��POCHODNA KIERUNKOWA ZaB
�|
my, |
e dimX >1. z z = f(x,y) f (P0) f[l] �! �! v l||v i Tl P0 �! P0 l y U x Definicja Niech (�X , . )�, (�Y, . )� - przestrzenie unormowane nad ciaB
em K, U ��TopX (U - zbi�r otwarty w przestrzeni X ), f :U �� Y, x0 ��U, �� v �� X. �� v Dodatkowo zakB
adamy (por. F. Leja  Rachunek r�|
niczkowy i caB
kowy ), |
e jest �� wektorem jednostkowym, tzn. | v | =� 1. �� v Pochodn
kierunkow
funkcji f w punkcie x w kierunku wektora nazywamy taki wektor 0 (D f )(�x0)���Y , |
e: �� v �� �� �� f x0 +� t v -� f (�x0)� �� �� �� �� �� �� D f (�x0)�:=� lim �� �� �� t��0 �� v �� t lub r�wnowa|
nie (z wykorzystaniem o(h)) �� �� �� �� f x0 +� t v -� f (�x0)�-� t ���� D f (�x0)�=� o(�t)�. �� �� �� �� �� �� v �� �� �� 1 PrzykB
ad Niech f : R2 �� R3, f (�x, y)�=� (�xy, x +� y, x2 +� y2)�. Wyznaczy
pochodn
kierunkow
funkcji f w punkcie (x , y )=(2, 1) w kierunku 0 0 �� wyznaczonym przez wektor v =� [-�1, 2] . �� �� v v Wersor r�wnolegB
y do wektora jest postaci e �� �� ��-� �� v [-�1,2] 5 2 5 v =� =� =� , e �� �� �� 5 5 5 �� �� | v | zatem �� �� ��2 5 2 5 �� f -� t, 1+� t -� f (�2, 1)� �� �� 5 5 �� �� �� �� �� �� D f (�2,1)�=� lim =� �� �� �� t��0 t ve �� �� ���� 5 �� �� 2 5 �� 5 �� 5 ��2 �� 2 5 ��2 �� ����2 -� t �� �� �� �� �� �� �� -�(�2, 3, 5)� �� ���� 5 ������1+� 5 t ��, 3 +� 5 t, ��2 -� 5 t �� +� ��1+� 5 t �� �� �� �� �� �� �� �� �� ���� �� =� lim =� t��0 t �� �� 2 3 5 5 �� �� ��-� 5 t2 +� 5 t +� 2, 5 t +� 3, t2 +� 5�� -�(�2, 3, 5)� �� �� =� lim =� t��0 t �� �� ��-� 2 t2 +� 3 5 t, 5 t, t2 �� �� �� 5 5 5 �� �� �� �� 2 3 5 5 3 5 5 �� �� �� �� =� lim =� lim��-� t +� , , t =� , , 0�� �� �� �� �� t��0 t��0 t 5 5 5 5 5 �� �� �� �� opracowaB
Jacek ZaD
ko 2