Dodatek matematyczny.
Operatory ró\
niczkowe.
Polem pewnej wielkości fizycznej nazywamy przestrzeń, lub część przestrzeni,
w której ka\
demu punktowi przyporządkowujemy określoną wartość. Je\
eli jest
r
to wielkość skalarnaV (r ) = V (r) pole takie nazywamy polem skalarnym; je\
eli
r
r
jest to wektor A(r ), pole takie nazywamy polem wektorowym.
Powierzchnie pola skalarnego spełniającą równanie V (r) = const nazywamy
powierzchniÄ… ekwipotencjalnÄ….
Pole wektorowe, które mo\
na przedstawić w postaci:
r
r
r r r
A(r ) = a(r )
,
r
nazywamy polem centralnym, np. pole grawitacyjne, pole Å‚adunku punktowego.
Przykłady pola wektorowego:
1
1

x,1
-ð y,1

y x
x y x y
1
1
1
1
1
, 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,-ð 1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-ð 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
1
1
1
1
1
31
21
1
1
1
1
1
1
21

1
1
1
1
1
31
21
1
1
1
1
1
1
21
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
31
1

1
1
1
1
1
1
1

1
1
1

1
1
x2+ð y2 1
x2+ð y2
x2+ð y2 1
1
1
y21
1
1

x2 +ð
Rys. Przykłady pól dwuwymiarowych wektorowych.
Pole układu dwóch ładunków dodatniego i ujemnego, równych co do modułu,
ten układ dwóch ładunków nazywamy dipolem elektrycznym.
Rys. Przykład pola
1. Operator Hamiltona (nabla)
Operator ró\
niczkowy, który formalnie mo\
na traktować jako wektor.
W układzie kartezjańskim P(x, y, z) ma postać:
îÅ‚ " " " Å‚Å‚
" = , ,
(1.1).
ïÅ‚"x "y "z śł
ðÅ‚ ûÅ‚
W ukÅ‚adzie cylindrycznym P(r,Õ, z) :
îÅ‚ " 1 " " Å‚Å‚
" = , ,
(1.2).
ïÅ‚"r r "Õ "z śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Rys. 1. Współrzędne cylindryczne
ZaÅ› w ukÅ‚adzie sferycznym P(r,Õ,¸ ) :
îÅ‚ " 1 " 1 " Å‚Å‚
" = , ,
(1.3).
ïÅ‚"r r "¸ r sin¸ "Õ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Rys. 2 Współrzędne sferyczne
2. Gradient
Gradientem pola skalarnego V(r), w układzie współrzędnych kartezjańskich,
nazywamy pole wektorowe:
îÅ‚ Å‚Å‚
"V "V "V
gradV (r) = "V (r) = , ,
(2.1).
ïÅ‚ śł
"x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
Gradient jest wektorem. Iloczyn operatora nabla (wektor) ze skalarem V(r).
Rys. Pole skalarne i gradient.
Na rysunku pole skalarne zaznaczono przez skalę szarości: czerń  wysoka
wartość, biel  oznacza niską wartość pola. Gradient oznaczają niebieskie
strzałki, wskazują one wysokie wartości pola skalarnego.
Gradient tworzy pole wektorowe wskazujÄ…ce kierunek centrum pola.
3. Dywergencja
Przykład pola wektorowego:
Rys. Pole wektorowe wypływające.
Pole jakby eksplodowało z punktu poło\
onego w początku układu odniesienia.
Pole wypływa. Ten wypływ pola matematycznie opisuje operator dywergencji
div F. Poniewa\
tutaj pole wypływa, więc dywergencja tego pola będzie
dodatnia, div F > 0.
Inny przykład, dla pola wpływającego:
Rys. Pole wektorowe wpływające.
Tutaj pole wpływa, zbiegając się w centrum. Takie zbieganie się pola w centrum
jest zjawiskiem przeciwnym do ekspansji (patrz przykład powy\
ej), zatem w
tym przypadku div F < 0.
W obu przypadkach mamy pole z
ródłowe, pole albo wypływa albo wpływa do
\
ródła, co oznacza, \
e div F `" 0.
Definicja matematyczna: dywergencjÄ… pola wektorowego A(r) nazywamy pole
skalarne:
r r
r r "Ax "Ay "Az
div A(r ) = " Å" A(r ) = + +
(3.1).
"x "x "x
Dywergencja to inaczej rozbie\
ność, z
ródłowość pola wektorowego.
Dywergencja jest skalarem. Jest to iloczyn skalarny dwóch wektorów: operatora
nabla i pola wektorowego A(r).
Oto przykład pola trójwymiarowego, dla którego div F `" 0.
Rys. Pole trójwymiarowe.
4. Rotacja
Rotacja związana z własnością pola wektorowego, które mo\
e wirować.
Przykład takiego pola pokazuje rysunek.
Rys. Dwuwymiarowe pole wektorowe, wirujÄ…ce przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara.
Na następnym rysunku pokazano przykład trójwymiarowego, wirującego pola
wektorowego.
pole wektorowe , wirowe
1
1
y
y
0
0
-1
-1
3
2.5
z
2
1.5
1
-1
-1
0
0
x
x
1
1
Rys. Trójwymiarowe wirujące pole wektorowe.
Miarą wirowości, rotacji pola wektorowego jest operator rot F.
Matematyczne, rotację pola wektorowego definiujemy następująco:
ęx ęy ęz
r r
r r " " "
rot A(r) = "× A(r ) = det
(4.1).
"x "y "z
Ax Ay Az
Rotacja jest niezerowa (rot F `" 0), je\
eli pole wektorowe rotuje, a takie pole
nazywamy polem wirowym. Je\
eli pole wektorowe nie wiruje, to rotacja tego
pola jest równa zero (rot F = 0), a takie pole wektorowe nazywamy polem
bezwirowym.
Przykład:
Obliczyć dywergencję i rotację pola wektorowego: F = (-y, xy, z).
5. U\
yteczne to\
samości
1. Je\
eli dla danego pola wektorowego A istnieje pole skalarne V(r) takie, \
e
r r
r r
A(r) = - gradV (r) rot A(r) = 0
, to . Takie pole wektorowe nazywamy polem
potencjalnym albo polem bezwirowym, a V(r)  potencjałem skalarnym.
r
rot gradV (r) = " × ("V (r )) = 0
(5.1).
2. Je\
eli dla danego pola wektorowego A istnieje pole wektorowe B takie, \
e
r r r
r r r
A(r ) = rot B(r ) div A(r ) = 0
, to , i vice versa. Takie pole wektorowe nazywamy
polem wirowym albo polem bezz
ródłowym, a B  potencjałem wektorowym.
r r
r
div rot B(r) = " Å" (" × B(r )) = 0
(5.2).