Funkcje wielu zmiennych II
Definicja (pochodnej kierunkowej)
Niech A �" n
�" będzie zbiorem otwartym i f : A . Pochodną kierunkową funkcji f
�"
�"
w punkcie P0 " A w kierunku wektora v " n
" " nazywa się pochodną względem
" "
" "
zmiennej t funkcji u = f P0 + tv dla t = 0 i oznacza się symbolem
= + =
= + =
= + =
( )
( )
( )
( )
f P0 + tv - f P0
+
+ -
+
( ) - ( )
( )- ( )
( ) ( )
( ) ( )
df
D f P0 := P0 + tv = lim
= + =
= + =
= + =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
v
t0



dt t
t =0
=
=
=
Gdy v jest wersorem, to używa się oznaczeń
df "f
"
"
"
Dv f P0 = P0 = P0
= =
= =
= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
dl "v
"
"
"
Jest to tzw. pochodna kierunkowa funkcji f w punkcie P0 " A w kierunku półprostej l
"
"
"
wyznaczonej przez wersor v i o początku w punkcie P0 .
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej dla n=2
z
K
z = f x, y
( )
D f P0 = tgą
( )
v
" ą
f P0
( )
0
y
"
P0
Ą
x v
Definicja (pochodnej cząstkowej)
Niech A �" n
�" będzie zbiorem otwartym i f : A . Pochodną cząstkową funkcji f
�"
�"
w punkcie P0 " A względem zmiennej xi " , i = 1,2,...,n nazywa się pochodną tej
" " =
" " =
" " =
funkcji w punkcie P0 " A w kierunku i - tego wektora bazy kanonicznej
"
"
"
ei = 0,...,0,1,0,...,0 .
=
= ( )
= ( )
( )
( )
"f
"
"
"
2
2
2 =
2
Pochodną tę oznacza się symbolami: P0 lub fx P0 , i = 1,2,...,n .
( = )
( =
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i
"xi
"
"
"
f P0 + tei - f P0
+ - ( )
+ -
+
( ) ( )
( )-
( ) ( )
( ) ( )
"f
"
"
"
P0 := lim
=
=
=
( )
( )
( )
( )
t0



"xi t
"
"
"
Interpretacja geometryczna pochodnej cząstkowej dla n=2
"f
z
P0 = tgą
( )
"x Ą
z = f x, y
K
( )
"
f P0
( )
ą y0
0
y
"
P0 x0 , y0
( )
x
Definicja (gradientu)
Wektor, którego współrzędnymi są pochodne cząstkowe odwzorowania f : A ,



n
gdzie A �" jest zbiorem otwartym, w punkcie P0 " A nazywa się gradientem tego
�" "
�" "
�" "
odwzorowania w punkcie P0 " A i oznacza się symbolem
"
"
"
�ł �ł
�ł
�ł �ł
�ł
"f "f "f
" " "
" " "
" " "
grad f P0 := P0 , P0 ,..., P0 �ł
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )�ł
( ) ( ) ( ) ( )łł
( ) ( )
( ) �ł"x1 "x2 ( )�ł
( ) �ł ( ) ( ) ( )łł
�ł" �ł
�ł �ł
" "
" "xn �ł
" "
"
�ł" łł
�ł
�ł" łł
�ł
Twierdzenie (wzór na pochodną kierunkową)
n
Jeżeli f : "
ma ciągłe pochodne cząstkowe w punkcie P0 " n
" , to pochodna
"
kierunkowa funkcji f w punkcie P0 w kierunku wektora v " n
"
"
"
Dv f P0 = grad f P0 | v = grad f P0 v
= =
= =
= =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Uwaga
n k
Niech f :



n
x = x1 , x2 ,..., xn "
= "
= "
= "
( )
( )
( )
( )
k
f x = f1 x , f2 x ,..., fk x "
=
= "
=
( ) ( ) ( ) ( ) "
( ) ( ) ( ) ( ) "
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
n
f : , j = 1,2,...,k
=
=
=
j
Definicje granicy funkcji w punkcie, funkcji ciągłej, pochodnej kierunkowej i pochodnej
n
cząstkowej są analogiczne, jak w przypadku funkcji z do , np.
lim f P = g �! "� > 0 "� > 0 "P " S P0 ,� d f P , g < �
= �! " > " > " " <
( ) = �! " > " > " " ( ) <
( ) = �! " > " > " " ( ) <
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) )
n ( ) k ( )
( ) ( )
( ) (
P
P0


n k
2 2
<
lim f P = g �! "� > 0 "� > 0 0 < pi - pi0 < � �! gj - f P < �
= �! " > " > < < �! - ( ) <
( ) = �! " > " > < - < �! - ( ) <
( ) = �! " > " > < < �! - ( )
( )
( ) ( - ) ( )
( ) ( - ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
" " j
" "
" "
" "
PP0



i =1 j=1
= =
= =
= =
n k
Twierdzenie (o ciągłości odwzorowania f :
)


