,ik =�1
1 k
1
SYMBOLICZNY ZAPIS OPERATOROWY
Niech dxj oznacza przyrost zmiennej xj , tzn.
"� h =� (h1,..., hn) dxj (h) :=� hj
��
j-ta współrzędne wektora h
Wtedy operator różniczki jest postaci
n
ś�
d�� =� dxj
.
��
ś�xj
j=�1
ta kropka
oznacza punkt
Następnie podnosimy d. do kolejnych potęg, aby uzyskać operatory wyższych różniczek
2
n
ć� ��
ś�
��
d.2 =� dxj ��
��
��
ś�xj ��
j=�1
Ł� ł�
M�
k
n
ć� ��
ś�
��
d.k =� dxj ��
��
��
ś�xj ��
j=�1
Ł� ł�
Przykład
Jeśli n=2, to w klasie funkcji mających k-tą pochodną operatory różniczkowe przyjmują postać
ś� ś�
d. =� dx +� dy
ś�x ś�y
2
ć� ś� ś� �� ś�2 ś� ś�2
d.2 =� �� dx +� dy�� =� dx2 +� 2 dxdy +� dy2
�� ��
ś�x ś�y ś�x2 ś�xś�y ś�y2
Ł� ł�
M�
k
k
k
ć� ś� ś� ��
j -� j
�� �� �� ��
d.k =� dx +� dy =�
��ć� j �� ś�x ś�k dx dyk
�� �� �� �� j -� j
ś�x ś�y ś�yk
j=�0
Ł� ł� Ł� ł�
opracował Marcin Uszko
2