n k n
Odwzorowanie f : "
jest ciągłe w punkcie P0 " wtedy i tylko wtedy, gdy ciągłe
"
"
n n
są wszystkie jego składowe f : , j = 1,2,...,k w punkcie P0 " .
= "
= "
= "
j
Definicja (normy)
Odwzorowanie
2 2 2
n
: " x = x1 , x2 ,..., x x := x1 + x2 + ...+ x "
" = = + + + "
" = = + + + "
" = = + + + "
( ) ( ) ( ) ( )
( ) n ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n
nazywa się normą w przestrzeni .
Odwzorowanie to ma następujące własności:
n
(i) "x " x e" 0
" " e"
" " e"
" " e"
n
x = 0 �! x = 0,0,...,0
= �! =
= �! = ( )
= �! = ( )
( )
n ( )
n
(ii) "x " "ą " ą �" x = ą �" x
" " " " �" = �"
" " " " �" = �"
" " " " �" = �"
n n
n n
(iii) "x " "y " x + y d" x + y
" " " " + d" +
" " " " + d" +
" " " " + d" +
n n n
n k
Definicja (różniczki odwzorowania f : )



n k n
Mówimy, że odwzorowanie f : jest różniczkowalne w punkcie P " ,
"
"
"
gdy istnieje odwzorowanie liniowe i ciągłe
n k
dP f :



f P + h - f P - dP f h
+
+
+
( ) - ( ) - ( )
( )- ( )- ( )
( ) ( ) ( )
( )- ( )- ( )
k
takie, że lim = 0
=
=
=
h 0


n
h
n
Odwzorowanie dP f nazywa się różniczką odwzorowania f w punkcie P.
n k
Uwaga (o pochodnej odwzorowania f :
)


n k
Wybierając w przestrzeniach , bazy kanoniczne, różniczce odwzorowania
n k
f : można w sposób jednoznaczny przyporządkować macierz o wymiarach



k � n .
�
�
�
( )
( )
( )
( )
n k
2
2
2
2
Tę macierz nazywa się pochodną odwzorowania f : i oznacza się symbolem f



Oznacza to, że
n n
2
2
2
2
dP f h = f P �" h, P " , h"
= �" " "
= �" " "
= �" " "
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n k
Twierdzenie (o postaci pochodnej odwzorowania f :
)


n k n
Jeżeli f : = f1 , f2 ,..., fk , f : , j = 1,2,...,k
, f = =
= =
= =
( )
( )
( )
( )
j
n
jest różniczkowalne w punkcie P " , to każda składowa f , j = 1,2,...,k ma w punkcie
" =
" =
" =
j
"f
"
"
"
j
n
P " pochodne cząstkowe , i = 1,2,...,n, , j = 1,2,...,k i zachodzi wzór
" = =
" = =
" = =
"xi
"
"
"
"f1 "
" "
�ł " "f1
�ł " "
�ł łł
�ł łł
P
( ) ( )łł
( ) ( )śł
( ) ( )łł
( ) ( )śł
�ł"x1 P śł
�ł
�ł" śł
�ł
"xn śł
"
"
"
�ł" śł
�ł śł
�ł" śł
�ł
�ł śł
�ł
�ł "f2 "f2 śł
�ł " "
" "
" "
P
( ) ( )śł
( ) ( )śł
( ) ( )śł
( ) ( )śł
�ł"x1 P śł
�ł
�ł" śł
�ł
"xn śł
"
"
"
n
�ł" śł
�ł śł
�ł" śł
�ł
2
2
2 = "
2 "
f P = , x = x1 , x2 ,..., xn "
=
( ) = = "
( ) = =
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł śł
�ł"fk śł
�ł" śł
�ł" śł
�ł"
"fk śł
"
"
"
�ł P P śł
�ł śł
śł
�ł ( ) ( )
�ł ( ) ( )śł
śł
( ) ( )
( ) ( )śł
"xn śł
"
"
"
�ł"x1 śł
�ł
�ł"
�ł
�ł" �ł
�ł �ł
�ł" �ł
�ł �ł
n
Uwaga (o postaci pochodnej odwzorowania f :
)


n n
Jeżeli f : "
ma w punkcie P " pochodne cząstkowe ciągłe, to jest
"
"
różniczkowalne w tym punkcie i zachodzi wzór
�ł �ł
�ł
�ł
�ł
"f "f "f
" " "
" " "
" " "
2
2
2
2
f P = P , P ,..., P = grad f P
=
=
=
( ) ( ) ( ) ( )�ł = ( )
( ) ( ) ( ) ( )�ł ( )
( ) ( ) ( ) ( )�ł ( )
( ) ( ) ( ) ( )�ł ( )
�ł"x1 "x2 �ł=
�ł
�ł" " �ł=
�ł
"xn �ł
"
"
"
�ł" " łł
�ł łł
�ł" " łł
�ł łł
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki)
n k n
Jeżeli odwzorowanie f : jest różniczkowalne w punkcie P " , to różniczka
"
"
"
n k
dP f tego odwzorowania jest jedynym odwzorowaniem liniowym , które spełnia



warunek
f P + h - f P - dP f h
+
+
+
( ) - ( ) - ( )
( )- ( )- ( )
( ) - ( ) - ( )
( ) ( ) ( )
k
" lim = 0
"
" =
"
( ) =
( ) =
( )
( )
h 0


n
h
n